绝密★启用前
200686-2024年黑龙江省绥化市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．实数
的相反数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形
3．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
4．若式子
有意义，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是
和
．则原来的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
鞋码 |
|
|
|
|
|
平均每天销售量/双 |
|
|
|
|
|
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．一艘货轮在静水中的航速为
，它以该航速沿江顺流航行
所用时间，与以该航速沿江逆流航行
所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，矩形
各顶点的坐标分别为
，
，
，
，以原点
为位似中心，将这个矩形按相似比
缩小，则顶点
在第一象限对应点的坐标是（ ）
（第10题图）
A.
B.
C.
D.
10．下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
11．如图，四边形
是菱形，
，
，
于点
，则
的长是（ ）
A.
B. 6C.
D. 12
12．二次函数
的部分图象如图所示，对称轴为直线
，则下列结论中
①
②
（m为任意实数） ③
④若
、
是抛物线上不同的两个点，则
．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为： ．
14．分解因式：
．
15．如图，
，
，
．则
．
16．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点
测得该楼顶部点
的仰角为
，测得底部点
的俯角为
，点
与楼
的水平距离
，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
17．计算：
．
18．用一个圆心角为
，半径为
的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为
．
19．如图，已知点
，
，
，在平行四边形
中，它的对角线
与反比例函数
的图象相交于点
，且
，则
．
20．如图，已知
，点
为
内部一点，点
为射线
、点
为射线
上的两个动点，当
的周长最小时，则
．
21．如图，已知
，
，
，
，
，
，
，
…，依此规律，则点
的坐标为 ．
22．在矩形
中，
，
，点
在直线
上，且
，则点
到矩形对角线所在直线的距离是
．
三、解答题
23．已知
．
(1)尺规作图：画出
的重心
．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接
，
．已知
的面积等于
，则
的面积是
．
24．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有 人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是 ，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
25．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买
，
两种电动车．若购买
种电动车
辆、
种电动车
辆，需投入资金
万元；若购买
种电动车
辆、
种电动车
辆，需投入资金
万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求
，
两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买
，
两种电动车
辆，其中
种电动车的数量不多于
种电动车数量的一半．当购买
种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
(3)该公司将购买的
，
两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用
元与骑行时间
之间的对应关系如图．其中
种电动车支付费用对应的函数为
；
种电动车支付费用是
之内，起步价
元，对应的函数为
．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行
种电动车或
种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为
（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为
，那么小刘选择 种电动车更省钱（填写
或
）．
②直接写出两种电动车支付费用相差
元时，
的值 ．
26．如图
，
是正方形
对角线上一点，以
为圆心，
长为半径的
与
相切于点
，与
相交于点
．
(1)求证：
与
相切．
(2)若正方形
的边长为
，求
的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点
是半径
上的一个动点，过点
作
交
于点
．当
时，求
的长．
27．综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片
和
满足
，
．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取
的中点
，将两张纸片放置在同一平面内，使点
与点
重合．当旋转
纸片交
边于点
,交
边于点
时，设
，
，请你探究出
与
的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接
，发现
的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点
在
边上运动（不包括端点
,
），且始终保持
．请你直接写出
纸片的斜边
与
纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）．
28．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与直线相交于
，
两点，其中点
，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点
作
轴交抛物线于点
，连接
，在抛物线上是否存在点
使
．若存在，请求出满足条件的所有点
的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移
个单位长度得到
，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
，点
为原抛物线对称轴上的一点，
是平面直角坐标系内的一点，当以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
参考答案
一、单选题
1. D
解：实数
的相反数是
，故此题答案为D．
2. D
A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，
故此题答案为D．
3. A
观察三视图可得出，这个几何体的底层有3个小正方体，第二层有2个小正方体，因此构成这个几何体的小正方体的个数为
（个）.故选A.
4. C
解：∵式子
有意义，∴
，解得
，
故此题答案为C．
5. A
解：A.
，故该选项正确，符合题意；
B.
，故该选项不正确，不符合题意；
C.
，故该选项不正确，不符合题意；
D.
，故该选项不正确，不符合题意.
故此题答案为A．
6. B
设原来的方程为
.由题知，
，
，所以
，
，所以方程为
.观察选项可知，原来的方程为
．故选B．
7. C
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数．故此题答案为C．
8. D
解：设江水的流速为
，
根据题意可得
，解得
，经检验：
是原方程的根，
所以江水的流速为
．
故此题答案为D．
9. D
以原点
为位似中心，将这个矩形按相似比
缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是
，即
，故选D.
