绝密★启用前
200685-2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．实数
的相反数是（ ）
A．5
B．
C．
D．
2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．将一个含
角的三角尺和直尺如图放置，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
6．如果关于
的分式方程
的解是负数，那么实数
的取值范围是（ ）
A．
且
B．
C．
D．
且
7．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
9．如图，在等腰
中，
，
，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线
和射线
的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接
，以
为边向下做正方形
，设点E运动的路程为
，正方形
和等腰
重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，二次函数
的图象与
轴交于
，
，其中
．结合图象给出下列结论：
①
；②
；
③当
时，
随
的增大而减小；
④关于
的一元二次方程
的另一个根是
；
⑤
的取值范围为
．其中正确结论的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员
万名．将
万用科学记数法表示为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线
，若
，则
．
13．在函数
中，自变量
的取值范围是 ．
14．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
15．如图，反比例函数
的图象经过平行四边形
的顶点
，
在
轴上，若点
， ▱
，则实数
的值为 ．
16．已知矩形纸片
，
，
，点
在边
上，连接
，将
沿
所在的直线折叠，点
的对应点为
，把纸片展平，连接
，
，当
为直角三角形时，线段
的长为 ．
17．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形
置于平面直角坐标系中，点
的坐标为 ，
，点
的坐标为 ，
，点
在第一象限，
．将
沿
轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与
轴重合，第一次滚动后，点
的对应点为
，点
的对应点为
，
与
的交点为
，称点
为第一个“花朵”的花心，点
为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，
滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
三、解答题
18．(1)计算：
π
(2)分解因式：
19．解方程：
﹣ ＝
20．为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成
，，，
四组进行整理．
(满分
分，所有竞赛成绩均不低于
分)如下表：
组别 |
A |
B |
C |
D |
成绩(
|
|
|
|
|
人数(人) |
|
|
|
|
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：
，
；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是
；
(4)若竞赛成绩
分以上(含
分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的
名学生中成绩为优秀的人数．
21．如图，
内接于
，
为
的直径，
于点D，将
沿
所在的直线翻折，得到
，点D的对应点为E，延长
交
的延长线于点F．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，
，求图中阴影部分的面积．
22．领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以
米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为
秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)
米/秒，
秒；
(2)求线段
所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
23．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在
中，
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，作
交
的延长线于点
．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段
与
的数量关系是 ；
(2)【问题解决】如图3，连接
并延长交
的延长线于点
，若
，
，求
的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接
交
于点
，则
；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线
上找点
，使
，请直接写出线段
的长度．
24．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，过 ，
两点的抛物线
与
轴的另一个交点为点 ，
，点
是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点
分别作
轴和
轴的平行线，分别交直线
于点
，点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点
是
轴上的任意一点，若
是以
为腰的等腰三角形，请直接写出点
的坐标；
(3)当
时，求点
的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点
是
轴上的一个动点，过点
作抛物线对称轴的垂线，垂足为
，连接 ，
，则
的最小值为 ．
参考答案
一、单选题
1. A
的相反数是5．
故此题答案为A．
2. D
解：选项
是轴对称图形，不是中心对称图形，故
不符合题意；
选项
是轴对称图形，不是中心对称图形，故
不符合题意；
选项
是轴对称图形，不是中心对称图形，故
不符合题意；
选项
是轴对称图形，也是中心对称图形，故
符合题意.
故此题答案为
.
3. D
解：A、
，故该选项不符合题意；
B、
，故该选项不符合题意；
C、
，故该选项不符合题意；
D、
，故该选项符合题意；
故此题答案为D
4. B
解：如图所示，
由题意得
，
，
，
∴
，故此题答案为B．
5. B
左视图的底层是两个正方形，上层是一个正方形，故左视图的面积为3；俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4,所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．故选B．
6. A
解：方程两边同时乘
得
，解得
，
∵分式方程的解是负数，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
且
，故此题答案为
．
7. C
解：分别用A，B，C，D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
列树状图如下：
由树状图可知，共有
种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有
种，
即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是
，
故此题答案为C．
8. B
解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为
个，
依题意，
,
∴
,
∵
，
为正整数，
∴当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
.
∴购买方案有4种，
故此题答案为B．
9. A
解：当
与
重合时，设
，由题可得
∴
，
，
在
中，由勾股定理可得
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
，
∵
，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当
在
下方时，设
，由题可得
∴
，
，
∵
，
,
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
，
∵
，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述,A正确，
故此题答案为A．
10. C
解：由图可得
，对称轴
，
，
，①错误；
由图得，图象经过点
，将
代入
可得
，
，②正确；
该函数图象与
轴的另一个交点为
，且
，
对称轴
，
该图象中，当
时，
随着
的增大而减小，当
时，
随着
的增大而增大，
当
时，
随着
的增大而减小，
③正确；
，
，
关于
的一元二次方程
的根为
，
，
，
，
④正确；
，即
，解得
，
即
，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共
个．
故此题答案为
．
二、填空题
11.
