【327921】2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题

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200685-2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．实数 的相反数是（      ）

A．5

B．

C．

D．

2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．下列计算正确的是（      ）

A． B．

C． D．

4．将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是（      ）

A． B． C． D．

5．如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（      ）

A. 6B. 7C. 8D. 9

6．如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取值范围是（      ）

A． 且 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 且

7．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

8．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（      ）

A．5种　　　　B．4种　　　　C．3种　　　　D．2种

9．如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形 和等腰 重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，其中 ．结合图象给出下列结论：

  

① ；② ；

③当 时， 随 的增大而减小；

④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；

⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

11．共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员 万名．将 万用科学记数法表示为      ．

12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线 ，若 ，则       ．

13．在函数 中，自变量 的取值范围是               ．

14．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为      cm．

15．如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，若点 ， _▱ ，则实数 的值为      ．

16．已知矩形纸片 ， ， ，点 在边 上，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，点 的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直角三角形时，线段 的长为              ．

17．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形 置于平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，点 在第一象限， ．将 沿 轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚动后，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ， 与 的交点为 ，称点 为第一个“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律， 滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为                ．

三、解答题

18．(1)计算： π

(2)分解因式：

19．解方程： ﹣ ＝

20．为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．

【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．

【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 ，，， 四组进行整理．

(满分 分，所有竞赛成绩均不低于 分)如下表：

组别	A	B	C	D
成绩( /分)
人数(人)

【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．

【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：       ，       ；

(2)请补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是       ；

(4)若竞赛成绩 分以上(含 分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数．

21．如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F．

(1)求证： 是 的切线；

(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．

22．领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以 米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为 秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：

(1)       米/秒，       秒；

(2)求线段 所在直线的函数解析式；

(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)

23．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．

  

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是      ；

(2)【问题解决】如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面积；

(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接 交 于点 ，则       ；

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长度．

24．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过 ， 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为点 ， ，点 是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，分别交直线 于点 ，点 ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点 是 轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标；

(3)当 时，求点 的坐标；

(4)在（3）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， ，则 的最小值为      ．

参考答案

一、单选题

1. A

的相反数是5．

故此题答案为A．

2. D

解：选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；

选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；

选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；

选项 是轴对称图形，也是中心对称图形，故 符合题意.

故此题答案为 .

3. D

解：A、 ，故该选项不符合题意；

B、 ，故该选项不符合题意；

C、 ，故该选项不符合题意；

D、 ，故该选项符合题意；

故此题答案为D

4. B

解：如图所示，

由题意得 ， ， ，

∴ ，故此题答案为B．

5. B

左视图的底层是两个正方形，上层是一个正方形，故左视图的面积为3；俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4,所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．故选B．

6. A

解：方程两边同时乘 得 ，解得 ，

∵分式方程的解是负数，∴ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ 且 ，故此题答案为 ．

7. C

解：分别用A，B，C，D表示篮球、足球、排球、羽毛球，

列树状图如下：

由树状图可知，共有 种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有 种，

即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是 ，

故此题答案为C．

8. B

解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 个，

依题意， ,

∴ ,

∵ ， 为正整数，

∴当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， .

∴购买方案有4种，

故此题答案为B．

9. A

解：当 与 重合时，设 ，由题可得

∴ ， ，

在 中，由勾股定理可得 ，

∴ ，

∴ ，

∴当 时， ，

∵ ，

∴图象为开口向上的抛物线的一部分，

当 在 下方时，设 ，由题可得

∴ ， ，

∵ ， ,

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当 时， ，

∵ ，

∴图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述,A正确，

故此题答案为A．

10. C

解：由图可得 ，对称轴 ， ， ，①错误；

由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，

，②正确；

该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ， 对称轴 ，

该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，

当 时， 随着 的增大而减小， ③正确；

， ， 关于 的一元二次方程 的根为 ，

，

， ， ④正确；

，即 ，解得 ，

即 ， ， ， ⑤正确．

综上，②③④⑤正确，共 个．

故此题答案为 ．

二、填空题

11.

解： 万 .

12. 2

解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上,点H横纵坐标相等且为正数,

，解得 ．

13. 且

解：由题意可得， ，解得 且 ．

14.

解：设圆锥的母线长为R，根据题意得 ππ ，解得, ．

即圆锥的母线长为 ，∴圆锥的高 ．

15.