10. C
A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意.
故此题答案为C．
11. A
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
.在
中，由勾股定理得
，
菱形
的面积为
，
.故选A.
12. B
解：∵二次函数图象开口向下，
∴
,
∵对称轴为直线
，
∴
,
∴
,
∵抛物线与
轴交于正半轴，则
，
∴
，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线
,
∴当
时，
取得最大值，最大值为
∴
（m为任意实数），即
，故②正确；
∵
时，
，即
∵
∴
即
,
∴
，故③正确；
∵
,
是抛物线上不同的两个点，
∴
关于
对称，
∴
即
故④不正确，正确的有②③.
故此题答案为B.
二、填空题
13. 3.7×105
科学记数法是指：
，且
＜，
为原数的整数位数减一，
．
14.
解：
．
15. 66
解：∵
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
16.
解：依题意，
，，
．
在
中，
，
在
中，
，
∴
．
17.
解：
．
18.
解：设这个圆锥的底面圆的半径为
，由题意得，
ππ
解得
．
19.
如图所示，分别过点
，作
轴的垂线，垂足分别为
，
∵四边形
是平行四边形，点
，
，
，∴
，
∴
，即
，
，则
，
，
∵
轴，
轴，∴
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
20.
如图，作
点关于
的对称点
，连结
，
，
，
.由对称易得
，
，
.作
点关于
的对称点
，连结
，
，
,
.由对称易得
，
，
，
，
当
，
，
，
共线时，
的周长最小.又
，
，
.又
，
，
，
，
，即
，故答案为
．
（第14题图）
【关键点拨】
解题的关键是作出对称点，利用对称性质得到相等的线段和角，进而利用两点之间线段最短求解.
21.
解：∵
，
，
，
，
，
，
，
…，
∴可知
个点坐标的纵坐标为一个循环，
的坐标为
，
∵
，∴
的坐标为
．∴
的坐标为
．
22.
或
或
解：∵四边形
是矩形，
，
，
∴
，
，∴
，
∴
，
，
，
如图所示，设
交于点
，点
在线段
上，
在
的延长线上，过点
作
，
的垂线，垂足分别为
，
∵
∴
，
当
在线段
上时
，
在
中，
，
∵
，
∴在
中，
；
当
在射线
上时，在
中，
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，
在
中，
，
综上所述，点
到对角线所在直线的距离为
或
或
．
三、解答题
23.
(1)见解析；(2)
（1）解：如图所示，
作法：①作
的垂直平分线交
于点
，
②作
的垂直平分线交
于点
，
③连接
，
相交于点
，
④标出点
，点
即为所求.
（2）解：∵
是
的重心，
∴
，∴
,
∵
的面积等于
，∴
,
又∵
是
的中点，∴
．
24.
(1)
；(2)
，作图见解析；(3)
（1）解：参加本次问卷调查的学生共有
（人）；
（2）解：A组人数为
人
A组所占的百分比为
补全统计图如图所示，
（3）画树状图法如下图
列表法如下图
|
A |
B |
C |
D |
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）
．
25.
(1)
，
两种电动车的单价分别为
元、
元； (2)当购买
种电动车
辆时所需的总费用最少，最少费用为
元； (3)①
②
或
（1）解：设
，
两种电动车的单价分别为
元、
元，
由题意得，
，解得
，
答：
，
两种电动车的单价分别为
元、
元；
（2）设购买
种电动车
辆，则购买
种电动车
辆，
由题意得，
，
解得，
，
设所需购买总费用为
元，则
，
，
随着
的增大而减小，
取正整数，
时，
最少，
最少
元
；
答：当购买
种电动车
辆时所需的总费用最少，最少费用为
元；
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为
，小刘家到公司的距离为
，
∴所用时间为
分钟，
根据函数图象可得当
时，
更省钱，∴小刘选择
种电动车更省钱．
②设
，将
代入得，
，解得，
∴
；
当
时，
，
当
时，设
，将
，
代入得，
，解得，
，∴
，
依题意，当
时，
即
，解得，
，
当
时，
即
，解得，
（舍去）或
．
26.
