【327916】2024年河北省中考数学试题

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200762-2024年河北省中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（      ）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．如图， 与 交于点 ， 和 关于直线 对称，点 ， 的对称点分别是点 ， ．下列不一定正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． ≌ 　　　　D．

4．下列数中，能使不等式 成立的 的值为（      ）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

5．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（      ）

A．角平分线　　　　B．高线　　　　C．中位线　　　　D．中线

6．如图是由 个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（      ）

  

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电 度，则能使用 天．下列说法错误的是（      ）

A．若 ，则 B．若 ，则

C．若 减小，则 也减小D．若 减小一半，则 增大一倍

8．若 ， 是正整数，且满足 个相加个相乘 ，则 与 的关系正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．淇淇在计算正数 的平方时，误算成 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 （      ）

A．1　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．1或

10．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ． 求证：四边形 是平行四边形． 证明：∵ ，∴ ． ∵ ， ， ， ∴①      ． 又∵ ， ， ∴ ≌ （②      ）． ∴ ．∴四边形 是平行四边形．

若以上解答过程正确，①②应分别为（      ）

A． ， 　　　　B． ，

C． ， 　　　　D． ，

11．直线 与正六边形 的边 分别相交于点 ， ，如图所示，则 （      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

12．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（      ）

（第11题图）

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

13．已知 为整式，若计算 的结果为 ，则 （      ）

A. B. C. D.

14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图,某折扇张开的角度为 时,扇面面积为 ，该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 .若 ,则 与 关系的图像大致是（      ）

A. B. C. D.

15．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图（1）所示的“表格算法”,图（1）表示 ,运算结果为3 036.图（2）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（2）中现有数据进行推断，正确的是（      ）

A. “20”左边的数是16

B. “20”右边的“ ”表示5

C. 运算结果小于6 000

D. 运算结果可以表示为

16．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．

例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如下：

若“和点” 按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点 的坐标为（      ）

A． 或 　　　　B． 或 　　　　C． 或 　　　　D． 或

二、填空题

17．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为      ．

18．已知 ，， 均为正整数．

（1）若 ，则       ；

（2）若 ，则满足条件的 的个数总比 的个数少      个．

19．如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ， 是线段 的五等分点，点 ， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．

（） 的面积为      ；

（） 的面积为      ．

三、解答题

20．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点 ，， 所对应的数依次为 ，， ，乙数轴上的三点 ，， 所对应的数依次为 ，， ．

(1)计算 ，， 三点所对应的数的和，并求 的值；

(2)当点 与点 上下对齐时，点 ， 恰好分别与点 ， 上下对齐，求 的值．

21．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 , , ,除正面的代数式不同外，其余均相同.

（1） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当 , 时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；

（2） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简）,并求出和为单项式的概率.

第一次 和 第二次

22．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点 ，透过点 恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离 ，点 到 的距离 ， 的延长线交 于点 ．

（注：图中所有点均在同一平面）

(1)求 的大小及 的值；

(2)求 的长及 的值．

23．情境：图1是由正方形纸片去掉一个以中心 为顶点的等腰直角三角形后得到的．

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．

如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：

（1）直接写出线段 的长；

（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．

探究：淇淇说,将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．

请你按照淇淇的说法设计一种方案,在图5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．

24．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分，换算规则如下：

当 时， ；

当 时， ．

（其中 是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）

公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为 及 以上）为合格．

(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若 ，求甲、乙的报告成绩；

(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算 的值：

(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：

原始成绩（分）	95	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
人数	1	2	2	5	8	10	7	16	20	15	9	5

①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；

②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．

25．已知 的半径为3，弦 ， 中， ．在平面上，先将 和 按图1位置摆放（点 与点 重合，点 在 上，点 在 内），随后移动 ，使点 在弦 上移动，点 始终在 上随之移动，设 ．

(1)当点 与点 重合时，求劣弧 的长；

(2)当 时，如图2，求点 到 的距离，并求此时 的值；

(3)设点 到 的距离为 ．

①当点 在劣弧 上，且过点 的切线与 垂直时，求 的值；

②直接写出 的最小值．

26．如图,抛物线 过点 ,顶点为 .抛物线 其中 为常数，且 ,顶点为 .

（1） 直接写出 的值和点 的坐标.

（2） 嘉嘉说：无论 为何值，将 的顶点 向左平移2个单位长度后一定落在 上.

