【327922】2024年黑龙江省绥化市中考数学试题

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200686-2024年黑龙江省绥化市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．实数 的相反数是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 　　

A．圆　　　　B．菱形　　　　C．平行四边形　　　　D．等腰三角形

3．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（      ）

A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个

4．若式子 有意义，则 的取值范围是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．下列计算中，结果正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

6．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．则原来的方程是（      ）

A. B.

C. D.

7．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：

鞋码
平均每天销售量/双

如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（      ）

A．平均数　　　　B．中位数　　　　C．众数　　　　D．方差

8．一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行 所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，则江水的流速为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ， ， ， ，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（      ）

（第10题图）

A. B. C. D.

10．下列叙述正确的是（      ）

A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B．平分弦的直径垂直于弦

C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

11．如图，四边形 是菱形， ， ， 于点 ，则 的长是（      ）

A. B. 6C. D. 12

12．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结论中

①   ② （m为任意实数）  ③

④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（      ）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

二、填空题

13．中国的领水面积约为370 000 km²，将数370 000用科学记数法表示为：          ．

14．分解因式：       ．

15．如图， ， ， ．则        ．

16．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的高度为      m（结果保留根号）．

17．计算：          ．

18．用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为                ．

19．如图，已知点 ， ， ，在平行四边形 中，它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ，且 ，则       ．

20．如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则         ．

21．如图，已知 ， ， ， ， ， ， ， …，依此规律，则点 的坐标为      ．

22．在矩形 中， ， ，点 在直线 上，且 ，则点 到矩形对角线所在直线的距离是                    ．

三、解答题

23．已知 ．

(1)尺规作图：画出 的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

(2)在（1）的条件下，连接 ， ．已知 的面积等于 ，则 的面积是       ．

24．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

  

请根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)参加本次问卷调查的学生共有      人．

(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是      ，并补全条形统计图．

(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．

25．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买 ， 两种电动车．若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变．

(1)求 ， 两种电动车的单价分别是多少元？

(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 ， 两种电动车 辆，其中 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？

(3)该公司将购买的 ， 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，起步价 元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题．

    

①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为 （每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘选择      种电动车更省钱（填写 或 ）．

②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值      ．

26．如图 ， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ．

(1)求证： 与 相切．

(2)若正方形 的边长为 ，求 的半径．

(3)如图2，在（2）的条件下，若点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．当 时，求 的长．

27．综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．

纸片 和 满足 ， ．

下面是创新小组的探究过程．

操作发现

（1）如图1，取 的中点 ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 与点 重合．当旋转 纸片交 边于点 ,交 边于点 时，设 ， ，请你探究出 与 的函数关系式，并写出解答过程．

问题解决

（2）如图2，在（1）的条件下连接 ，发现 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，当点 在 边上运动（不包括端点 , ），且始终保持 ．请你直接写出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值                  （结果保留根号）．

  

28．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ， ．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）

(3)将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．

参考答案

一、单选题

1. D

解：实数 的相反数是 ，故此题答案为D．

2. D

A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，

故此题答案为D．

3. A

观察三视图可得出，这个几何体的底层有3个小正方体，第二层有2个小正方体，因此构成这个几何体的小正方体的个数为 （个）.故选A.

4. C

解：∵式子 有意义，∴ ，解得 ，

故此题答案为C．

5. A

解：A. ，故该选项正确，符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意.

故此题答案为A．

6. B

设原来的方程为 .由题知， ， ，所以 ， ，所以方程为 .观察选项可知，原来的方程为 ．故选B．

7. C

解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数．故此题答案为C．

8. D

解：设江水的流速为 ，

根据题意可得 ，解得 ，经检验： 是原方程的根，

所以江水的流速为 ．

故此题答案为D．

9. D

以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是 ，即 ，故选D.

10. C

A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；

C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；

D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意.

故此题答案为C．

11. A

四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， .在 中，由勾股定理得 ， 菱形 的面积为 ， .故选A.

12. B

解：∵二次函数图象开口向下，

∴ ,

∵对称轴为直线 ，

∴ ,

∴ ,

∵抛物线与 轴交于正半轴，则 ，

∴ ，故①错误，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,

∴当 时， 取得最大值，最大值为

∴ （m为任意实数），即 ，故②正确；

∵ 时， ，即

∵ ∴ 即 ,

∴ ，故③正确；

∵ , 是抛物线上不同的两个点，

∴ 关于 对称，

∴ 即 故④不正确，正确的有②③.

