【327919】2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题

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200682-2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列计算正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

A．   B．   

C．   D．   

3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（      ）

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

4．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（      ）

A．1　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 且 　　　　D． 且

6．已知关于 的分式方程 无解，则 的值为（      ）

A. 或 B.

C. 或 D.

7．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（      ）

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

8．如图，双曲线 经过 , 两点，连接 , ，过点 作 轴，垂足为 ， 交 于点 ，且 为 的中点，则 的面积是（      ）

A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5

9．如图，菱形 中，点 是 的中点， ，垂足为 ， 交 于点 ， ， ，则 的长为（      ）

  

A． B． C． D．

10．如图，在正方形 中，点 在 边上（不与点 ， 重合）， ， 交正方形外角的平分线 于点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．则下列结论：① ；②点 是 的中点；③若点 是 的中点，则 ；④ ；⑤若 ，则 ，其中正确的结论是（      ）

A．①②③④　　　　B．①③⑤　　　　C．①②④⑤　　　　D．①②③④⑤

二、填空题

11．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是 亿斤，将 亿用科学记数法表示为              ．

12．在函数 中，自变量 的取值范围是        ．

13．已知菱形 中对角线 相交于点 ，添加条件                 可使菱形 成为正方形．

14．七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是        ．

15．关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范围是        ．

16．如图， 内接于 ， 是直径，若 ，则          ．

17．若圆锥的底面半径为3，侧面积为 π ，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是         ．

18．如图，在 中， ， ， ， ，线段 绕点 旋转，点 为 的中点，则 的最大值是        ．

19．矩形 中， ， ，将 沿过点 的一条直线折叠，折痕交直线 于点 （点 不与点 重合），点 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则 长为        ．

20．如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点 的坐标为 ， 是等边三角形，点 坐标是 ， 在正方形 内部紧靠正方形 的边（方向为 ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点 的对应点记为 ， 的坐标是 ；第二次滚动后， 的对应点记为 ， 的坐标是 ；第三次滚动后， 的对应点记为 ， 的坐标是 ；如此下去，……，则 的坐标是            ．

三、解答题

21．先化简，再求值： ，其中 ．

22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．

(1)画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；

(2)画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；

(3)在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中所经过的路径长（结果保留 π ）.

23．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 ， ．

  

(1)求抛物线的解析式．

(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得 的面积最大．若存在，请直接写出点 坐标和 的面积最大值；若不存在，请说明理由．

24．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题.

组别	分组 （）	频数
A		3
B
C		20
D		14
E		5

(1)频数分布表中 　　　　，扇形统计图中 　　　　．

(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在　　　　组别．

(3)该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？

25．甲、乙两货车分别从相距 的 两地同时出发，甲货车从 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往 地，乙货车沿同一条公路从 地驶往 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 地，结果比甲货车晚半小时到达 地．如图是甲、乙两货车距 地的距离 与行驶时间 之间的函数图象，结合图象回答下列问题.

(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　 ，乙货车的速度是　　　　 ；

(2)求甲货车在配货站卸货后驶往 地的过程中，甲货车距 地的距离 与行驶时间 之间的函数解析式；

(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．

26．已知 是等腰三角形， ， ， 在 的内部，点 在 上，点 在点 的左侧，探究线段 ，， 之间的数量关系．

  

（1）如图①，当 时，探究如下

由 ， 可知，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则 且 ，连接 ，易证 ≌ ，可得 ，在 中， ，则有 ．

（2）当 时，如图②,当 时，如图③，分别写出线段 ，， 之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．

27．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．

(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？

(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？

(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

28．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的边 在 轴上，点 在第一象限， 的长度是一元二次方程 的根，动点 从点 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动，动点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线 运动， ， 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为 秒（ ）， 的面积为 ．

(1)求点 的坐标；

(2)求 与 的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，当 时，点 在 轴上，坐标平面内是否存在点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

一、单选题

1. C

解：A、 ，故选项A计算错误，此选项不符合题意；

B、 ，故选项B计算错误，此选项不符合题意；

C、 ，此选项计算正确，符合题意；

D、 ，故选项D计算错误，此选项不符合题意.

