【327912】2024年广东省深圳市中考数学试题

绝密★启用前

200684-2024年广东省深圳市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（      ）

A．   B．   

C．   D．   

2．如图，实数 ，，， 在数轴上表示如下，则最小的实数为（      ）

A．a B．b C．c D．

3．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

4．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角 ，则反射光线与平面镜夹角 的度数为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 平分 的是（      ）

A．①②　　　　B．①③　　　　C．②③　　　　D．只有①

7．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房 间，房客 人，则可列方程组为（      ）

A． B．

C． D．

8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（      ）（参考数据： ， ， ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

9．已知一元二次方程 的一个根为1，则       ．

10．如图所示，四边形 ， ， 均为正方形，且 _正方形 ， _正方形 ，则正方形 的边长可以是        ．（写出一个答案即可）

11．如图，在矩形 中， ， 为 中点， ，则扇形 的面积为        ．

12．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ，且点 落在反比例函数 上，点 落在反比例函数 上，则         ．

13．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，过 作 交 延长线于点 ，则         ．

三、解答题

14．计算： ．

15．先化简，再求值： ，其中 .

16．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．

小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 ， 两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：

学校 ：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50

学校 ：

 

  

(1)

学校	平均数	众数	中位数	方差
A	①	48		83.299
B	48.4	②	③	354.04

(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．

17．

背景	【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材	如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 ．
问题解决
任务1	若某商场采购了 辆购物车，求车身总长 与购物车辆数 的表达式；
任务2	若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3	若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？

 

18．如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 的切线， 为 的直径，连接 并延长交 于点E．

(1)求证： ；

(2)若 ， ，求 的半径．

19．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为 ， 轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设 的读数为 ， 读数为 ，抛物线的顶点为C．

(1)（Ⅰ）列表：

	①	②	③	④	⑤	⑥
	0	2	3	4	5	6
	0	1	2.25	4	6.25	9

（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；

（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出 与 的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数 平移，使得顶点 与原点 重合，此时抛物线解析式为 ．

①此时点 的坐标为        ；

②将点 坐标代入 中，解得         ；（用含 ， 的式子表示）

方案二：设 点坐标为

①此时点 的坐标为        ；

②将点 坐标代入 中解得         ；（用含 ， 的式子表示）

(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有 ， 两点， ，且 轴，二次函数 和 都经过 ， 两点，且 和 的顶点 ， 距线段 的距离之和为10，若 轴且 ，求 的值．

20．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．

(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则         ；         ；

(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；

(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连接 ，请直接写出 的值．

参考答案

一、单选题

1. C

解：选项ABD均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故此题答案为C．

2. A

解：由数轴知， ，则最小的实数为 ，

故此题答案为A．

3. B

解：A、 ，故该选项不符合题意；

B、 ，故该选项符合题意；

C、 ，故该选项不符合题意；

D、 ，故该选项不符合题意.

故此题答案为B．

4. D

解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为 ，故此题答案为D．

5. B

解：如图：

∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角 ，

， ，∴ ，则 ，

∵光线是平行的，即 ，∴ ，

故此题答案为B．

6. B

在图①中，利用基本作图可判断 平分 ；

在图③中，利用作法得 ， ，

  

在 和 中，

，∴ ≌ ，

∴ ，

，

，

在 和 中，

，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ，∴ ≌ ，

∴ ，

∴ 是 的平分线；

在图②中，利用基本作图得到 点为 的中点，则 为 边上的中线，

则①③可得出射线 平分 ，

故此题答案为B．

7. A

解：设该店有客房 间，房客 人；根据题意得 ，

故此题答案为A．

8. A

解：如图：延长 交 于一点 ，

∵ ，∴四边形 是矩形，

∵ ，∴四边形 是矩形，同理得四边形 是矩形，

依题意，得 ， ， ， ，

∴ ， ，∴ ，

∴设 ，则 ，

在 ，， ∴ 即 ，

在 ，， ∴ 即 ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴ .

故此题答案为A.

二、填空题

9.

解： 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，

满足一元二次方程 ， ，解得， ．

10. 2（答案不唯一）

解：∵ _正方形 ，∴ ，

∵ _正方形 ，∴ ，

∵ ，即 ，

∴正方形 的边长 ，即 ，

∴正方形 的边长可以是2（答案不唯一）．

11. π

解：∵ ， ，

∴ ，

∵ 为 中点，

∴ ，

∵ ，在 中， ，

∴ ，

同理 ，

∴ ，

∴扇形 的面积为 ππ ．

12. 8

解：过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，如图，

∵ ，∴ ，∴设 ，则 ，∴点 ， ，

∵点 在反比例函数 上，∴ ，∴ （负值已舍），则点 ， ，

∴ ， ，∴ ，

∵四边形 为菱形，∴ ， ，∴点 ， ，

∵点 落在反比例函数 上，∴ ．

13.

