绝密★启用前
200682-2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ）
A．1 B．
C．
D．
5．关于
的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
6．已知关于
的分式方程
无解，则
的值为（ ）
A.
或
B.
C.
或
D.
7．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，双曲线
经过
,
两点，连接
,
，过点
作
轴，垂足为
，
交
于点
，且
为
的中点，则
的面积是（ ）
A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5
9．如图，菱形
中，点
是
的中点，
，垂足为
，
交
于点
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在正方形
中，点
在
边上（不与点 ，
重合），
，
交正方形外角的平分线
于点
，连接
交
于点
，连接
交
于点
，交
于点
，连接
．则下列结论：①
；②点
是
的中点；③若点
是
的中点，则
；④
；⑤若
，则
，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
11．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是
亿斤，将
亿用科学记数法表示为 ．
12．在函数
中，自变量
的取值范围是 ．
13．已知菱形
中对角线
相交于点
，添加条件 可使菱形
成为正方形．
14．七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
15．关于
的不等式组
恰有3个整数解，则
的取值范围是 ．
16．如图，
内接于
，
是直径，若
，则
．
17．若圆锥的底面半径为3，侧面积为
π
，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是
．
18．如图，在
中，
，
，
，
，线段
绕点
旋转，点
为
的中点，则
的最大值是 ．
19．矩形
中，
，
，将
沿过点
的一条直线折叠，折痕交直线
于点
（点
不与点
重合），点
的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则
长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，正方形
顶点
的坐标为
，
是等边三角形，点
坐标是
，
在正方形
内部紧靠正方形
的边（方向为
）做无滑动滚动，第一次滚动后，点
的对应点记为
，
的坐标是
；第二次滚动后，
的对应点记为
，
的坐标是
；第三次滚动后，
的对应点记为
，
的坐标是
；如此下去，……，则
的坐标是 ．
三、解答题
21．先化简，再求值：
，其中
．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，
的三个顶点坐标分别为
，
，
．
(1)画出
关于
轴对称的
，并写出点
的坐标；
(2)画出
绕点
逆时针旋转
后得到的
，并写出点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点
旋转到点
的过程中所经过的路径长（结果保留 π
）.
23．如图，抛物线
与
轴交于 ，
两点，与
轴交于点
，其中
，
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点
，使得
的面积最大．若存在，请直接写出点
坐标和
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
24．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题.
组别 |
分组
（） |
频数 |
A |
|
3 |
B |
|
|
C |
|
20 |
D |
|
14 |
E |
|
5 |
(1)频数分布表中
，扇形统计图中
．
(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别．
(3)该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？
25．甲、乙两货车分别从相距
的
两地同时出发，甲货车从
地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往
地，乙货车沿同一条公路从
地驶往
地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回
地，结果比甲货车晚半小时到达
地．如图是甲、乙两货车距
地的距离
与行驶时间
之间的函数图象，结合图象回答下列问题.
(1)甲货车到达配货站之前的速度是
，乙货车的速度是
；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往
地的过程中，甲货车距
地的距离
与行驶时间
之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
26．已知
是等腰三角形，
，
，
在
的内部，点
在
上，点
在点
的左侧，探究线段 ，，
之间的数量关系．
（1）如图①，当
时，探究如下
由
，
可知，将
绕点
顺时针旋转
，得到
，则
且
，连接
，易证 ≌
，可得
，在
中，
，则有
．
（2）当
时，如图②,当
时，如图③，分别写出线段
，，
之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
27．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
28．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形
的边
在
轴上，点
在第一象限，
的长度是一元二次方程
的根，动点
从点
出发以每秒2个单位长度的速度沿折线
运动，动点
从点
出发以每秒3个单位长度的速度沿折线
运动， ，
两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为
秒（
），
的面积为
．
(1)求点
的坐标；
(2)求
与
的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当
时，点
在
轴上，坐标平面内是否存在点
，使得以点 ，，，
为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题
1. C
解：A、
，故选项A计算错误，此选项不符合题意；
B、
，故选项B计算错误，此选项不符合题意；
C、
，此选项计算正确，符合题意；
D、
，故选项D计算错误，此选项不符合题意.
故此题答案为C．
2. B
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故此题答案为B．
3. B
解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，
第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．
故此题答案为B．
4. D
平均数为
,
方差为
.
故此题答案为D．
5. D
解：
关于
的一元二次方程
有实数根，
且
，即
，解得
，
的取值范围是
且
．
故此题答案为D．
6. A
去分母并整理得
.①当
时,整式方程无解,即原分式方程无解,此时
.②当
时，解得
.
关于
的分式方程
无解，
，解得
，则
，解得
，经检验,
是方程
的解.综上,
或
.故选A.
【刷有所得】
分式方程无解：
将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方程有解，但所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解.
7. B
解：设购买
本笔记本，
支碳素笔，
依题意得
，
．
又
，
均为正整数，
或
或
或
，
共有4种不同的购买方案．
故此题答案为B．
8. A
如图，过点A作
轴，垂足为
，连接
，
则
.
是
的中点，
轴,
轴,
，
，
，即
，
，
，
，
.易得
，
，故选A.
9. C
解：连接
，如图，
∵菱形
中，
与
互相垂直平分，
又∵点
是
的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故此题答案为C．
10. A
连接
，如图，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
垂直平分
，
∴
，
∵
平分
，∴
，∴
，
∵
，∴点
，，，
四点共圆，
∴
，
，
∴
，故①正确，
∵
垂直平分
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴点
是
的中点，故②正确，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
，故④正确，∴
，
若
，则
，∴
，∴
，即
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，故⑤错误，
如图，③若点
是
的中点，设
，即
，
∴
，∴
，
同理可证明
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴在
中，
，
，故③正确，则正确的有①②③④，
故此题答案为A．
二、填空题
11.
