绝密★启用前
200652-2024年黑龙江省大庆市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．
和
B．2024和
C．
和2024 D．
和
2．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿
折叠，量得
；小铁把纸带②沿
折叠，发现
与
重合，
与
重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8．在同一平面直角坐标系中，函数
与
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）
A．小庆选出四个数字的方差等于
B．小铁选出四个数字的方差等于
C．小娜选出四个数字的平均数等于
D．小萌选出四个数字的极差等于
10．如图，在矩形
中，
，
，点M是
边的中点，点N是
边上任意一点，将线段
绕点M顺时针旋转
，点N旋转到点
，则
周长的最小值为（ ）
A．15 B．
C．
D．18
二、填空题
11．计算：
= ．
12．已知
，则
的值是 ．
13．如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为
，圆柱形盒子的容积为
，则
．（球体体积公式：
，其中r为球体半径）
14．请写出一个过点
，
且y的值随x值增大而减小的函数的解析式
．
15．不等式组
的整数解有 个．
16．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形
；分别以点
，
，
为圆心，以
的长为半径作
，
，
．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为
π
，则它的面积是 ．
17．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”
，其“倍值点”为 ，
．下列说法不正确的序号为 ．
①函数
是“倍值函数”；
②函数
的图象上的“倍值点”是 ，
和 ，
；
③若关于x的函数
的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是
；
④若关于x的函数
的图象上存在唯一的“倍值点”，且当
时，n的最小值为k，则k的值为
．
三、解答题
19．求值：
．
20．先化简，再求值：
，其中
．
21．为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高
元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22．如图，
是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路
上由北向南行驶，在
处测得桥头
在南偏东
方向上，继续行驶
米后到达
处，测得桥头
在南偏东
方向上，桥头
在南偏东
方向上，求大桥
的长度．（结果精确到
米，参考数据：
）
23．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“
”记为1分，“
”记为2分，“
”记为3分，“
”记为4分，“
”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
|
平均数 |
中位数 |
众数 |
第1小组 |
3.9 |
4 |
a |
第2小组 |
b |
3.5 |
5 |
第3小组 |
3.25 |
c |
3 |
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)
，
，
；
(3)已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24．如图，平行四边形
中，
,
分别是
，
的平分线，且E,F分别在边
，
上．
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)若
，
，求
的面积．
25．“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的
天中，第
天
且
为整数)的售价为
(元
千克)．当
时，
；当
时，
．销量
(千克)与
的函数关系式为
，已知该产品第
天的售价为
元
千克，第
天的售价为
元
千克，设第
天的销售额为
(元)．
(1)
_，
；
(2)写出第
天的销售额
与
之间的函数关系式；
(3)求在试销售的
天中，共有多少天销售额超过
元？
26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形
是平行四边形，点C在反比例函数
的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为
，
，则
中点坐标为
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是
边的中点，且在反比例函数
图象上，求平行四边形
的面积；
(3)如图3，将直线
向上平移6个单位得到直线
，直线
与函数
图象交于
，
两点，点P为
的中点，过点
作
于点N．请直接写出P点坐标和
的值．
27．如图，
为
的内接三角形，
为
的直径，将
沿直线
翻折到
，点
在
上．连接
，交
于点
，延长
，
，两线相交于点
，过点
作
的切线交
于点
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)若
，
．求
的值．
28．如图，已知二次函数
的图象与
轴交于
，
两点 ．
点坐标为
，与
轴交于点
，点
为抛物线顶点，点
为
中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线
上方的抛物线上存在点
，使得
，求点
的坐标；
(3)已知
，
为抛物线上不与
，
重合的相异两点．
①若点
与点
重合，
，且
，求证：
，
，
三点共线；
②若直线
，
交于点
，则无论
，
在抛物线上如何运动，只要
，
，
三点共线，
，
，
中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
参考答案
一、单选题
1. A
解：A．
和
互为相反数，故A选项符合题意；
B．2024和
互为倒数，故B选项不符合题意；
C．
和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D．
和
不互为相反数，故D选项不符合题意；
故此题答案为A．
2. C
解：数字0.00000156用科学记数法表示为
，
故此题答案为C．
3. D
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
4. B
解：A．圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；
B．圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；
C．圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；
D．球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故此题答案为B．
5. D
解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A，B，C，D表示，列表如下：
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有
种，
∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为
，
故此题答案为D．
6. D
解：A.
