绝密·启用前
2023年浙江省台州市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.下列各数中，最小的是（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
2.如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3.下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4.下列运算正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5.不等式
的解集在数轴上表示为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为
，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
7.以下调查中，适合全面调查的是（ ）．
A．了解全国中学生的视力情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测台州的城市空气质量
D．调查某池塘中现有鱼的数量
8.如图，
的圆心O与正方形的中心重合，已知
的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A．
B．2
C．
D．
9.如图，锐角三角形
中，
，点D，E分别在边
，
上，连接
，
．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10.抛物线
与直线
交于
，
两点，若
，则直线
一定经过（ ）．
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
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二、填空题 |
11.因式分解：x2﹣3x=_____．
12.一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是________．
13.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若
，则∠2的度数为________．
14.如图，矩形
中，
，
．在边
上取一点E，使
，过点C作
，垂足为点F，则
的长为________．
15.3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
16.如图，点
在线段
上（点C在点
之间），分别以
为边向同侧作等边三角形
与等边三角形
，边长分别为
．
与
交于点H，延长
交于点G，
长为c．
（1）若四边形
的周长与
的周长相等，则
之间的等量关系为________．
（2）若四边形
的面积与
的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．
|
三、解答题 |
17.计算：
．
18.解方程组：
19.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线
，
及在黑板上的投影图像高度
抽象成如图所示的
，
．黑板上投影图像的高度
，
与
的夹角
，求
的长．（结果精确到1cm．参考数据：
，
，
）
20.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度
（单位：
）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为
的水中时，
．
(1)求h关于
的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，
，求该液体的密度
．
21.如图，四边形
中，
，
，
为对角线．
(1)证明：四边形
是平行四边形．
(2)已知
，请用无刻度的直尺和圆规作菱形
，顶点E，F分别在边
，
上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
22.为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x |
|
|
|
|
|
控制班A |
28 |
9 |
9 |
3 |
1 |
实验班B |
25 |
10 |
8 |
2 |
1 |
表2：后测数据
测试分数x |
|
|
|
|
|
控制班A |
14 |
16 |
12 |
6 |
2 |
实验班B |
6 |
8 |
11 |
18 |
3 |
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
23.我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，
是
的直径，直线
是
的切线，
为切点．
，
是圆上两点（不与点
重合，且在直径
的同侧），分别作射线
，
交直线
于点
，点
．
(1)如图1，当
，
的长为
时，求
的长．
(2)如图2，当
，
时，求
的值．
(3)如图3，当
，
时，连接BP，PQ，直接写出
的值．
24.(问题背景)
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
(实验操作)
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
水面高度h/cm（观察值） |
30 |
29 |
28.1 |
27 |
25.8 |
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
(建立模型)
小组讨论发现：“
，
”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用
时，
；
时，
这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
(反思优化)
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过
的一次函数解析式，使得w的值最小．
(设计刻度)
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
参考答案
1.D
【解析】
根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
解：∵2，1是正数，
，
是负数，
∴最小数的是在
，
里，
又
，
，且
，
∴
，
∴最小数的是
．
故选：D．
2.C
【解析】
根据主视图是从该组合体的正面观察得到的图形进行判断即可．
解：由图可知，其主视图如图所示：
，
故选：C．
3.C
【解析】
根据无理数的估算可得答案．
解：∵
，
，而
，
，
∴大小在3与4之间的是
，
故选：C．
4.A
【解析】
根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可．
解：A．
，计算正确，符合题意；
B．
，计算错误，不符合题意；
C．
，，计算错误，不符合题意；
D．
，计算错误，不符合题意；
故选：A．
5.B
【解析】
根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．
解：
，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
6.A
【解析】
根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
解：
“車”所在位留的坐标为
，
确定点
即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
“炮”所在位置的坐标为
．
故选：A．
7.B
【解析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．
检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
8.D
【解析】
设正方形四个顶点分别为
，连接
并延长，交
于点
，由题意可得，
的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
解：设正方形四个顶点分别为
，连接
并延长，交
于点
，过点
作
，如下图：
则
的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：
，
由勾股定理可得：
，
∴
，
故选：D
9.A
【解析】
由
，可得
，再由
，由
无法证明
与
全等，从而无法得到
；证明
可得
；证明
，可得
，即可证明；证明
，即可得出结论．
解：∵
，
∴
，
∵若
，
又
，
∴
与
满足“
”的关系，无法证明全等，
因此无法得出
，故A是假命题，
∵若
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，故B是真命题；
若
，则
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，故C是真命题；
若
，则在
和
中，
，
∴
，
∴
，故D是真命题；
故选：A．
10.D
【解析】
根据已知条件可得出
，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
解：
抛物线
与直线
交于
，
两点，
，
．
，
∵
，
．
当
，
时，直线
经过第一、三、四象限，
当
，
时，直线
经过第一、二、四象限，
综上所述，
一定经过一、四象限．
故选：D．
11.x（x﹣3）
【解析】
试题提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
12.
