【327920】2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题

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200681-2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．下列计算正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

3．由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（      ）

A．1种B．2种C．3种D．4种

4．某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，若 ，则 的度数为（      ）

    

A． B． C． D．

6．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（      ）

A． B． C． D．

7．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（      ）

A．2022B．2023C．2024D．2025

8．矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数 的图象与 边交于点 ，与 边交于点 ，与 交于点 ， ，若四边形 的面积为2，则 的值是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他进行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展平．

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿 折叠得到 ， 交折痕 于点 ，则线段 的长为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点， ，与 轴交点 的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：① ；② ；③若 且 ，则 ；④直线 与抛物线 的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（      ）

A．①②④　　　　B．①③④　　　　C．①②③　　　　D．①②③④

二、填空题

11．函数 中，自变量 的取值范围是              ．

12．如图， 中， 是 上一点， ，，， 三点共线，请添加一个条件      ，使得 ．（只添一种情况即可）

13．将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，则       .

14．如图，在 中，直径 于点 ， , ，则弦 的长为        .

（第1题图）

15．已知一组正整数 ， ， ， ， 有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为      ．

16．若分式方程 的解为正整数，则整数 的值为         ．

17．矩形 的面积是90，对角线 ， 交于点 ，点 是 边的三等分点，连接 ，点 是 的中点， ，连接 ，则 的值为            ．

18．如图，在正方形 中， 是 延长线上一点， 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ．下列四个结论：① ；② ；③若 是 中点， ，则 ；④ ；⑤若 ，则 ．其中正确的结论是      ．

三、解答题

19．先化简，再求值： ，并从 ，，，， 中选一个合适的数代入求值．

20．如图，某数学活动小组用高度为 米的测角仪 ，对垂直于地面 的建筑物 的高度进行测量， 于点 ．在 处测得 的仰角 ，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至 处， 于点 ，测得 的仰角 ， 的延长线交 于点 ，求建筑物 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据： ）

21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查共抽取了           名学生；

(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；

(3)若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．

22．在 中， ， ， ，以 为边向 外作有一个内角为 的菱形 ，对角线 ， 交于点 ，连结 ，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出 的面积．

23．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点 是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为      ．

24．一条公路上依次有 ，， 三地，甲车从 地出发，沿公路经 地到 地，乙车从 地出发，沿公路驶向 地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车行驶的速度是          ，并在图中括号内填上正确的数；

(2)求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距 地的路程是甲车距 地路程的3倍．

25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在 中， ，点 在直线 上，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，交直线 于点 ．

（1）当点 在线段 上时，如图①，求证： ；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用 构造全等三角形，便尝试着在 上截取 ，连接 ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：　　

（2）当点 在线段 的延长线上时，如图②：当点 在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的条件下，若 ， ，则       ．

26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的 以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：

(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？

(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？

(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．

27．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在 轴的正半轴上，四边形 是平行四边形，线段 的长是一元二次方程 的一个根．请解答下列问题：

(1)求点 的坐标；

(2)若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交 轴于点 ，交 于点 ，点 在第一象限， ，连接 ，求 的值；

(3)在（2）的条件下，点 在直线 上，在 轴上是否存在点 ，使以 ，， 为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 的个数和其中两个点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、单选题

1. C

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故此题答案为C．

2. D

解：A． ，故该选项是错误的；

B． ，故该选项是错误的；

C． ，故该选项是错误的；

D． ，故该选项是正确的．

故此题答案为D．

3. C

解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，

故此题答案为C．

4. A

解：列表如下：

	甲	乙	丙	丁
甲		（甲，乙）	（甲，丙）	（甲，丁）
乙	（乙，甲）		（乙，丙）	（乙，丁）
丙	（丙，甲）	（丙，乙）		（丙，丁）
丁	（丁，甲）	（丁，乙）	（丁，丙）

由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 ．

故此题答案为A．

5. B

解：如图，连接 ，

  

∵ 是 的直径，

∴ ，

∵ ，

∴

∴

∵四边形 是 的内接四边形，

∴ ，

故此题答案为B

6. C

解：设每次降价的百分率为 ，由题意，得：

，

解得： （舍去）；

故此题答案为C．

7. B

解：第1个图案有4个三角形，即 ，

第2个图案有7个三角形，即 ，

第3个图案有10个三角形，即 ，

…，

按此规律摆下去，第 个图案有 个三角形，

则第674个图案中三角形的个数为： （个）．

故此题答案为B．

8. D

过点 作 ，则 ，

∴ ，∴ ，

设 ， ，

∵ ∴ ，∴ ， ，

∴ _{矩形四边形} ，

即 ，解得 ，

故此题答案为D.