亿
，
亿
.
12.
解：根据题意得
，且
，解得
．
13.
或
解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加
；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加
；
故添加的条件为
或
．
14.
解：画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为
．
15.
解：由
，得，
，由
，得，
，
不等式组
恰有3个整数解，
这3个整数解是
，，，
，
解得
．
16.
解：如图所示，连接
，
∵
内接于
，
是直径，∴
，
∵
,
，∴
∴
．
17.
根据圆锥侧面积公式：
π
，可得
ππ
，解得
，
ππ
，解得
，
侧面展开图的圆心角是
．
18.
解：取
的中点
，连接
，
．
∵
，
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵ ，
分别是
，
的中点，∴
．
如图，当
在
下方时，如果
，，
三点共线，则
有最大值，
最大值为
．
19.
或
或10
解：①点
的对称点落在矩形对角线
上，如图1，
∵在矩形
中，
，
，
由折叠性质可知：
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
；
②点
的对称点
落在矩形对角线
上，如图2，
∵在矩形
中，
，
，
，
∴
，∴
，
由折叠性质可知：
，
，
∴
，∴
；
③点
的对称点
落在矩形对角线
延长线上，如图3，
∵在矩形
中，
，
，
，
∴
，∴
，
由折叠性质可知：
，
，
∴
，∴
；
综上所述：则
长为
或
或10．
20.
解：
正方形
顶点
的坐标为
，
,
是等边三角形，点
坐标是
，
等边三角形高为
，
由题知，
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
继续滚动有，
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
的坐标是
；
不断循环，循环规律为以
，
，
，
，
个为一组，
，
的坐标与
的坐标一样为
．
三、解答题
21.
，
解：原式
，
当
时，原式
．
22.
(1)作图见解析，
； (2)作图见解析，
； (3)
π
（1）解：如图，
为所求,点
的坐标为
.
（2）如图，
为所求,
.
（）
，
点
旋转到点
的过程中所经过的路径长
ππ
．
23.
(1)
(2)存在，点
的坐标是
，
的面积最大值是
.
（1）解：将
，
代入
得，
解得
，
.
（2）解：对于
，令
则
解得，
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
过点
作
轴于点
，如图，
设
，且点
在第二象限，
∴
∴ 梯形
.
∵
，
∴
有最大值，
∴当
时，
有最大值，最大值为
，此时点
的坐标为
.
24. (1)8，40；(2)C；(3)估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人
（1）解：被抽取的学生数为
(人)，
故
（人），
，即
；
（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，
，
＞
，
把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，
故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组；
（3）解：
（人）
答：该校立定跳远成绩合格的男生有
人．
25.
(1)30，40;
(2)
; (3)经过1.5h或
或5h,甲、乙两货车与配货站的距离相等
（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，
则甲货车到达配货站之前的速度是
（
）,
乙货车到达配货站路程为
，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回
地，总路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度
.
（2）甲货车从
地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往
地，由图象可知
和点
设
，∴
，解得
，
∴甲货车距
地的距离
与行驶时间
之间的函数解析式
.
（3）设甲货车出发
，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：
，解得
,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：
，
解得
，
③甲货车在配货站卸货后驶往
地时
，解得
，
答：经过
或
或
,甲、乙两货车与配货站的距离相等．
26.
图②的结论是
；图③的结论是
；证明见解析
解：图②的结论是
,
证明：∵
∴
是等边三角形，∴
，
以点
为顶点在
外作
，在
上截取
，连接
，
，过点
作
，垂足为
，
，
，
,
≌
,
，
,
又
即
,
又
，
≌
，
,
∵
∴
，∴
，
,
∴
，
在
中,可得
即
,
整理得
,
;
图③的结论是
证明：以点
为顶点在
外作
，在
上截取
，连接
，
，过点
作
，垂足为
，
，
，
≌
，
又
即
,
又
，
≌
，
,
在
中，
，
，
,
，
在
中,可得
,即
,
整理得
,
.
27. (1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；(2)共有3种购买方案；(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元
（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需
元，购买一个乙种品牌毽子需
元．
由题意得
，解得
，
答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；
（2）解：设购买甲种品牌毽子
个，购买乙种品牌毽子
个．
由题意得
，解得
，
和
均为正整数，
，，
，
，，
，
共有3种购买方案．
（3）设商家获得总利润为
元，
，
，
，
随
的增大而减小，
当
时，
最大
，
答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．
28.
(1)点
的坐标为
(2)
(3)存在，
，
，
，
（1）解：
，解得
，
，
的长度是
的根，
，
∵
是等边三角形，∴
，
过点
作
轴，垂足为
，
在
中，
∴
，
∴
点
的坐标为
；
（2）解：当
时．过
作
轴，垂足为点
，
∴
，
，
∴
∴
，
；
当
时，过
作
，垂足为点
，
∵
∴
又
∴
，
，
又
，
，
当
时，过
作
，垂足为
，
∴
，
同理可得，
，∴
；
，
综上所述
，
（3）解：当
时，解得，
∴
，
过点
作
轴于点
，则
∴
∴点
的坐标为
；
当
为边时，将
沿
轴向下平移4个单位得
，此时
，四边形
是菱形；
将
沿
轴向上平移4个单位得
，此时
，四边形
是菱形；如图，
作点
关于
轴的对称点
，当
时，四边形
是菱形；
当
为对角线时，设
的中点为
，过点
作
轴，交
轴于点
，延长
到
,使
连接
,过点
作
轴于点
，则
∴
∴
,即
，解得，
,
∴
，
∴
；
当
，解得，
，不符合题意，此情况不存在；
当
时，解得，
，不符合题意，此情况不存在；
综上，点
的坐标为
，
，
，
.