故此题答案为B.

二、填空题

13. 3.7×10⁵

科学记数法是指： ，且 ＜， 为原数的整数位数减一， ．

14.

解： ．

15. 66

解：∵ ， ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ．

16.

解：依题意， ，， ．

在 中， ，

在 中， ，

∴ ．

17.

解： ．

18.

解：设这个圆锥的底面圆的半径为 ，由题意得， ππ

解得 ．

19.

如图所示，分别过点 ，作 轴的垂线，垂足分别为 ，

∵四边形 是平行四边形，点 ， ， ，∴ ，

∴ ，即 ， ，则 ， ，

∵ 轴， 轴，∴ ∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ．

20.

如图，作 点关于 的对称点 ，连结 ， ， ， .由对称易得 ， ， .作 点关于 的对称点 ，连结 ， ， , .由对称易得 ， ， ， ， 当 ， ， ， 共线时， 的周长最小.又 ， ， .又 ， ， ， ， ，即 ，故答案为 ．

（第14题图）

【关键点拨】

解题的关键是作出对称点，利用对称性质得到相等的线段和角，进而利用两点之间线段最短求解.

21.

解：∵ ， ， ， ， ， ， ， …，

∴可知 个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，

∵ ，∴ 的坐标为 ．∴ 的坐标为 ．

22. 或 或

解：∵四边形 是矩形， ， ，

∴ ， ，∴ ，

∴ ， ， ，

如图所示，设 交于点 ，点 在线段 上， 在 的延长线上，过点 作 ， 的垂线，垂足分别为 ，

∵ ∴ ，

当 在线段 上时 ，

在 中， ，

∵ ，

∴在 中， ；

当 在射线 上时，在 中， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，

在 中， ，

综上所述，点 到对角线所在直线的距离为 或 或 ．

三、解答题

23. (1)见解析；(2)

（1）解：如图所示，

作法：①作 的垂直平分线交 于点 ，

②作 的垂直平分线交 于点 ，

③连接 ， 相交于点 ，

④标出点 ，点 即为所求.

（2）解：∵ 是 的重心，

∴ ，∴ ,

∵ 的面积等于 ，∴ ,

又∵ 是 的中点，∴ ．

24. (1) ；(2) ，作图见解析；(3)

（1）解：参加本次问卷调查的学生共有 （人）；

（2）解：A组人数为 人

A组所占的百分比为

补全统计图如图所示，

  

（3）画树状图法如下图

  

列表法如下图

	A	B	C	D
A
B
C
D

由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．

∴P（选中的2个社团恰好是B和C） ．

25. (1) ， 两种电动车的单价分别为 元、 元； (2)当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元； (3)①   ② 或

（1）解：设 ， 两种电动车的单价分别为 元、 元，

由题意得， ，解得 ，

答： ， 两种电动车的单价分别为 元、 元；

（2）设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，

由题意得， ，

解得， ，

设所需购买总费用为 元，则 ，

， 随着 的增大而减小，

取正整数， 时， 最少，

_最少 元 ；

答：当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元；

（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为 ，小刘家到公司的距离为 ，

∴所用时间为 分钟，

根据函数图象可得当 时， 更省钱，∴小刘选择 种电动车更省钱．

②设 ，将 代入得， ，解得， ∴ ；

当 时， ，

当 时，设 ，将 ， 代入得，

，解得， ，∴ ，

依题意，当 时， 即 ，解得， ，

当 时， 即 ，解得， （舍去）或 ．

26. (1)证明见解析 (2) (3)