故此题答案为C．

2. B

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．

故此题答案为B．

3. B

解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，

第二层最少有1个小正方体，

因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．

故此题答案为B．

4. D

平均数为 ,

方差为 .

故此题答案为D．

5. D

解： 关于 的一元二次方程 有实数根，

且 ，即 ，解得 ，

的取值范围是 且 ．

故此题答案为D．

6. A

去分母并整理得 .①当 时,整式方程无解,即原分式方程无解,此时 .②当 时，解得 . 关于 的分式方程 无解， ，解得 ，则 ，解得 ，经检验, 是方程 的解.综上, 或 .故选A.

【刷有所得】

分式方程无解：

将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方程有解，但所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解.

7. B

解：设购买 本笔记本， 支碳素笔，

依题意得 ， ．

又 ， 均为正整数，

或 或 或 ， 共有4种不同的购买方案．

故此题答案为B．

8. A

如图，过点A作 轴，垂足为 ，连接 ，

则 .

是 的中点， 轴, 轴, ， ， ，即 ， ， ， ， .易得 ，

，故选A.

9. C

解：连接 ，如图，

  

∵菱形 中， 与 互相垂直平分，

又∵点 是 的中点，

∴A、O、C三点在同一直线上，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故此题答案为C．

10. A

连接 ，如图，

∵四边形 是正方形，

∴ ， ， ， 垂直平分 ，

∴ ，

∵ 平分 ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴点 ，，， 四点共圆，

∴ ， ，

∴ ，故①正确，

∵ 垂直平分 ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴点 是 的中点，故②正确，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，故④正确，∴ ，

若 ，则 ，∴ ，∴ ，即 ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，故⑤错误，

如图，③若点 是 的中点，设 ，即 ，

∴ ，∴ ，

同理可证明 ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴在 中， ，

，故③正确，则正确的有①②③④，

故此题答案为A．

二、填空题

11.

亿 ， 亿 .

12.

解：根据题意得 ，且 ，解得 ．

13. 或

解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加 ；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加 ；

故添加的条件为 或 ．

14.

解：画树状图如下：

由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为 ．

15.

解：由 ，得， ，由 ，得， ，

不等式组 恰有3个整数解， 这3个整数解是 ，，， ，

解得 ．

16.

解：如图所示，连接 ，

∵ 内接于 ， 是直径，∴ ，

∵ , ，∴ ∴ ．

17.

根据圆锥侧面积公式： π ，可得 ππ ，解得 ，

ππ ，解得 ，

侧面展开图的圆心角是 ．

18.

解：取 的中点 ，连接 ， ．

∵ ， ， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ．

如图，当 在 下方时，如果 ，， 三点共线，则 有最大值，

最大值为 ．

19. 或 或10

解：①点 的对称点落在矩形对角线 上，如图1，

∵在矩形 中， ， ，

由折叠性质可知： ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ；

②点 的对称点 落在矩形对角线 上，如图2，

∵在矩形 中， ， ， ，

∴ ，∴ ，

由折叠性质可知： ， ，

∴ ，∴ ；

③点 的对称点 落在矩形对角线 延长线上，如图3，

∵在矩形 中， ， ， ，

∴ ，∴ ，

由折叠性质可知： ， ，

∴ ，∴ ；

综上所述：则 长为 或 或10．

20.

解： 正方形 顶点 的坐标为 ， ,

是等边三角形，点 坐标是 ， 等边三角形高为 ，

由题知， 的坐标是 ； 的坐标是 ； 的坐标是 ；

继续滚动有， 的坐标是 ； 的坐标是 ； 的坐标是 ；

的坐标是 ； 的坐标是 ； 的坐标是 ； 的坐标是 ；

的坐标是 ； 的坐标是 ； 的坐标是 ； 不断循环，循环规律为以 ， ， ， ， 个为一组，

， 的坐标与 的坐标一样为 ．

三、解答题

21. ，

解：原式 ，

当 时，原式 ．

22. (1)作图见解析， ； (2)作图见解析， ； (3) π

（1）解：如图， 为所求,点 的坐标为 .

