绝密★启用前
200762-2024年河北省中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，
与
交于点 ，
和
关于直线
对称，点 ，
的对称点分别是点 ，
．下列不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
≌
D．
4．下列数中，能使不等式
成立的
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段
一定是
的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
6．如图是由
个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电
度，则能使用
天．下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
减小，则
也减小D．若
减小一半，则
增大一倍
8．若
，
是正整数，且满足 个相加个相乘
，则
与
的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．淇淇在计算正数
的平方时，误算成
与2的积，求得的答案比正确答案小1，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．1或
10．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
如图，
求证：四边形
证明：∵
∵
∴① ． 又∵
∴
≌ ∴
|
若以上解答过程正确，①②应分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
11．直线
与正六边形
的边
分别相交于点 ，
，如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形
位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
（第11题图）
A.
点
B.
点
C.
点
D.
点
13．已知
为整式，若计算
的结果为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图,某折扇张开的角度为
时,扇面面积为
，该折扇张开的角度为
时，扇面面积为
.若
,则
与
关系的图像大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
15．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图（1）所示的“表格算法”,图（1）表示
,运算结果为3
036.图（2）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（2）中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A. “20”左边的数是16
B.
“20”右边的“
”表示5
C. 运算结果小于6 000
D.
运算结果可以表示为
16．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”
|
若“和点”
按上述规则连续平移16次后，到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
二、填空题
17．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
18．已知
，，
均为正整数．
（1）若
，则
；
（2）若
，则满足条件的
的个数总比
的个数少 个．
19．如图，
的面积为
，
为
边上的中线，点
，
，
，
是线段
的五等分点，点
，
，
是线段
的四等分点，点
是线段
的中点．
（）
的面积为 ；
（）
的面积为 ．
三、解答题
20．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点
，，
所对应的数依次为 ，，
，乙数轴上的三点 ，，
所对应的数依次为 ，，
．
(1)计算
，，
三点所对应的数的和，并求
的值；
(2)当点
与点
上下对齐时，点 ，
恰好分别与点 ，
上下对齐，求
的值．
21．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有
,
,
,除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）
将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当
,
时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简）,并求出和为单项式的概率.
第一次 和 第二次 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点
恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离
，仰角为
；淇淇向前走了
后到达点
，透过点
恰好看到月亮，仰角为
，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面
的距离
，点
到
的距离
，
的延长线交
于点 ．
（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求
的大小及
的值；
(2)求
的长及
的值．
23．情境：图1是由正方形纸片去掉一个以中心
为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线
，
裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段
的长；
（2）直接写出图3中所有与线段
相等的线段，并计算
的长．
探究：淇淇说,将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案,在图5所示纸片的
边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段
）的位置，并直接写出
的长．
24．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分，换算规则如下：
当
时，
；
当
时，
．
（其中
是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为
及
以上）为合格．
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若
，求甲、乙的报告成绩；
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算
的值：
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分） |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
140 |
145 |
150 |
人数 |
1 |
2 |
2 |
5 |
8 |
10 |
7 |
16 |
20 |
15 |
9 |
5 |
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
25．已知
的半径为3，弦
，
中，
．在平面上，先将
和
按图1位置摆放（点
与点
重合，点
在
上，点
在
内），随后移动
，使点
在弦
上移动，点
始终在
上随之移动，设
．
(1)当点
与点
重合时，求劣弧
的长；
(2)当
时，如图2，求点
到
的距离，并求此时
的值；
(3)设点
到
的距离为
．
①当点
在劣弧
上，且过点
的切线与
垂直时，求
的值；
②直接写出
的最小值．
26．如图,抛物线
过点
,顶点为
.抛物线
其中
为常数，且
,顶点为
.
（1）
直接写出
的值和点
的坐标.
（2）
嘉嘉说：无论
为何值，将
的顶点
向左平移2个单位长度后一定落在
上.
淇淇说：无论
为何值，
总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
（3）
当
时，
①
求直线
的表达式；
②
作直线
,当
与
的交点到
轴的距离恰为6时，求
与
轴交点的横坐标.
（4）
设
与
的交点
,
的横坐标分别为
,
,且
.点
在
上，横坐标为
.点
在
上，横坐标为
.若点
是到直线
的距离最大的点，最大距离为
,点
到直线
的距离恰好也为
,直接用含
和
的式子表示
.