是平行四边形， 纵坐标相同，

， 的纵坐标是 ，

在反比例函数图象上， 将 代入函数中，得到 ， ，

，

_▱ 的纵坐标为 ， 即 ，解得， ．

16. 或2

解：∵四边形 为矩形，

∴ ， ， ，

当 时，如图所示：

∵ ，∴点 在 上，

根据折叠可知 ， ，

设 ，则 ，

∴ ，

，

在 中，根据勾股定理得 ，即 ，

解得 ，即 ；

当 ，如图所示：

根据折叠可知： ，∴ ，

∵ ， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ；

综上分析可知： 或2．

17.

解：连接 ，

由题意得 ， ， ，

∴ ，

∴ ， ， ，

∴ ，∴ ， ，同理 ，

， ，

滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七次得到 ，

∴ 滚动2024次后停止滚动，则 时， ．

三、解答题

18. （） （）

（1）解：原式 ；

（2）解：原式 .

19. ＝，＝

解：∵ ﹣ ＝ ，

∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，

则 ﹣2＝0或 ﹣3＝0，

解得 ＝，＝ ．

20. (1) ， ； (2)补图见解析； (3) ； (4) ．

（1）解：抽取的学生人数为 人，∴ ，

∴ ；

（2）解：补全条形统计图如下；

（3）解： ；

（4）解： ，

答：估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数大约是 人．

21. (1)见解析；(2) π

（1）证明：连接 ，

∵ ，∴ ，

∵ 沿直线 翻折得到 ，∴ ， ，

∵ ， 是 的半径，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ 于点C，

又∵ 为 的半径，∴ 是 的切线；

（2）解：∵ ，∴ ，

由（1）得 ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

在 中， ，∴ ，

∴ ，∴ _扇形ππ ，

∴ _阴影扇形π ．

22. (1)8，20； (2) ； (3)2秒或10秒或16秒

（1）解：由题意得甲无人机的速度为 米/秒，

；

（2）解：由图象知， ，

∵甲无人机的速度为8米/秒，

甲无人机匀速从0米到96米所用时间为 秒，

甲无人机单独表演所用时间为 秒，∴ 秒，∴ ，

设线段 所在直线的函数解析式为 ，

将 ， 代入得 ，解得 ，

∴线段 所在直线的函数解析式为 ；

（3）解：由题意 ， ，

同理线段 所在直线的函数解析式为 ，

线段 所在直线的函数解析式为 ，

线段 所在直线的函数解析式为 ，

当 时，由题意得 ，解得 或 （舍去），

当 时，由题意得 ，解得 或 （舍去），

当 时，由题意得 ，解得 或 （舍去），

综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．

23. (1) ；(2)10；(3) ；(4) 或

（1）解：∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．

  

， ， ，

， ，

又 且 ， ≌ ， ；

（2）解： ， ， ，

， ，

又 且 ， ≌ ，

， ，

， ， ， ，

， ， ，

， ， ， ，

；

（3）解：如图所示，过点 作 于点 ，

  

∵ ， ，∴ ，

∴ ，即 ，即 ，

又∵ ，∴ ，∴ ，

设 ，则 ， ，解得， ，

∴ ；

（4）解：如图所示，当 在 点的左侧时，过点 作 于点 ，

  

∵ ，∴ ，设 ，则 ，

又∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，解得， ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ，

如图所示，当 在 点的右侧时，过点 作 交 的延长线于点 ，

  

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

设 ，则 ， ，

∵ ， ∴ ，解得， ，

∴ ，∴ .

综上所述， 或 ．

24. (1) (2) (3) ， (4)

（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，

∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；

∵ ， ，∴设抛物线的解析式为 ，

把 代入可得 ，解得 ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）解：∵ ， ，∴ ,∴ ，

如图：当 ，∴ ,即 ；

如图：当 ，

∴ ,即 ；

如图：当 ，∴ ,即 ；

综上，点 的坐标为 ；

（3）解：如图：∵ 轴，∴ ，

∵ 轴，∴ ，

∵ ，∴ ≌ ,∴ ,

∵设 ，则 ,

∴ ，

∴ ，解得 （负值舍去），

当 时， ，∴ ， ；

（4）解： ∵抛物线的解析式为 ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，

如图：将线段 向右平移 单位得到 ,

∴四边形 是平行四边形，∴ ,即 ， ,

作 ， 关于对称轴 的点 ,则 ，

∴ ,

∵ ，

∴ 的最小值为 ．