淇淇说：无论 为何值， 总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

（3） 当 时，

① 求直线 的表达式；

② 作直线 ,当 与 的交点到 轴的距离恰为6时，求 与 轴交点的横坐标.

（4） 设 与 的交点 , 的横坐标分别为 , ,且 .点 在 上，横坐标为 .点 在 上，横坐标为 .若点 是到直线 的距离最大的点，最大距离为 ,点 到直线 的距离恰好也为 ,直接用含 和 的式子表示 .

参考答案

一、单选题

1. A

解：由五日气温为 ℃℃℃℃℃ 得到 ， ，

∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．

故此题答案为A．

2. C

解：A． ， 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B． ，故此选项不符合题意；

C． ，故此选项符合题意；

D． ，故此选项不符合题意．

故此题答案为C．

3. A

解：由轴对称图形的性质得到 ≌ ， ， ，，， 选项不符合题意，故此题答案为A．

4. A

解：∵ ，

∴ ．

∴符合题意的是A，

故此题答案为A．

5. B

解：由作图可得 ，∴线段 一定是 的高线.

故此题答案为B.

6. D

解：通过左边看可以确定出左视图一共有 列，每列上小正方体个数从左往右分别为 、 、 ．故此题答案为D．

7. C

解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电 度，能使用 天．

∴ ，∴ ，

当 时， ，故A不符合题意；

当 时， ，故B不符合题意；

∵ ， ，∴当 减小，则 增大，故C符合题意；

若 减小一半，则 增大一倍，表述正确，故D不符合题意；

故此题答案为C．

8. A

解：由题意得 ，

∴ ，

∴ ，

故此题答案为A．

9. C

解：由题意得 ，解得 或 （舍）,

故此题答案为C．

10. D

证明：∵ ，∴ ．

∵ ， ， ，∴① ．

又∵ ， ，∴ ≌ （② ）．

∴ ．∴四边形 是平行四边形．

故此题答案为D．

11. B

解：正六边形每个内角为： ，

而六边形 的内角和也为 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故此题答案为B．

12. B

设 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ，且 ， 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.

13. A

计算 的结果为 ， ， ， .故选A.

14. C

设该扇面所在圆的半径为 ，则 ， 该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ， ， ， 是 的正比例函数 ， 与 关系的图像是过原点的一条射线.故选C.

15. D

设这个三位数与这个两位数分别为 和 ， ， ， ， 均为小于10的正整数 ，如图（1）,则由题意得 , , , ， ，则 ， 当 , 时， ，不是正整数，不符合题意，故舍去；

当 , 时， , , ，如图（2）所示.

 

         

图（1）     图（2）     图（3）

A选项，“20”左边的数是 ，故本选项不符合题意；B选项，“20”右边的“ ”表示4，故本选项不符合题意；根据题意可得，表格中被墨迹覆盖的数据应为 ， ，如图（3）.∴运算结果可以表示为 ，故D选项符合题意；当 时，运算结果大于 ，故C选项不符合题意.故选D.

16. D

解：由点 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位 ，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，

若“和点” 按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则按照“和点” 反向运动16次求点 坐标理解，可以分为两种情况：

① 先向右1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是 向右平移1个单位得到 ，故矛盾，不成立；

② 先向下1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到 ，故符合题意，那么点 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，即 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ，

故此题答案为D．

二、填空题

17. 89

解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，

出现的次数最多， 以上数据的众数为89．

18. ；

解：（1）∵ ，而 ，∴ ；

（2）∵ ，， 均为正整数．

∴ ， ， 为连续的三个自然数，而 ，

∴ ， ，

观察 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

而 ， ， ， ， ，

∴ 与 之间的整数有 个，

与 之间的整数有 个，

∴满足条件的 的个数总比 的个数少 （个）．

19. ；

解：（1）连接 ， ， ， ， ，

∵ 的面积为 ， 为 边上的中线，

∴ ，

∵点 ， ， ， 是线段 的五等分点，

∴ ，

∵点 ， ， 是线段 的四等分点，

∴ ，

∵点 是线段 的中点，

∴ ，在 和 中，

，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∴ 的面积为 ；

（2）在 和 中， ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ， 三点共线，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

在 和 中，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的面积为 ．

三、解答题

20. (1) ， ； (2)

（1）解：∵甲数轴上的三点 ，， 所对应的数依次为 ，， ，

∴ ， ， ，

∴ .

（2）解：∵点 与点 上下对齐时，点 ， 恰好分别与点 ， 上下对齐，

∴ ，∴ ，解得 .