（2）如图， 为所求, .

（） ，

点 旋转到点 的过程中所经过的路径长 ππ ．

23. (1) (2)存在，点 的坐标是 ， 的面积最大值是 .

（1）解：将 ， 代入 得，

解得 ，

.

（2）解：对于 ，令 则

解得， ，

∴ ，

∴

∵ ，

∴ ，

过点 作 轴于点 ，如图，

设 ，且点 在第二象限，

∴

∴ _梯形

.

∵ ，

∴ 有最大值，

∴当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为 .

24. (1)8，40；(2)C；(3)估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人

（1）解：被抽取的学生数为 (人)，

故 （人），

，即 ；

（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，

， ＞ ，

把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，

故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组；

（3）解： （人）

答：该校立定跳远成绩合格的男生有 人．

25. (1)30，40; (2) ; (3)经过1.5h或 或5h,甲、乙两货车与配货站的距离相等

（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，

则甲货车到达配货站之前的速度是 （ ）,

乙货车到达配货站路程为 ，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 地，总路程为240km，总时间是6h，

∴乙货车速度 .

（2）甲货车从 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往 地，由图象可知 和点

设 ，∴ ，解得 ，

∴甲货车距 地的距离 与行驶时间 之间的函数解析式 .

（3）设甲货车出发 ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，

①两车到达配货站之前： ，解得 ,

②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站： ，

解得 ，

③甲货车在配货站卸货后驶往 地时 ，解得 ，

答：经过 或 或 ,甲、乙两货车与配货站的距离相等．

26. 图②的结论是 ；图③的结论是 ；证明见解析

解：图②的结论是 ,

证明：∵ ∴ 是等边三角形，∴ ，

以点 为顶点在 外作 ，在 上截取 ，连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，

  

， ， , ≌ ,

， ,

又 即 ,

又 ， ≌ ， ,

∵ ∴ ，∴ ， ,

∴ ，

在 中,可得 即 ,

整理得 ,

;

图③的结论是

证明：以点 为顶点在 外作 ，在 上截取 ，连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，

  

， ， ≌ ，

又 即 ,

又 ， ≌ ， ,

在 中， ， ， ,

，

在 中,可得 ,即 ,

整理得 , .

27. (1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；(2)共有3种购买方案；(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元

（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需 元，购买一个乙种品牌毽子需 元．

由题意得 ，解得 ，

答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；

（2）解：设购买甲种品牌毽子 个，购买乙种品牌毽子 个．

由题意得 ，解得 ，

和 均为正整数， ，， ， ，， ，

共有3种购买方案．

（3）设商家获得总利润为 元， ， ，

， 随 的增大而减小， 当 时， _最大 ，

答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．

28. (1)点 的坐标为 (2) (3)存在， ， ， ，

（1）解： ，解得 ， ，

的长度是 的根， ，

∵ 是等边三角形，∴ ，

过点 作 轴，垂足为 ，

在 中， ∴ ，

∴ 点 的坐标为 ；

（2）解：当 时．过 作 轴，垂足为点 ，

∴ ， ， ∴

∴ ，

；

当 时，过 作 ，垂足为点 ，

∵ ∴

又 ∴ ，

，

又 ， ，

当 时，过 作 ，垂足为 ，

∴ ，

同理可得， ，∴ ；

，

综上所述 ，

（3）解：当 时，解得， ∴ ，

过点 作 轴于点 ，则

∴ ∴点 的坐标为 ；

当 为边时，将 沿 轴向下平移4个单位得 ，此时 ，四边形 是菱形；

将 沿 轴向上平移4个单位得 ，此时 ，四边形 是菱形；如图，

作点 关于 轴的对称点 ，当 时，四边形 是菱形；

当 为对角线时，设 的中点为 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，延长 到 ,使 连接 ,过点 作 轴于点 ，则

∴

∴ ,即 ，解得， ,

∴ ， ∴ ；

当 ，解得， ，不符合题意，此情况不存在；

当 时，解得， ，不符合题意，此情况不存在；

综上，点 的坐标为 ， ， ， .