(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）方法一,证明：连接
，过点
作
于点
，
与
相切于点
，
．
四边形
是正方形，
是正方形的对角线，
，
，
为
的半径，
为
的半径，
，
与
相切．
方法二,
证明：连接
，过点
作
于点
，
与
相切于点
，
，
，
四边形
是正方形，
，
又
，
≌
，
，
为
的半径，
为
的半径，
，
与
相切．
方法三：
证明：过点
作
于点
，连接
．
与
相切，
为
半径，
，
，
，
，
又
四边形
为正方形，
，
四边形
为矩形，
又
为正方形的对角线，
，
，
矩形
为正方形，
．
又
为
的半径，
为
的半径，
又
，
与
相切．
（2）解：
为正方形
的对角线，
，
与
相切于点
，
，
由（1）可知
，设
，
在
中，
，
，
，
，又
正方形
的边长为
．
在
中，
，
，
，
,∴
的半径为
．
（3）方法一：
解：连接
，设
，
，
，
，
．
在
中，由勾股定理得
，
在
中，由勾股定理得
，
又
，
．
．
方法二：
解：连接
，
为
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
方法三：
解：连接
，
为
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
．
又
，
，
．
27.
（）
，见解析；（2）2，见解析；
（）
或
操作发现
解：（1）∵
，且
．
∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
．
在
中，
，∴
，
∵
是
的中点，点
与点
重合，∴
，
∴
，∴
．
问题解决
（2）方法一
解：
的周长定值为2．
理由如下,∵
，
，
，∴
，
，
在
中，∴
．
将（1）中
代入得
∴
．
∵
，又∵
，∴
，∴
．
∵
的周长
，∴
的周长
．
方法二
解：
的周长定值为2．
理由如下,∵
和
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，∴
，
在
中，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，
，
，
∵O为AB的中点，∴
，∴
，
又∵
，∴
，
，
，
∴过
作
交
于点
，作
交
于点
，作
交
于点
．
∴
．
又∵
，
，∴
≌
，
≌
，
∴
，
，∴
．
∵
的周长
．
又∵
，
，
，∴
≌
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
是
的中点，
点
是
的中点，同理点
是
的中点．
∴
，
∴
的周长
．
方法三
解：
的周长定值为2．
理由如下,过
作
交
于点
，作
交
于点
，在
上截取一点
，使
，连接
．
∵
是等腰直角三角形，
为
的中点，∴
平分
，∴
，
∴ ≌
，∴
，
．
∵
，
，∴
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
≌
，∴
，
∴
的周长
．
又∵
，
，
，∴
≌
，∴
．
∵
，
，∴
．
∵
是
的中点，
点
是
的中点，同理点
是
的中点．∴
，
∴
的周长
．
拓展延伸
（）
或
①解：∵
，
，∴
，
过点
作
于点
，作
的垂直平分线交
于点
，连接
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
在
中，设
，∴
，由勾股定理得，
，∴
，
∴在
中，
．
②解：∵
，
，∴
，
过点
作
于点
，作
的垂直平分线交
于点
，连接
．
∵
，∴
，∴
，
在
中，设
，∴
，由勾股定理得
，
∴
，
∴在
中，
．
∴
或
．
28.
(1)
(2)存在，点
坐标为
，
，补图见解析 (3)
，
，
，
（1）解：∵把点
，
代入
，
得
，解得
，∴
．
（2）存在．
理由：∵
轴且
，∴
，∴
（舍去），
，∴
．
过点
作
于点
，
在
中，
∵
，∴
，
∵
，∴
．
设直线
交
轴于点
，
，
，∴
，
．
连接
交抛物线于
，连接
交抛物线于
，
∴
，
的解析式为
，
，
∴
，解得
舍去
；或
，解得
舍去
．
∴把
，
代入
得
，
，
∴
，
．
综上所述，满足条件的点
坐标为
，
．
（）
，
，
，
．
方法一：
①以
为对角线，如图作
的垂直平分线
交
于点
交直线
于
∵
，
，∴
．
设
，∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
是
的中点，
．
②以
为边
如图以
为圆心，
为半径画圆交直线
于点
，
；连接
，
，
过点
作
，过点
作
，
和
相交于点
，同理可得
，
，
，
，
．
过点
作
直线
于点
，则
；
在
和
中，由勾股定理得
，
，
．
点
是由点
向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度得到的，
，
，
③以
为边
如图以点
为圆心，
长为半径画圆交直线
于点
和
，
连接
，
，则
，
过点
作
于点
，则
，
在
和
中，由勾股定理得
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
过点
作
，过
作
，
和
相交于点
，
∵
，
，
的中点
．
，点
为
的中点，
．
综上所述：
，
，
，
．
