绝密·启用前
2023年浙江省杭州市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
3.分解因式：
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.如图，矩形
的对角线
相交于点
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.在直角坐标系中，把点
先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点
．若点
的横坐标和纵坐标相等，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6.如图，在
中，半径
互相垂直，点
在劣弧
上．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知数轴上的点
分别表示数
，其中
，
．若
，数
在数轴上用点
表示，则点
在数轴上的位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.设二次函数
是实数
，则（ ）
A．当
时，函数
的最小值为
B．当
时，函数
的最小值为
C．当
时，函数
的最小值为
D．当
时，函数
的最小值为
9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（
）和中间一个小正方形
拼成的大正方形
中，
，连接
．设
，若正方形
与正方形
的面积之比为
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
|
二、填空题 |
11.计算:
______
12.如图，点
分别在
的边
上，且
，点
在线段
的延长线上．若
，
，则
_________．
13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和
个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为
，则
_________．
14.如图，六边形
是
的内接正六边形，设正六边形
的面积为
，
的面积为
，则
_________．
15.在“
“探索一次函数
的系数
与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：
．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式
．分别计算
，
的值，其中最大的值等于_________．
16.如图，在
中，
，点
分别在边
，
上，连接
，已知点
和点
关于直线
对称．设
，若
，则
_________（结果用含
的代数式表示）．
|
三、解答题 |
17.设一元二次方程
．在下面的四组条件中选择其中一组
的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①
；②
；③
；④
．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
18.某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
(1)在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图．
(3)已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
19.如图，平行四边形
的对角线
相交于点
，点
在对角线
上，且
，连接
，
．
(1)求证：四边形
是平行四边形．
(2)若
的面积等于2，求
的面积．
20.在直角坐标系中，已知
，设函数
与函数
的图象交于点
和点
．已知点
的横坐标是2，点
的纵坐标是
．
(1)求
的值．
(2)过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线，在第二象限交于点
；过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线，在第四象限交于点
．求证：直线
经过原点．
21.在边长为
的正方形
中，点
在边
上（不与点
，
重合），射线
与射线
交于点
．
(1)若
，求
的长．
(2)求证：
．
(3)以点
为圆心，
长为半径画弧，交线段
于点
．若
，求
的长．
22.设二次函数
，（
，
是实数）．已知函数值
和自变量
的部分对应取值如下表所示：
|
… |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
|
… |
|
1 |
|
1 |
|
… |
(1)若
，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的
的取值范围，使得
随
的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求
的取值范围．
23.如图，在
中，直径
垂直弦
于点
，连接
，作
于点
，交线段
于点
（不与点
重合），连接
．
(1)若
，求
的长．
(2)求证：
．
(3)若
，猜想
的度数，并证明你的结论．
参考答案
1.B
【解析】
根据科学记数法的表示方法求解即可．
．
故选：B．
2.D
【解析】
先计算乘方，再计算加法即可求解．
解：
，
故选：D．
3.A
4.D
【解析】
根据矩形性质得出
，推出
则有等边三角形
，即
，然后运用余切函数即可解答．
解：∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，故D正确．
故选：D．
5.C
【解析】
先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点
的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
解：
点
先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点
，
，即
，
点
的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．
6.D
【解析】
根据
互相垂直可得
所对的圆心角为
，根据圆周角定理可得
，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，
半径
互相垂直，
，
所对的圆心角为
，
所对的圆周角
，
又
，
，
故选D．
7.B
【解析】
先由
，
，
，根据不等式性质得出
，再分别判定即可．
解：∵
，
，
∴
∵
∴
A、
，故此选项不符合题意；
B、
，故此选项符合题意；
C、
，故此选项不符合题意；
D、
，故此选项不符合题意；
故选：B．
8.A
【解析】
令
，则
，解得：
，
，从而求得抛物线对称轴为直线
，再分别求出当
或
时函数y的最小值即可求解．
解：令
，则
，
解得：
，
，
∴抛物线对称轴为直线
当
时，
抛物线对称轴为直线
，
把
代入
，得
，
∵
∴当
，
时，y有最小值，最小值为
．
故A正确，B错误；
当
时，
抛物线对称轴为直线
，
把
代入
，得
，
∵
∴当
，
时，y有最小值，最小值为
，
故C、D错误，
故选：A．
9.C
【解析】
根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差
，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
10.C
【解析】
设
，
，首先根据
得到
，然后表示出正方形
的面积为
，正方形
的面积为
，最后利用正方形
与正方形
的面积之比为
求解即可．
设
，
，
∵
，
，
∴
，即
，
∴
，整理得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴正方形
的面积为
，
∵正方形
的面积为
，
∵正方形
与正方形
的面积之比为
，
∴
，
∴解得
．
故选：C．
11.