参考答案
一、单选题
1. A
解：由五日气温为
℃℃℃℃℃
得到
，
，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故此题答案为A．
2. C
解：A．
，
不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B．
，故此选项不符合题意；
C．
，故此选项符合题意；
D．
，故此选项不符合题意．
故此题答案为C．
3. A
解：由轴对称图形的性质得到
≌
，
，
，，，
选项不符合题意，故此题答案为A．
4. A
解：∵
，
∴
．
∴符合题意的是A，
故此题答案为A．
5. B
解：由作图可得
，∴线段
一定是
的高线.
故此题答案为B.
6. D
解：通过左边看可以确定出左视图一共有
列，每列上小正方体个数从左往右分别为
、
、
．故此题答案为D．
7. C
解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电
度，能使用
天．
∴
，∴
，
当
时，
，故A不符合题意；
当
时，
，故B不符合题意；
∵
，
，∴当
减小，则
增大，故C符合题意；
若
减小一半，则
增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故此题答案为C．
8. A
解：由题意得
，
∴
，
∴
，
故此题答案为A．
9. C
解：由题意得
，解得
或
（舍）,
故此题答案为C．
10. D
证明：∵
，∴
．
∵
，
，
，∴①
．
又∵
，
，∴
≌
（②
）．
∴
．∴四边形
是平行四边形．
故此题答案为D．
11. B
解：正六边形每个内角为：
，
而六边形
的内角和也为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故此题答案为B．
12. B
设
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
，且
，
该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.
13. A
计算
的结果为
，
，
，
.故选A.
14. C
设该扇面所在圆的半径为
，则
，
该折扇张开的角度为
时，扇面面积为
，
，
，
是
的正比例函数
，
与
关系的图像是过原点的一条射线.故选C.
15. D
设这个三位数与这个两位数分别为
和
，
，
，
，
均为小于10的正整数
，如图（1）,则由题意得
,
,
,
，
，则
，
当
,
时，
，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当
,
时，
,
,
，如图（2）所示.
图（1） 图（2） 图（3）
A选项，“20”左边的数是
，故本选项不符合题意；B选项，“20”右边的“
”表示4，故本选项不符合题意；根据题意可得，表格中被墨迹覆盖的数据应为
，
，如图（3）.∴运算结果可以表示为
，故D选项符合题意；当
时，运算结果大于
，故C选项不符合题意.故选D.
16. D
解：由点
可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位
，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”
按上述规则连续平移16次后，到达点
，则按照“和点”
反向运动16次求点
坐标理解，可以分为两种情况：
①
先向右1个单位得到
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是
向右平移1个单位得到
，故矛盾，不成立；
②
先向下1个单位得到
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到
，故符合题意，那么点
先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为
，即
，那么最后一次若向右平移则为
，若向左平移则为
，
故此题答案为D．
二、填空题
17. 89
解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，
出现的次数最多，
以上数据的众数为89．
18.
；
解：（1）∵
，而
，∴
；
（2）∵
，，
均为正整数．
∴
，
，
为连续的三个自然数，而
，
∴
，
，
观察
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
而
，
，
，
，
，
∴
与
之间的整数有
个，
与
之间的整数有
个，
∴满足条件的
的个数总比
的个数少
（个）．
19.
；
解：（1）连接
，
，
，
，
，
∵
的面积为
，
为
边上的中线，
∴
，
∵点
，
，
，
是线段
的五等分点，
∴
，
∵点
，
，
是线段
的四等分点，
∴
，
∵点
是线段
的中点，
∴
，在
和
中，
，
∴ ≌
，
∴
，
，
∴
的面积为
；
（2）在
和
中，
，
∴ ≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
三点共线，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
的面积为
．
三、解答题
20.
(1)
，
； (2)
（1）解：∵甲数轴上的三点
，，
所对应的数依次为
，，
，
∴
，
，
，
∴
.
（2）解：∵点
与点
上下对齐时，点
，
恰好分别与点
，
上下对齐，
∴
，∴
，解得
.
21.