21. （1） 【解】当 , 时， ， ， ， 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 . （2） 补全表格如下：

第一次 和 第二次

所有等可能的结果有9种，其中和为单项式的结果有4种， 和为单项式的概率为 .【思路分析】（1）先分别求出当 , 时三个代数式的值，再利用概率公式计算即可. 

22. (1) ， ；(2) ，

（1）解：由题意可得 ， ， ，

， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ；

（2）解：∵ ， ，

∴ ，

如图，过 作 于 ，

∵ ，设 ，则 ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴ ．

23. （） ； （） ， ； 的长为 或 ．

解：如图，过 作 于 ，

结合题意可得,四边形 为矩形，

∴ ，

由拼接可得, ，

由正方形的性质可得, ，

∴ ， ， 为等腰直角三角形，

∴ 为等腰直角三角形，

设 ，

∴ ，

∴ ， ，

∵正方形的边长为 ，

∴对角线的长 ，

∴ ，

∴ ，解得 ，

∴ ；

（2）∵ 为等腰直角三角形， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ；

如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，

此时 ， ，符合要求，

或以 圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，

此时 ， ，

∴ ，

综上, 的长为 或 ．

24. (1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分；(2)125；(3)①130；②

（1）解：当 时，甲的报告成绩为 分，

乙的报告成绩为 分；

（2）解：设丙的原始成绩为 分，则丁的原始成绩为 分，

① 时， _丙① ， _丁② ，

由① ②得 ，

∴ ，

∴ ，故不成立，舍；

② 时， _丙③ ， _丁④ ，

由③ ④得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故不成立，舍；

③ 时， _丙⑤ ， _丁⑥ ，

联立⑤⑥解得 ，且符合题意，

综上所述 ；

（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，

∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；

②当 时，则 ，解得 ，故不成立，舍；

当 时，则 ，解得 ，符合题意，

∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为 ，

∴合格率为 ．

25. (1) π ；(2)点 到 的距离为 ， ；(3)① ；②

（1）解：如图，连接 ， ，

∵ 的半径为 ， ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，

∴ 的长为 ππ ；

（2）解：过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，

∵ ，∴ ，∴四边形 是矩形，

∴ ， ，

∵ ， ，∴ ，而 ，

∴ ，∴点 到 的距离为 ；

∵ ， ，∴ ，∴ ，

∴ ；

（3）解：①如图，∵过点 的切线与 垂直，∴ 过圆心，

过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，

∴四边形 为矩形，∴ ，

∵ ， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，即 ；

②如图，当 为 中点时，过 作 于 ，过 作 于 ，

∴ ，∴ ，此时 最短，

如图，过 作 于 ，而 ，

∵ 为 中点，则 ，∴由（2）可得 ，∴ ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，

设 ，则 ，∴ ，解得 （不符合题意的根舍去），

∴ 的最小值为 ．

26. （1） 【解】 ， 抛物线 过点 ，顶点为 ， ，解得 ， 抛物线 ： ， .（2） 选择嘉嘉.把 向左平移2个单位长度后得到对应点的坐标为 .把 代入 ，得 ， 点 在 上， 嘉嘉说法正确.选择淇淇. ，当 时， ， 过定点 淇淇说法正确.（任选一人的说法进行说理即可）（3） ① 当 时， ， 顶点 .设直线 的表达式为 ，将 ， 代入，得 解得 直线 的表达式为 .② 如图（1）， （等于6时，直线 与 重合，不符合题意）， ， 交点 ，交点 .当直线 过点 时， 直线 ， 设直线 为 ， ，解得 ， 直线 ： .当 时， ， 此时直线 与 轴交点的横坐标为 ；同理当直线 过点 时，直线 ： .当 时， ， 此时直线 与 轴交点的横坐标为 .

图（1）（4） ： ， ， 是由 通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图像的形状相同.如图（2），连接 交 于 ，连接 ， ， ， ， 四边形 是平行四边形. 点 是到直线 的距离最大的点，最大距离为 ，点 到直线 的距离恰好也为 ， 此时 与 重合， 与 重合. ， , ， 的横坐标为 .设 , ， ， 的横坐标为 ， ，解得 .

图（2）【思路分析】（4）由题意可得 是由 通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图像的形状相同，连接 交 于 ，连接 ， ， ， ，可得四边形 是平行四边形.因为点 是到直线 的距离最大的点，最大距离为 ，点 到直线 的距离恰好也为 ，所以此时 与 重合， 与 重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．