【327895】2023年浙江省杭州市中考数学真题

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2023年浙江省杭州市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

2. （       ）
A．0
B．2
C．4
D．8

3.分解因式： （       ）
A．
B．
C．
D．

4.如图，矩形 的对角线 相交于点 ．若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.在直角坐标系中，把点 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 ．若点 的横坐标和纵坐标相等，则 （       ）
A．2
B．3
C．4
D．5

6.如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧 上．若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

7.已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若 ，数 在数轴上用点 表示，则点 在数轴上的位置可能是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

8.设二次函数 是实数 ，则（       ）
A．当 时，函数 的最小值为
B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为
D．当 时，函数 的最小值为

9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（       ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2

10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ ）和中间一个小正方形 拼成的大正方形 中， ，连接 ．设 ，若正方形 与正方形 的面积之比为 ，则 （       ）
   
A．5
B．4
C．3
D．2

11.计算: ______

12.如图，点 分别在 的边 上，且 ，点 在线段 的延长线上．若 ， ，则 _________．
   

13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则 _________．

14.如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形 的面积为 ， 的面积为 ，则 _________．
   

15.在“ “探索一次函数 的系数 与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点： ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式 ．分别计算 ， 的值，其中最大的值等于_________．
   

16.如图，在 中， ，点 分别在边 ， 上，连接 ，已知点 和点 关于直线 对称．设 ，若 ，则 _________（结果用含 的代数式表示）．
   

17.设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中一组 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

18.某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
   
(1)在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图．
(3)已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．

19.如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 在对角线 上，且 ，连接 ， ．
   
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 的面积等于2，求 的面积．

20.在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ．
   
(1)求 的值．
(2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点．

21.在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合），射线 与射线 交于点 ．

(1)若 ，求 的长．
(2)求证： ．
(3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．

22.设二次函数 ，（ ， 是实数）．已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示：

(1)若 ，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．

23.如图，在 中，直径 垂直弦 于点 ，连接 ，作 于点 ，交线段 于点 （不与点 重合），连接 ．
   
(1)若 ，求 的长．
(2)求证： ．
(3)若 ，猜想 的度数，并证明你的结论．

参考答案

1.B

【解析】
根据科学记数法的表示方法求解即可．
．
故选：B．

2.D

【解析】
先计算乘方，再计算加法即可求解．
解： ，
故选：D．

3.A

【解析】
利用平方差公式分解即可．
．
故选：A．

4.D

【解析】
根据矩形性质得出 ，推出 则有等边三角形 ，即 ，然后运用余切函数即可解答．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故D正确．
故选：D．

5.C

【解析】
先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
解： 点 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 ，
，即 ，
点 的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．

6.D

【解析】
根据 互相垂直可得 所对的圆心角为 ，根据圆周角定理可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，
   
半径 互相垂直，
，
所对的圆心角为 ，
所对的圆周角 ，
又 ，
，
故选D．

7.B

【解析】
先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定即可．
解：∵ ， ，
∴
∵
∴
A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．

8.A

【解析】
令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．

9.C

【解析】
根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差 ，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．

10.C

【解析】
设 ， ，首先根据 得到 ，然后表示出正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，最后利用正方形 与正方形 的面积之比为 求解即可．
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
∵正方形 的面积为 ，
∵正方形 与正方形 的面积之比为 ，
∴ ，
∴解得 ．
故选：C．

11.

【解析】
试题解析：

12. ##90度

【解析】
首先根据平行线的性质得到 ，然后根据三角形外角的性质求解即可．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．

13.9

【解析】
根据概率公式列分式方程，解方程即可．
解： 从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，
，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验 是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．

14.2

【解析】
连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出 ，得到 ， ，进而求解即可．
如图所示，连接 ，
   
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．

15.5

【解析】
分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，
则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为5．

16.

【解析】
先根据轴对称的性质和已知条件证明 ，再证 ，推出 ，通过证明 ，推出 ，即可求出 的值．
解： 点 和点 关于直线 对称，
，
，
．
，
，
点 和点 关于直线 对称，
，
又 ，
，
，
， ，
点 和点 关于直线 对称，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
在 中， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
．
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．

17.选②， ， ；选③， ，

【解析】
先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择② 时，
，
，
，
， ；
选择③ 时，
，
，
，
， ．

18.(1)200名
(2)见解析
(3)600名

【解析】
（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为： (名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
（1）解： (名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）解：B类学生人数为： (名)，
补全条形统计图如图所示：
   
（3）解： (名)，
答：估计B类的学生人数600名．

19.(1)见解析
(2)1

【解析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ， ，结合 可得 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得 ，再根据平行四边形的性质可得 ．
（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）解： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．

20.(1) ，
(2)见解析

【解析】
（1）首先将点 的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入 求出 ，然后将点 的纵坐标代入 求出 ，然后代入 即可求出 ；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出 所在直线的表达式，进而求解即可．
（1）∵点 的横坐标是2，
∴将 代入
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴解得 ，
∴ ；
（2）如图所示，
   
由题意可得， ， ，
∴设 所在直线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴直线 经过原点．

21.(1)
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理求解．
（1）解：由题知， ，
若 ，则 ．
四边形 是正方形，
，
又 ，
，
，
即 ，
．
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
（3）解：设 ，
则 ， ．
在 中， ，
即 ，
解得 ．
．

22.(1)
(2)当 时，则 时， 随 的增大而减小；当 时，则 时， 随 的增大而减小
(3)

【解析】
（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 ；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把 代入 ，得 ，从而得 ，再求出 ， ， ，从而得 ，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得 ，求解即可．
（1）解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在 图象上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，则 时， 随 的增大而减小，
当 时，则 时， 随 的增大而减小．
（3）解：把 代入 ，得
，
∴
∴
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴ ，解得： ．

23.(1)1
(2)见解析
(3) ，证明见解析

【解析】
（1）由垂径定理可得 ，结合 可得 ，根据圆周角定理可得 ，进而可得 ，通过证明 可得 ；
（2）证明 ，根据对应边成比例可得 ，再根据 ， ，可证 ；
（3）设 ， ，可证 ， ，通过 证明 ，进而可得 ，即 ，则 ．
（1）解： 直径 垂直弦 ，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得 ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明： 是 的直径，
，
在 和 中，
，
，
，
，
由（1）知 ，
，
又 ，
；
（3）解： ，证明如下：
如图，连接 ，
   
，
，
直径 垂直弦 ，
， ，
又 ，
，
，
设 ， ，
则 ，   
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，

，   
，
即 ，
，
．