【327903】2023年重庆市中考数学真题A卷

绝密·启用前

2023年重庆市中考数学真题（A卷）

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.8的相反数是（       ）
A．
B．8
C．
D．

2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

3.反比例函数 的图象一定经过的点是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图， ，若 ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.估计 的值应在（       ）
A．7和8之间
B．8和9之间
C．9和10之间
D．10和11之间

7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（       ）
   
A．39
B．44
C．49
D．54

8.如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的长度是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

9.如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ， ， ．若 ，则 一定等于（ ）
   
A．
B．
C．
D．

10.在多项式 （其中 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如： ， ， ．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是 　　
A．0
B．1
C．2
D．3

评卷人 得分

二、填空题

11.计算 _____.

12.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为_____．

13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ．

14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为___________．

15.如图，在 中， ， ，点D为 上一点，连接 ．过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长度为___________．
      

16.如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留 ）
   

17.若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________．

18.如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵ ，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵ ，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为 ，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：
(1) ；
(2)

20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
   
已知：如图，四边形 是平行四边形， 是对角线， 垂直平分 ，垂足为点O．
求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ① ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ② ．
又 ___________③ ．
∴ ．
∴ ．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．

21.为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各 架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格 ，中等 ，优等 ），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机 架一次充满电后运行最长时间是：

B款智能玩具飞机 架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：

两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图

类别	A	B
平均数
中位数		b
众数	a
方差

   
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ___________， ___________， ___________；
(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机 架、B款智能玩具飞机 架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 ，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？

23.如图， 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线 方向运动，点F沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
   
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

24.为了满足市民的需求，我市在一条小河 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；① ；② ．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 千米处，点D在点C的正西方 千米处，点D在点A的北偏东 方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西 方向．（参考数据：
   
(1)求AD的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，且交x轴于点 ，B两点，交y轴于点C．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作 于点D，过点P作y轴的平行线交直线 于点E，求 周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

26.在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ．
       
(1)如图1，若 ， ，求线段 的长．
(2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ． 若 ，求证： ．
(3)在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时 的值．

参考答案

1.A

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：8的相反数是 ，
故选A．

2.D

【解析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
从正面看第一层是 个小正方形，第二层右边 个小正方形，
故选：D．

3.C

【解析】
根据题意将各项的坐标代入反比例函数 即可解答．
解： 将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
故选 ．

4.B

【解析】
根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
解：∵两个相似三角形周长的比为 ，
∴相似三角形的对应边比为 ，
故选 ．

5.A

【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得 的度数，根据垂直的定义可得 ，然后根据 即可得出答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．

6.B

【解析】
先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
解：


∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

7.B

【解析】
根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
解：第①个图案用了 根木棍，
第②个图案用了 根木棍，
第③个图案用了 根木棍，
第④个图案用了 根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是 根，
故选：B．

8.C

【解析】
根据切线的性质及正切的定义得到 ，再根据勾股定理得到 ．
解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴在 ， ，
故选 ．
   

9.A

【解析】
利用三角形逆时针旋转 后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
将 绕点 逆时针旋转 至 ，
   
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由旋转性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．   

10.C

【解析】
根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．

解： ，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现 ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使 的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是 ； ； ； ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是 ； ； ．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．

11.1.5

【解析】
先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.
.
故答案为1.5.

12.36°

【解析】
首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．
正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴ ，
∴ .
故答案为36°．

13.

【解析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：根据题意列表如下：

	红球	白球	蓝球
红球	（红球，红球）	（白球，红球）	（蓝球，红球）
白球	（红球，白球）	（白球，白球）	（蓝球，白球）
蓝球	（红球，蓝球）	（白球，蓝球）	（蓝球，蓝球）

由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．

14.

【解析】
设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意得，
，
故答案为： ．

15.3

【解析】
证明 ，得到 ，即可得解．
解： ∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．

16.