9. B

解：∵四边形 是矩形，∴ ，

由折叠可得 ， ， ， ，

∴四边形 是矩形，∴ ， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

设 ，则 ，

在 中，根据勾股定理可得 ，

即 ，解得 ，即 ，

故此题答案为B．

10. A

解：设抛物线的解析式为 ，

∴ ， ，∴ ，故①正确；

∵点 的纵坐标在 ～ 之间，∴ ，即 ，

∴ ，故②正确；

∵ ∴ ，即 ，

∴ ，

又∵ ，∴ ，故③错误；

∵令 相等，则 ，

∴ ，解得 （舍）， ，∴ ，故④正确，

故此题答案为A．

二、填空题

11. 且

解：根据题意得 且 ，

解得 且 ．

12. 或 （答案不唯一）

解：∵ ，

∴ ， ，

∴添加条件 ，可以使得 ≌ ，

添加条件 ，可以使得 ≌ ，

故答案为 或 （答案不唯一）．

13. 2

抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，把点 代入得到 ，整理得 ， .故答案为2.

【关键点拨】

抛物线的平移规律:左加右减自变量，上加下减常数项.

14.

, ， .设 的半径为 ，则 .在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ， , ， .在 中，由勾股定理得 ，故答案为 .

15. 5

这组数据有唯一众数 ， 为 中位数是 ， 是 ， 这一组数据的平均数为 ，故答案为5．

16.

解： ，化简得 ，

去分母得 ，移项合并得 ，解得 ，

由方程的解是正整数，得到 为正整数，即 或 ，

解得 或 （舍去，会使得分式无意义）．

17. 13或

解：当 时，如图，

∵矩形 ，∴点 是 的中点，

∵点 是 的中点，∴ ， ，

∵点 是 边的三等分点，∴ ， ，

∵矩形 的面积是90，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ；

当 时，如图，

∵矩形 ，∴点 是 的中点，

∵点 是 的中点，∴ ， ，

∵点 是 边的三等分点，∴ ， ，

∵矩形 的面积是90，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ．

18. ①②③⑤

解：∵正方形 ，∴ ， ， ，

如图1，作 于 ，则四边形 是矩形，

∴ ，

∵ ，∴ ，

又∵ ， ，∴ ≌ ，

∴ ，①正确，故符合要求；

如图2，作 交 于 ，连接 ，

∴ ，∴ ，

∵ ， ， ，∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，即 ，

∵ ，∴ ，

∵ ， ， ，∴ ≌ ，∴ ，

由勾股定理得 ，

∵ ，∴ ，②正确，故符合要求；

∵ 是 中点， ，∴ ，

如图3，连接 ，

由勾股定理得 ， ，

解得 ，设 ，则 ， ，

由勾股定理得 ，

∵ ，∴ ，整理得 ，

解得 或 （舍去），∴ ， ，

∵ ，∴ ，

解得 ，③正确，故符合要求；

由题意知 ，

∴ ， 不相似， ，④错误，故不符合要求；

∵ ，∴ ， ，

设 ， ， ，则 ， ， ， ，

∵ ，， ，∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，

解得 ，同理得 ，∴ ，即 ，

同理得 ，∴ ，即 ，∴ ，

将 代入 得 ，整理得 ，

解得 ，∴ ，⑤正确，故符合要求；

故答案为①②③⑤．

三、解答题

19. 【解】 ． 且 ， 或 或 ．当 时，原式 ． 或当 时，原式 或当 时，原式

20. 17.5米

解：根据题意可知四边形 是矩形，

，

如图， ，

，

，

，

，

，

（米），

答：建筑物 的高度约为 米．

21. (1)50 (2) ，图形见详解 (3)480名

（1）解：这次被调查的学生人数为 ％ （名）；

（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为 ，

％ （人），

补全图形如下：

；

（） （名），

估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．

22. 的面积为12或36.当 时，所作图形如图（1），作 ，垂足为 .在菱形 中， ， ， ， . ， . ， ， ， 的面积为 .