若
，且
，则
，故该选项不正确，不符合题意；
B.
设原价为
元，则提价
%后的售价为
元；
后又降价
的售价为
元．
一件衣服降价
后又提价
，
这件衣服的价格相当于原价的
，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意；
D.设这个多边形的边数为
，
∴由题意得,
，
，
，即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意.
故此题答案为D．
7. D
解：对于纸带①，
∵
，∴
，∴
，
由折叠的性质得，
，∴
，∴
与
不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，
，
，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，∴
，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，
故此题答案为D．
8. C
解：∵
，
当
时，一次函数经过第一、二、三象限，
当
时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中
，则当
时，函数
图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中
，则当
时，函数
图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故此题答案为C．
9. A
解：A、假设选出的数据没有
，则选出的数据为
，
，
，
时，方差最大，此时
，方差为
；
当数据为
，
，
，
时，
，
，故该选项符合题意；
B、当该同学选出的四个数字为
，
，
，
时，
，
，故该选项不符合题意；
C、当该同学选出的四个数字为
，
，
，
时，
，故该选项不符合题意；
D、当选出的数据为
，
，
，
或
，
，
，
时，极差也是
，故该选项不符合题意.
故此题答案为A．
10. B
解：过点
作
，交
，
于
，
，过点
作
,垂足为
，
∵矩形
，∴
，∴
，
∴四边形
和
都是矩形，∴
，
由旋转的性质得
，
，
∴
，∴
≌
，∴
，
∴点
在平行于
，且与
的距离为5的直线上运动，
作点
关于直线
的对称点
，连接
交直线
于点
，
此时
周长取得最小值，最小值为
，
∵
，
，∴
，
故此题答案为B．
二、填空题
11. ﹣2
∵（－2）3=－8，∴
.
12. 3
解：∵
，∴
，∴
，∴
．
13.
解：设球的半径为
，则圆柱的高为
，
依题意，
，
，∴
．
14.
（答案不唯一）
解：设满足题意得的一次函数的关系式为
，
代入
，
得，
，
，
∴满足题意的一次函数的解析式为
（答案不唯一）．
15.
解：
①②
解不等式①得
，解不等式②得
,
∴不等式组的解集为
，
∴整数解有
，
，
，
共4个．
16.
π
解：
曲边三角形的周长为
π
，
为等边三角形，
πππ
弓形扇形ππ
曲边三角形的面积为
ππ
17. 48
解：图①中，∵
，
根据勾股定理得
，
∴图①中所有正方形面积和为
，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为
，
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为
，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为
．
18. ①③④
解：①函数
中，令
，则
，无解，故函数
不是“倍值函数”，故①说法错误；
②函数
中，令
，则
，解得
或
，
经检验
或
都是原方程的解，
故函数
的图象上的“倍值点”是
，
和
，
，故②说法正确；
③在
中，
令
，则
，整理得
，
∵关于x的函数
的图象上有两个“倍值点”，
∴
且
，解得
且
，故③说法错误；
④在
中，
令
，则
，整理得
，
∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，∴
，
整理得
，∴对称轴为
，此时n的最小值为
，
根据题意分类讨论，
，解得
；
，无解；
，解得
或
（舍去），
综上，k的值为0或
，故④说法错误；
故答案为①③④．
三、解答题
19. 1
解：
．
20.
，
解：
，当
时，原式
．
21.
该市谷时电价
元/度
解：设该市谷时电价为
元/度，则峰时电价
元/度，根据题意得，
，解得，
，经检验
是原方程的解，
答：该市谷时电价
元/度．
22.