【解析】
根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ；
       

17.4

【解析】
先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
∴a可以取：1，3，
∴ ，
故答案为：4．

18.          8165

【解析】
根据递减数的定义进行求解即可．
解：∵ 是递减数，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9整除，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，能被 整除，
∴ 能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴ ，
∵最大的递减数，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 最大取 ，此时 ，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．

19.(1)
(2)

【解析】
（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；
（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．
（1）解：原式
；
（2）原式


．

20.作图：见解析； ； ； ；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分

【解析】
根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
解：如图，即为所求；
   
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ．
又 ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ； ； ；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．

21.(1) ， ， ；
(2)B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
(3)两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有 架．

【解析】
（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出 ，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；
（2）根据方差越小越稳定即可判断；
（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．
（1）解：由题意可知 架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有 出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为 ，即 ；
由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为 ，
则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为： （架）
则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为： （架）
则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为： ，
故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：
B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：
即
故答案为： ， ， ；
（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
（3） 架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有： 架，
答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有 架．

22.(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份

【解析】
（1）设购买杂酱面 份，则购买牛肉面 份，由题意知， ，解方程可得 的值，然后代入 ，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面 份，则购买杂酱面 份，由题意知， ，计算求出满足要求的解即可．
（1）解：设购买杂酱面 份，则购买牛肉面 份，
由题意知， ，
解得， ，
∴ ，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面 份，则购买杂酱面 份，
由题意知， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．

23.(1)当 时， ；当 时， ；
(2)图象见解析，当 时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或

【解析】
（1）分两种情况：当 时，根据等边三角形的性质解答；当 时，利用周长减去 即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用 分别求解即可．
（1）解：当 时，
连接 ，
   
由题意得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
当 时， ；
   
（2）函数图象如图：
   
当 时，y随t的增大而增大；
（3）当 时， 即 ；
当 时， 即 ，解得 ，
故t的值为3或 ．

24.(1)AD的长度约为 千米
(2)小明应该选择路线①，理由见解析

【解析】
（1）过点 作 于点 ，根据题意可得四边形 是矩形，进而得出 ，然后解直角三角形即可；
（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．
（1）解：过点 作 于点 ，
   
由题意可得：四边形 是矩形，
∴ 千米，
∵点D在点A的北偏东 方向，
∴ ，
∴ 千米，
答：AD的长度约为 千米；
（2）由题意可得： ， ，
∴路线①的路程为： （千米），
∵ ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
所以路线②的路程为： 千米，
∴路线①的路程 路线②的路程，
故小明应该选择路线①．

25.(1)
(2) 周长的最大值 ，此时点
(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时 或 或

【解析】
（1）把 、 代入 计算即可；
（2）延长 交 轴于 ，可得 ，进而得到 ， ，求出 的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
（1）把 、 代入 得， ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）延长 交 轴于 ，
   
∵过点P作 于点D，过点P作y轴的平行线交直线 于点E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时 周长的最大
∵抛物线的表达式为 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，则
∴ ，
∴当 时 最大，此时
∵ 周长为 ，
∴ 周长的最大值为 ，此时 ，
即 周长的最大值 ，此时点 ；
（3）∵将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为 ，此抛物线对称轴为直线 ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
当 为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴ 与 互相平分，且
∴ ，解得
∵ 中点坐标为 ， 中点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
此时 ；
当 为边长且 和 是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴ 与 互相平分，且
∴ ，解得
∵ 中点坐标为 ， 中点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
此时 或 ；
同理，当 为边长且 和 是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴ 和 互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时 或 或 ；

26.(1)
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）解 ，求得 ，根据 即可求解；
（2）延长 使得 ，连接 ，可得 ，根据 ，得出 四点共圆，则 ， ，得出 ，结合已知条件得出 ，可得 ，即可得证；
（3）在 取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ，根据题意得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， 在半径为 的 上运动，当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，得出 是 的中位线，同理可得 是 的中位线， 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，则 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，延长 使得 ，连接 ，
   
∵ 是 的中点则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 四点共圆，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，
   
在 取得最小值的条件下，即 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ．
∴
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
取 的中点 ，连接 ，
则 是 的中位线，
∴ 在半径为 的 上运动，
当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
   
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，
       
∴ ， 是 的中点，
∴
即 是 的中位线，同理可得 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，
∴
∴
则
在 中，
∴ ．