（1）方法一,证明：连接 ，过点 作 于点 ，

与 相切于点 ， ．

四边形 是正方形， 是正方形的对角线，

， ，

为 的半径， 为 的半径，

， 与 相切．

方法二,

证明：连接 ，过点 作 于点 ，

与 相切于点 ， ， ，

四边形 是正方形， ，

又 ， ≌ ， ，

为 的半径， 为 的半径，

， 与 相切．

方法三：

证明：过点 作 于点 ，连接 ．

与 相切， 为 半径， ， ，

， ，

又 四边形 为正方形， ， 四边形 为矩形，

又 为正方形的对角线， ， ，

矩形 为正方形， ．

又 为 的半径， 为 的半径，

又 ， 与 相切．

（2）解： 为正方形 的对角线， ，

与 相切于点 ， ，

由（1）可知 ，设 ，

在 中，

， ，

， ，又 正方形 的边长为 ．

在 中， ，

， ， ,∴ 的半径为 ．

（3）方法一：

解：连接 ，设 ，

， ， ， ．

在 中，由勾股定理得 ，

在 中，由勾股定理得 ，

又 ，

．

．

方法二：

解：连接 ，

为 的直径， ， ，

， ， ，

， ， ，

， ， ，

， ， ．

方法三：

解：连接 ，

为 的直径， ， ，

， ， ，

， ， ， ，

， ，

设 ，则 ， ， ．

又 ， ， ．

27. （） ，见解析；（2）2，见解析； （） 或

操作发现

解：（1）∵ ，且 ．

∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．

在 中， ，∴ ，

∵ 是 的中点，点 与点 重合，∴ ，

∴ ，∴ ．

  

问题解决

（2）方法一

解： 的周长定值为2．

理由如下,∵ ， ， ，∴ ， ，

在 中，∴

．

将（1）中 代入得

∴ ．

∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ．

∵ 的周长 ，∴ 的周长 ．

方法二

解： 的周长定值为2．

理由如下,∵ 和 是等腰直角三角形，∴ ，

∵ ，∴ ，

在 中， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ， ， ，

∵O为AB的中点，∴ ，∴ ，

又∵ ，∴ ， ， ，

∴过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，作 交 于点 ．

∴ ．

又∵ ， ，∴ ≌ ， ≌ ，

∴ ， ，∴ ．

∵ 的周长 ．

又∵ ， ， ，∴ ≌ ，∴ ，

∵ ， ，∴ ，

∵ 是 的中点， 点 是 的中点，同理点 是 的中点．

∴ ，

∴ 的周长 ．

  

方法三

解： 的周长定值为2．

理由如下,过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，在 上截取一点 ，使 ，连接 ．

∵ 是等腰直角三角形， 为 的中点，∴ 平分 ，∴ ，

∴ ≌ ，∴ ， ．

∵ ， ，∴ ， ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ≌ ，∴ ，

∴ 的周长 ．

又∵ ， ， ，∴ ≌ ，∴ ．

∵ ， ，∴ ．

∵ 是 的中点， 点 是 的中点，同理点 是 的中点．∴ ，

∴ 的周长 ．

  

拓展延伸

（） 或   

①解：∵ ， ，∴ ，

过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

在 中，设 ，∴ ，由勾股定理得，

，∴ ，

∴在 中， ．

  

②解：∵ ， ，∴ ，

过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．

∵ ，∴ ，∴ ，

在 中，设 ，∴ ，由勾股定理得 ，

∴ ，

∴在 中， ．

∴ 或 ．

  

28. (1) (2)存在，点 坐标为 ， ，补图见解析 (3) ， ， ，

（1）解：∵把点 ， 代入 ，

得 ，解得 ，∴ ．

（2）存在．

理由：∵ 轴且 ，∴ ，∴ （舍去）， ，∴ ．

过点 作 于点 ，

在 中，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ．

设直线 交 轴于点 ，

， ，∴ ， ．

连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，

∴ ， 的解析式为 ， ，

∴ ，解得 舍去 ；或 ，解得 舍去 ．

∴把 ， 代入 得 ， ，

∴ ， ．

综上所述，满足条件的点 坐标为 ， ．

（） ， ， ， ．

方法一：

①以 为对角线，如图作 的垂直平分线 交 于点 交直线 于

∵ ， ，∴ ．

设 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ 是 的中点， ．

②以 为边

如图以 为圆心， 为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，

过点 作 ，过点 作 ， 和 相交于点 ，同理可得 ，

， ， ， ．

过点 作 直线 于点 ，则 ；

在 和 中，由勾股定理得 ，

， ．

点 是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，

， ，

③以 为边

如图以点 为圆心， 长为半径画圆交直线 于点 和 ，

连接 ， ，则 ，

过点 作 于点 ，则 ，

在 和 中，由勾股定理得 ，

， ，

， ， ， ， 三点共线，

过点 作 ，过 作 ， 和 相交于点 ，

∵ ， ， 的中点 ．

，点 为 的中点， ．

综上所述： ， ， ， ．