米
解：如图所示，分别过点
作
的垂线，垂足分别为
，
∴四边形
是矩形，∴
，
，
依题意，
，∴
，
∴
，∴
；
在
中，
，
；
在
中，
，
∴
．
答：大桥
的长度约为
米．
23.
(1)①18；②；
(2)5；
；3；
(3)估计该校约有
名学生竞赛成绩不低于90分．
（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为
（人），
补全第1小组得分条形统计图如下.
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则
，
第2小组的平均分为
（分），
则
，第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则
.
（3）解：
（人），
答：估计该校约有
名学生竞赛成绩不低于90分．
24.
(1)见解析；(2)
．
（1）证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵ ，
分别是
,
的平分线，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴四边形
是平行四边形；
（2）解：由（1）得
，
，∴
，
∵
，∴
是等边三角形，∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
作
于点
，
在
中，
，
，∴
，
∴
．
25.
(1)
，
； (2)
；
(3)在试销售的
天中，共有
天销售额超过
元
（1）解：依题意，将
，
代入
，
∴
，解得
，∴
．
（2）解：依题意，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴
；
（3）解：依题意，当
时，
，
当
时，
，解得
，
为正整数，
∴第
天至第
天，销售额超过
元，
（天）.
答：在试销售的
天中，共有
天销售额超过
元.
26.
(1)
；(2)9；(3)
（1）解：∵四边形
是平行四边形，∴
，
∵点B的纵坐标为3．∴
，
把
代入
得，
，∴反比例函数的表达式为
；
（2）解：设
，
∵四边形
是平行四边形，∴
，
∵
，∴
，
∵点D是
边的中点，∴
，即
，
∵点D在反比例函数
图象上，把
代入得，
，
解得
，∴
，∴
▱
；
（3）解：∵将直线
向上平移6个单位得到直线
：
，
∵直线
与函数
图象交于
，
两点，
∴联立方程组得，
，即
，
设
，
，∴
，
∵点P为
的中点，∴点P的横坐标为
，
把
代入
得，
，∴
，∴
，
把
代入
得，
，
把
代入
得，
，解得
，
∴直线
与x，y轴交于点
，
，
∴
，
，∴
，∴
，
过点O作
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
．
27. 见详解
（1）证明：∵将
沿直线
翻折到
，∴
，
∵
为
的直径，
是切线，∴
，∴
；
（2）解：∵
是切线，∴
，
∵
为
的直径，∴
，∴
，
∵由折叠可得
，∴
，
∵四边形
是
的内接四边形，
∴
，
∴
，
又∵
，∴
，∴
，即
；
（3）解：∵
，设
，则
，
∴
，∴
，
∵由折叠可得
，∴
，
∵在
中，
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
．
28.
(1)
；
(2)
；
(3)①见解析；②
的面积为定值
（1）解：将
，
代入
得，
解得
,
∴抛物线解析式为
;
（2）解：对于
，令
，
解得
，
∴
，∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
.
∵
，∴
.
如图所示，过点
作
交抛物线于点
，过点
作
轴于点
，
∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
设
，则
，
，∴
，
∴
，解得
（舍去）或
，∴
（3）①点
与点
重合，则
，
∵点
为
中点，
，
，∴
,
设直线
的解析式为
，代入
,
∴
，解得
，∴
，联立
解得
或
，∴
，在直线
上，即
，
，
三点共线；
②设
，
∵
，
，
三点共线；
，∴设
的解析式
，
联立
，消去
得，
，
∴
.
∵
，
，
设直线
解析式为
，直线
的解析式为
，联立
，
解得
，
∴
.
∵
，
，
∴
，
，
∴
,
而
不为定值，
∴
在直线
上运动，∴
到
轴的距离为定值
，
∵直线
，
交于点
，则无论
，
在抛物线上如何运动，只要
，
，
三点共线，
，
，
中必存在面积为定值的三角形，
到
的距离是变化的，
∴
的面积为
是定值．