【解析】
根据概率的公式即可求出答案．
解：由题意得摸出红球的情况有两种，总共有5个球，
摸出红球的概率：
．
故答案为：
．
13.
##
度
【解析】
如图，先标注点与角，由对折可得：
，求解
，利用
，从而可得答案．
解：如图，先标注点与角，
由对折可得：
，
∴
，
∵
，
∴
；
故答案为：
14.
【解析】
利用矩形的性质、勾股定理求出
，利用
证明
，根据全等三角形的性质求解即可．
解：∵矩形
中，
，
，
∴
，
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
15.3
【解析】
审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．
设第一组有x人，则第二组有
人，根据题意，得
去分母，得
解得，
经检验，
是原方程的根．
故答案为：3
16.
【解析】
由题意可得：
为等边三角形，四边形
为平行四边形，
，（1）分别求得四边形
的周长与
的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形
的面积与
的面积，根据题意，求解即可．
解：等边三角形
与等边三角形
中，
，
∴
和
为等边三角形，
，
∴
，四边形
为平行四边形，
又∵等边三角形
与等边三角形
∴
，
，
，
∴
，
（1）平行四边形
的周长为：
，
的周长为：
由题意可得：
即：
；
（2）过点
作
，过点
作
，如下图：
在
中，
，
，
，
∴
则平行四边形
的面积为
在
中，
，
，
，
∴
则
的面积为：
由题意可得：
化简可得：
故答案为：
；
17.2
【解析】
根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案．
解：
．
18.
【解析】
把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可．
解：
①+②，得
．
∴
．
把
代入①，得
．
∴这个方程组的解是
．
19.
的长约为
【解析】
在
中，由
，再代入数据进行计算即可．
解：在
中，
，
，
，
∴
．
∴
的长约为
．
20.(1)
．
(2)该液体的密度
为
．
【解析】
（1）由题意可得，设
，把
，
代入解析式，求解即可；
（2）把
代入（1）中的解析式，求解即可．
（1）解：设h关于
的函数解析式为
，
把
，
代入解析式，得
．
∴h关于
的函数解析式为
．
（2）解：把
代入
，得
．
解得：
．
答：该液体的密度
为
．
21.(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）先证明
，再证明
，即
，从而可得结论；
（2）作对角线
的垂直平分线交
于
，交
于
，从而可得菱形
．
（1）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
．
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
（2）如图，
四边形
就是所求作的菱形．
22.(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；
（2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可；
（3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可．
（1）解：
A班的人数：
（人）
B班的人数：
（人）
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）
，
，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在
这一范围，B班中位数在
这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在
这一范围，后测A班中位数在
这一范围，B班中位数在
这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
23.(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）根据扇形的弧长公式即可求出
度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出
的长．
（2）根据等弧所对圆周角相等推出
，再根据角平分线的性质定理推出
，利用直角三角形的性质即可求出
，通过等量转化和余弦值可求出答案．
（3）根据三角形相似的性质证明
和
，从而推出
和
，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案
（1）解：如图1，连接
，设
的度数为
．
，
的长为
，
．
，即
．
．
直线
是
的切线，
．
∴
．
（2）解：如图2，连接
，过点
作
于点
，
为直径，
．
．
，
．
，
，
．
，
，
．
．
（3）解：
，理由如下：
如图3，连接BQ，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．①
，
，
，
．②
，
得，
．
，
．
24.任务1：见解析；任务2：
；任务3：（1）
，（2）
；任务4：见解析
【解析】
任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设
，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
解：任务1：变化量分别为，
；
；
；
；
任务2：设
，
∵
时，
，
时，
；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为
．
任务3：（1）当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴
．
（2）设
，则
．
当
时，w最小．
∴优化后的函数解析式为
．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．