当 时，所作图形如图（2），作 ，垂足为 .在菱形 中， ， ， . ， ， ， ， ， 的面积为 .综上， 的面积为12或36．【易错警示】以 为边向 外作有一个内角为 的菱形 有两种情况： ① ; ② ,不要漏解.

23. (1) ；(2)

（1）解：把 和 代入得：

，解得 ，

∴二次函数的解析式为 ；

（2）解：令 ，则 ，解得 ， ，∴点 的坐标为 ，

∴ ，

设直线 的解析式为 ，代入得

，解得 ，

∴直线 的解析式为 ，

过点 作 轴交 于点 ，

设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，

∴ ，

∴ ，∴ 的面积最大为 ，

∴ ．

24. (1)70，300 (2) (3) 或

（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为 ，

甲车行驶的速度是 ；

（2）解：由图可知 ， 的坐标分别为 ， ，

设线段 所在直线的函数解析式为 ，

则 ，解得 ，

线段 所在直线的函数解析式为 ；

（3）解：由题意知， ， 两地的距离为 ，

乙车行驶的速度为 ，

， 两地的距离为 ，

， 两地的距离为 ，

设两车出发 小时，乙车距 地的路程是甲车距 地路程的3倍，

分两种情况，当甲乙相遇前时：

，解得 ；

当甲乙相遇后时： ，解得 ；

综上可知，两车出发 或 时，乙车距 地的路程是甲车距 地路程的3倍．

25. （1）见解析；（2）图②： ，图③： ；（3）10或18

（1）证明：在 边上截取 ，连接 ．

在 中， ．

， ．

又 ， ．

又 ， ， ．

又 ， ≌ ． ．

．

．

， ． 是等边三角形 ． ，

， ；

（2）图②：当点 在线段 的延长线上时， ，证明如下：

如图所示，在 上取点 ，使 ，连接 并延长到点 使 ，连接 ，

∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，

∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，

∴ ，∴ ，即 ，

又∵ ，∴ ≌ ，∴ ， ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，

∴ ；

图③：当点 在线段 的延长线上时， ，证明如下：

如图所示，在 上取点 使 ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，

∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，

又∵ ，∴ ≌ ，∴ ， ，

∵ ，∴ ，∴ ；

（3）如图所示，

∵ ， ，∴ ， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ， ，∴ ，

由（1）可知， ，∴ ；

如图所示，当点 在线段 的延长线上时，

∵ ，与 矛盾，∴不符合题意；

如图所示，当点 在线段 的延长线上时，

∵ ， ，∴ ，

由（2）可知， ，

∵ ，∴ ．

综上所述， 或18．

26. (1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；(2)有3种方案，见解析；(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.

（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，

则 ，， 解得 ，，

故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；

（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇 箱，

则 ，， 解得 ，

∵ 为正整数，∴ ，

故该商店有三种进货方案，

分别为①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；

②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；

③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；

（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时，

根据题意得 ，

解得 ；

当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时，

根据题意得 ，

解得 （是小数，不符合要求）；

当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时，

根据题意得 ，

解得 （是小数，不符合要求）．

故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．

27. (1) ； (2) ； (3)存在，12个，

（1）解：解方程 得 ， ，

∴ ，即点 的坐标为 ，

把 代入 得 ，∴ ，点 的坐标为 ；

（2）解：过点 作 于点 ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

又∵ 是平行四边形，∴ ， ，

∵ 是 的垂直平分线，∴ ，

∵ ，∴ ， ，

∴ ≌ ，∴ ，∴ ，

∴ ；

（3）如图，当 时，有 个，

解：∵ ，∴ ，

由（2）得 ， ，∴ ，∴点 得坐标为 ；

当 时，有 个，如图，

当 时，有 个，如图，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴点 与 重合，

故点 得坐标为 ，

综上所述，点 的个数为 个，和点 的坐标为 或 ．