解：
万
.
12. 2
解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上,点H横纵坐标相等且为正数,
，解得
．
13.
且
解：由题意可得，
，解得
且
．
14.
解：设圆锥的母线长为R，根据题意得
ππ
，解得,
．
即圆锥的母线长为
，∴圆锥的高
．
15.
是平行四边形，
纵坐标相同，
，
的纵坐标是
，
在反比例函数图象上，
将
代入函数中，得到
，
，
，
▱
的纵坐标为
，
即
，解得，
．
16.
或2
解：∵四边形
为矩形，
∴
，
，
，
当
时，如图所示：
∵
，∴点
在
上，
根据折叠可知
，
，
设
，则
，
∴
，
，
在
中，根据勾股定理得
，即
，
解得
，即
；
当
，如图所示：
根据折叠可知：
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
；
综上分析可知：
或2．
17.
解：连接
，
由题意得
，
，
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，∴
，
，同理
，
，
，
滚动一次得到
，
滚动四次得到
，
滚动七次得到
，
∴
滚动2024次后停止滚动，则
时，
．
三、解答题
18.
（）
（）
（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
19.
＝，＝
解：∵
﹣ ＝
，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则
﹣2＝0或
﹣3＝0，
解得
＝，＝
．
20.
(1)
，
； (2)补图见解析；
(3)
；
(4)
．
（1）解：抽取的学生人数为
人，∴
，
∴
；
（2）解：补全条形统计图如下；
（3）解：
；
（4）解：
，
答：估计该校参加竞赛的
名学生中成绩为优秀的人数大约是
人．
21.
(1)见解析；(2)
π
（1）证明：连接
，
∵
，∴
，
∵
沿直线
翻折得到
，∴
，
，
∵ ，
是
的半径，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
于点C，
又∵
为
的半径，∴
是
的切线；
（2）解：∵
，∴
，
由（1）得
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
在
中，
，∴
，
∴
，∴
扇形ππ
，
∴ 阴影扇形π
．
22.
(1)8，20；
(2)
；
(3)2秒或10秒或16秒
（1）解：由题意得甲无人机的速度为
米/秒，
；
（2）解：由图象知，
，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
甲无人机匀速从0米到96米所用时间为
秒，
甲无人机单独表演所用时间为
秒，∴
秒，∴
，
设线段
所在直线的函数解析式为
，
将
，
代入得
，解得
，
∴线段
所在直线的函数解析式为
；
（3）解：由题意
，
，
同理线段
所在直线的函数解析式为
，
线段
所在直线的函数解析式为
，
线段
所在直线的函数解析式为
，
当
时，由题意得
，解得
或
（舍去），
当
时，由题意得
，解得
或
（舍去），
当
时，由题意得
，解得
或
（舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
23.
(1)
；(2)10；(3)
；(4)
或
（1）解：∵将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，作
交
的延长线于点
．
，
，
，
，
，
又
且
，
≌
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
又
且
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点
作
于点
，
∵
，
，∴
，
∴
，即
，即
，
又∵
，∴
，∴
，
设
，则
，
，解得，
，
∴
；
（4）解：如图所示，当
在
点的左侧时，过点
作
于点
，
∵
，∴
，设
，则
，
又∵
，
，
∴
，
，
∴
，∴
，
∴
，∴
，解得，
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
如图所示，当
在
点的右侧时，过点
作
交
的延长线于点
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
设
，则
，
，
∵
，
∴
，解得，
，
∴
，∴
.
综上所述，
或
．
24.
(1)
(2)
(3) ，
(4)
（1）解：∵直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，
∴当
时，
，即
；当
时，
，即
；
∵ ，
，∴设抛物线的解析式为
，
把
代入可得
，解得
，
∴
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）解：∵
，
，∴
,∴
，
如图：当
，∴
,即
；
如图：当
，
∴
,即
；
如图：当
，∴
,即
；
综上，点
的坐标为
；
（3）解：如图：∵
轴，∴
，
∵
轴，∴
，
∵
，∴
≌
,∴
,
∵设
，则
,
∴
，
∴
，解得
（负值舍去），
当
时，
，∴
，
；
（4）解：
∵抛物线的解析式为
，
∴抛物线的对称轴为直线
，
如图：将线段
向右平移
单位得到
,
∴四边形
是平行四边形，∴
,即
，
,
作
，
关于对称轴
的点
,则
，
∴
,
∵
，
∴
的最小值为
．