解：如图，过点 作 垂足为

∵ ， ，

设 ，∴ ， ，

∵ ， ，∴ ，

∵ ，∴ ，解得 ，，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

过点 作 垂足为 ，

∴ ， ，

∵ , ，∴ ，∴ ．

三、解答题

14.

解：

．

15. ，

解：

，当 时，原式 ．

16. (1)①48.3；②25；③47.5; (2)小明爸爸应该预约学校 ，理由见解析

（1）解：① ；

②数据中出现次数最多的是25，故众数为25；

③数据排序后，排在中间两位的数据为 ，故中位数为 ；

填表如下：

学校	平均数	众数	中位数	方差
A	48.3	48		83.299
B	48.4	25	47.5	354.04

（2）小明爸爸应该预约学校 ，理由如下：

学校 的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼．

17. 任务1： ；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案

解：任务1：∵一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加

∴ ,

任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以运输两列购物车，

令 ，解得 ,

∴一次性最多可以运输18台购物车,

任务3：设 次扶手电梯，则 次直梯,

由题意,∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次,

可列方程为 ，解得 ,

方案一：直梯3次，扶梯2次；

方案二：直梯2次，扶梯3次;

方案三：直梯1次，扶梯4次.

答：共有三种方案.

18. (1)见解析；(2)

（1）证明：连接 并延长，交 于点 ，连接 ，

∵ ， ，

∴ 垂直平分 ，

∴ ， ，

∵ 为 的切线，

∴ ，

∵ 为 的直径，

∴ ，∴四边形 为矩形，

∴ ；

（2）由（1）知四边形 为矩形， ， ，

∴ ，

∴ ，

设 的半径为 ，则 ，

在 中，由勾股定理，得 ，解得 .

即： 的半径为 ．

19. (1)图见解析， ； (2)方案一：① ；② ；方案二：① ；② ； (3) 的值为 或 ．

（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，

观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为 ，

由题意得 ，解得 ，

∴ 与 的关系式为 ；

（2）解：方案一：①∵ ， ，∴ ，

此时点 的坐标为 ；

②由题意得 ，解得 ；

方案二：①∵ 点坐标为 ， ， ，∴ ，

此时点 的坐标为 ；

②由题意得 ，解得 ；

（3）解：根据题意 和 的对称轴为 ，

则 ， ， ， ， 的顶点坐标为 ， ，

∴ 顶点距线段 的距离为 ，

∴ 的顶点距线段 的距离为 ，

∴ 的顶点坐标为 ， 或 ， ，

当 的顶点坐标为 ， 时， ，

将 ， 代入得 ，解得 ；

当 的顶点坐标为 ， 时， ，

将 ， 代入得 ，解得 ；

综上， 的值为 或 ．

20. (1) ， (2) ，理由见解析 (3)①见解析；② 或 ．

（1）解： ， 为 的中点， ， ， ，

， ，

，即 ，解得 ，

，

；

（2）解： ，理由如下：

根据题意，在垂中四边形 中， ，且 为 的中点，

， ；又 ，

， ；

设 ，则 ，

， ，

， ，

，

， ， ；

（3）解：①第一种情况：

作 的平行线 ，使 ，连接 ，

则四边形 为平行四边形；

延长 交 于点 ，

， ， ，

， ， ，即 ， 为 的中点；

故如图1所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：

第二种情况：

作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，在射线 上取 ，连接 ，

故 为 的中点；

同理可证明： ，则 ，则四边形 是平行四边形；

故如图2所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：

第三种情况：

作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 的垂直平分线；

在 延长线上取点 ，使 ，连接 ，

则 为 的中点，

同理可证明 ，从而 ，

故四边形 是平行四边形；

故如图3所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：

②若按照图1作图，

由题意可知， ，

四边形 是平行四边形， ，

， 是等腰三角形；

过 作 于 ，则 ，

， ， ， ，

，

；

, ， ， ，即 ，

∴ ，

若按照图2作图，

延长 、 交于点 ，

同理可得， 是等腰三角形，

连接 ， ， ， ， ， ；

同理， ，

， ， ， ，即 ，  

，

若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）.