【327913】2024年广东省中考数学试卷

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200680-2024年广东省中考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．计算－5＋3的结果是（      ）

A．2B．－2C．8D．－8

2．下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3． 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约 千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据 用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．如图，一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起，则 的度数为（      ）

A．

B．

C．

D．

5．下列计算正确的是（      ）

A． B． C． D．

6．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（      ）

A．2　　　　B．5　　　　C．10　　　　D．20

8．若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则（      ）

A. B. C. D.

9．方程 的解为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

11．数据2，3，5，5，4的众数是    ．

12．关于 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是         ．

13．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为           ．

14．计算：        ．

15．如图，菱形 的面积为24，点 是 的中点，点 是 上的动点.若 的面积为4，则图中阴影部分的面积为  .

（第21题图）

三、解答题

16．计算： ．

17．如图，在 中， ．

(1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线 交 于点 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点 为圆心， 长为半径作 ．求证： 与 相切．

18．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形 充电站的平面示意图，矩形 是其中一个停车位．经测量， ， ， ， ， 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题.（结果精确到 ，参考数据 ）

(1)求 的长；

(2)该充电站有20个停车位，求 的长．

19．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对 ，， 三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：

(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？

(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？

(3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．

20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映，如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）

21．综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为 的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为 的圆锥形过滤漏斗．

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留 π ）

22．【知识技能】

（1） 如图（1），在 中， 是 的中位线.连接 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，得到 .当点 的对应点 与点 重合时，求证： .

【数学理解】

（2） 如图（2），在 中 ， 是 的中位线.连接 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，得到 ，连接 ， ，作 的中线 .求证： .

【拓展探索】

（3） 如图（3），在 中， ，点 在 上， .过点 作 ，垂足为 ， ， .在四边形 内是否存在点 ，使得 ？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

23．【问题背景】

如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 是直线 上第一象限内的两个动点 ，以线段 为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数 的图象经过点A．

【构建联系】

（1）求证：函数 的图象必经过点C．

（2）如图2，把矩形 沿 折叠，点 的对应点为E．当点 落在 轴上，且点 的坐标为 时，求 的值．

【深入探究】

（3）如图3，把矩形 沿 折叠，点 的对应点为E．当点 ， 重合时，连接 交 于点 ．以点 为圆心， 长为半径作 ．若 ，当 与 的边有交点时，求 的取值范围．

参考答案

一、单选题

1. B

∵－5＋3=-(5-3)=-2，故此题答案为B.

2. C

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意.

故此题答案为C．

3. B

解： 大于1，用科学记数法表示为 ，其中 ， ，

∴ 用科学记数法表示为 ，

故此题答案为B．

4. C

解：由题意知， ，∴ ，

故此题答案为C．

5. D

解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；

B、 ，原式计算错误，不符合题意；

C、 ，原式计算错误，不符合题意；

D、 ，原式计算正确，符合题意；

故此题答案为D．

6. A

解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是 ，

故此题答案为A．

7. B

解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，

∴一个正方形的面积为 ，

∴正方形的边长为 ，

故此题答案为B．

8. A

抛物线 的对称轴为 轴，开口向上， 当 时， 随 的增大而增大 点 , , 都在二次函数 的图象上，且 ， ，故选A.

9. C

解： ,

去分母得 ，去括号得 ，

移项、合并同类项得 ，解得 ，

经检验： 是原分式方程的解，故此题答案为C．

10. B

解∶∵不等式 的解集是 ，∴当 时， ，

观察各个选项，只有选项B符合题意，故此题答案为B．

二、填空题

11. 5

解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，

∴这组数据的众数为5．

12.

解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为 ， ，

∴不等式组的解集为 ．

13.

解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，

，

解得

14. 1

解： ．

15. 10

如图，连结 ， 菱形 的面积为24，点 是 的中点， 的面积为 ，_菱形 ， .设菱形 中 边上的高为 ，则 _菱形 ，即 ， ， ， ， ， _阴影菱形 ，故答案为10.

三、解答题

16. 2

解： ．

17. 见详解

（1）解：如图 ， 即为所作；

（2）证明：如图2，作 于 ，

∵ 是 的平分线， ， ，∴ ，

∵ 是半径， ，∴ 与 相切．

18. (1) ；(2)

（1）解：∵四边形 是矩形，∴ ，

在 中， ， ，

∴ ， ，

∵四边形 是矩形，∴ ， ，

∴ ，∴ ，∴ ；

∵ ，∴ ，

∴ .

（2）解：在 中， ，

在 中， ，

∵该充电站有20个停车位，∴ ，

∵四边形 是矩形，∴ ．

19. (1)王先生会选择B景区去游玩(2)王先生会选择A景区去游玩(3)最合适的景区是B景区，理由见解析

（1）解：A景区得分为 分，

B景区得分为 分，

C景区得分为 分，

∵ ，

∴王先生会选择B景区去游玩；

（2）解：A景区得分 分，

B景区得分 分，

C景区得分 分，

∵ ，∴王先生会选择A景区去游玩；

（3）解：最合适的景区是B景区，理由如下：

设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为 ，，， ，

A景区得分为 分，

B景区得分为 分，

C景区得分为 分，

∵ ，∴王先生会选择B景区去游玩．

20. 当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元.

解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，

由题意得

，

∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ，∴ ，

答：当定价为 万元每吨时，利润最大，最大值为 万元．

21. (1)能，见解析；(2) π

（1）解：能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为 ，

根据题意，得 ππ ，解得 ，

∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；

（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为 ，高为 ，

根据题意，得 ππ ，解得 ，∴ ，

∴圆锥的体积为 ππ ．

22. （1） 【证明】 是 的中位线， 且 .又 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，点 的对应点 与点 重合， ， .（2） 【证明】由题意可知， ， ， .作 于点 ，如图（1）所示，则 且 ， ， ， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， .

（3） 【解】在四边形 内，存在点 ,使得 .证明： ， ， 在 中， ， .如图（2），过点 作 于点 ， .又 ， ， ，即 ， ， . ， ， 点 是 的中点， 是 的垂直平分线.过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ，即 ， .过点 作 于点 ，则四边形 是矩形， ， ， ， 点 是 的中点， 垂直平分 ， ， ， ， .又 ， ， ， ，即 ， ， 当点 与点 重合时，满足 .

23. （1）证明见解析； （） ； （）

（1）设 ，则 ，

∵ 轴，∴ 点的纵坐标为 ， ∴将 代入 中得 ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴将 代入 中得出 ，

∴函数 的图象必经过点 ；

（2）∵点 在直线 上，∴ ，∴ ，

∴ 点的横坐标为 ， 点的纵坐标为2，

∵函数 的图象经过点 ， ，∴ ， ， ，∴ ， ，∴ ，

∵把矩形 沿 折叠，点 的对应点为 ，

∴ ， ，∴ ，

如图，过点 作 轴，过点 作 轴，

∵ 轴，∴ ，， 三点共线，

∴ ， ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ,

∵ ， ，∴ ， ，∴ ，

由图知， ，∴ ，∴ ；