（1）
【解】当
,
时，
，
，
，
取出的卡片上代数式的值为负数的概率为
. （2）
补全表格如下：
第一次 和 第二次 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
所有等可能的结果有9种，其中和为单项式的结果有4种，
和为单项式的概率为
.【思路分析】（1）先分别求出当
,
时三个代数式的值，再利用概率公式计算即可.
22.
(1)
，
；(2)
，
（1）解：由题意可得
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
如图，过
作
于
，
∵
，设
，则
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
．
23.
（）
； （）
，
；
的长为
或
．
解：如图，过
作
于
，
结合题意可得,四边形
为矩形，
∴
，
由拼接可得,
，
由正方形的性质可得,
，
∴
，
，
为等腰直角三角形，
∴
为等腰直角三角形，
设
，
∴
，
∴
，
，
∵正方形的边长为
，
∴对角线的长
，
∴
，
∴
，解得
，
∴
；
（2）∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
如图，以
为圆心，
为半径画弧交
于
，交
于
，则直线
为分割线，
此时
，
，符合要求，
或以
圆心，
为半径画弧，交
于
，交
于
，则直线
为分割线，
此时
，
，
∴
，
综上,
的长为
或
．
24.
(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分；(2)125；(3)①130；②
（1）解：当
时，甲的报告成绩为
分，
乙的报告成绩为
分；
（2）解：设丙的原始成绩为
分，则丁的原始成绩为
分，
①
时，
丙①
，
丁②
，
由①
②得
，
∴
，
∴
，故不成立，舍；
②
时，
丙③
，
丁④
，
由③
④得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，故不成立，舍；
③
时，
丙⑤
，
丁⑥
，
联立⑤⑥解得
，且符合题意，
综上所述
；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；
②当
时，则
，解得
，故不成立，舍；
当
时，则
，解得
，符合题意，
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为
，
∴合格率为
．
25.
(1) π
；(2)点
到
的距离为 ，
；(3)①
；②
（1）解：如图，连接
，
，
∵
的半径为
，
，∴
，∴
为等边三角形，∴
，
∴
的长为
ππ
；
（2）解：过
作
于
，过
作
于
，连接
，
∵
，∴
，∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
，∴
，而
，
∴
，∴点
到
的距离为
；
∵
，
，∴
，∴
，
∴
；
（3）解：①如图，∵过点
的切线与
垂直，∴
过圆心，
过
作
于
，过
作
于
，而
，
∴四边形
为矩形，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，即
；
②如图，当
为
中点时，过
作
于
，过
作
于
，
∴
，∴
，此时
最短，
如图，过
作
于
，而
，
∵
为
中点，则
，∴由（2）可得
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
设
，则
，∴
，解得
（不符合题意的根舍去），
∴
的最小值为
．
26.
（1）
【解】
，
抛物线
过点
，顶点为
，
，解得
，
抛物线 ：
，
.（2）
选择嘉嘉.把
向左平移2个单位长度后得到对应点的坐标为
.把
代入
，得
，
点
在
上，
嘉嘉说法正确.选择淇淇.
，当
时，
，
过定点
淇淇说法正确.（任选一人的说法进行说理即可）（3）
①
当
时，
，
顶点
.设直线
的表达式为
，将
，
代入，得
解得
直线
的表达式为
.②
如图（1），
（等于6时，直线
与
重合，不符合题意），
，
交点
，交点
.当直线
过点
时，
直线
，
设直线
为
，
，解得
，
直线 ：
.当
时，
，
此时直线
与
轴交点的横坐标为
；同理当直线
过点
时，直线 ：
.当
时，
，
此时直线
与
轴交点的横坐标为
.
图（1）（4）
：
，
，
是由
通过旋转
，再平移得到的，两个函数图像的形状相同.如图（2），连接
交
于
，连接
，
，
，
，
四边形
是平行四边形.
点
是到直线
的距离最大的点，最大距离为
，点
到直线
的距离恰好也为
，
此时
与
重合，
与
重合.
，
,
，
的横坐标为
.设
,
，
，
的横坐标为
，
，解得
.
图（2）【思路分析】（4）由题意可得
是由
通过旋转
，再平移得到的，两个函数图像的形状相同，连接
交
于
，连接
，
，
，
，可得四边形
是平行四边形.因为点
是到直线
的距离最大的点，最大距离为
，点
到直线
的距离恰好也为
，所以此时
与
重合，
与
重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．