12.
##90度
【解析】
首先根据平行线的性质得到
，然后根据三角形外角的性质求解即可．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
13.9
【解析】
根据概率公式列分式方程，解方程即可．
解：
从中任意摸出一个球是红球的概率为
，
，
去分母，得
，
解得
，
经检验
是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
14.2
【解析】
连接
，首先证明出
是
的内接正三角形，然后证明出
，得到
，
，进而求解即可．
如图所示，连接
，
∵六边形
是
的内接正六边形，
∴
，
∴
是
的内接正三角形，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
由圆和正六边形的性质可得，
，
由圆和正三角形的性质可得，
，
∵
，
∴
．
故答案为：2．
15.5
【解析】
分别求出三个函数解析式，然后求出
，
进行比较即可解答．
解：设
过
，则有：
，解得：
，则
；
同理：
，
则分别计算
，
的最大值为值
．
故答案为5．
16.
【解析】
先根据轴对称的性质和已知条件证明
，再证
，推出
，通过证明
，推出
，即可求出
的值．
解：
点
和点
关于直线
对称，
，
，
．
，
，
点
和点
关于直线
对称，
，
又
，
，
，
，
，
点
和点
关于直线
对称，
，
，
，
，
在
和
中，
，
．
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
解得
，
．
故答案为：
．
17.选②，
，
；选③，
，
【解析】
先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
解：
中
，
①
时，
，方程有两个相等的实数根；
②
时，
，方程有两个不相等的实数根；
③
时，
，方程有两个不相等的实数根；
④
时，
，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②
时，
，
，
，
，
；
选择③
时，
，
，
，
，
．
18.(1)200名
(2)见解析
(3)600名
【解析】
（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为：
(名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
（1）解：
(名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）解：B类学生人数为：
(名)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解：
(名)，
答：估计B类的学生人数600名．
19.(1)见解析
(2)1
【解析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分可得
，
，结合
可得
，即可证明四边形
是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得
，再根据平行四边形的性质可得
．
（1）证明：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
又
，
四边形
是平行四边形．
（2）解：
，
，
，
四边形
是平行四边形，
．
20.(1)
，
(2)见解析
【解析】
（1）首先将点
的横坐标代入
求出点A的坐标，然后代入
求出
，然后将点
的纵坐标代入
求出
，然后代入
即可求出
；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出
所在直线的表达式，进而求解即可．
（1）∵点
的横坐标是2，
∴将
代入
∴
，
∴将
代入
得，
，
∴
，
∵点
的纵坐标是
，
∴将
代入
得，
，
∴
，
∴将
代入
得，
，
∴解得
，
∴
；
（2）如图所示，
由题意可得，
，
，
∴设
所在直线的表达式为
，
∴
，解得
，
∴
，
∴当
时，
，
∴直线
经过原点．
21.(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）证明
，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明
，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设
，则
，
，在
中，利用勾股定理求解．
（1）解：由题知，
，
若
，则
．
四边形
是正方形，
，
又
，
，
，
即
，
．
（2）证明：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
．
（3）解：设
，
则
，
．
在
中，
，
即
，
解得
．
．
22.(1)
(2)当
时，则
时，
随
的增大而减小；当
时，则
时，
随
的增大而减小
(3)
【解析】
（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线
；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把
代入
，得
，从而得
，再求出
，
，
，从而得
，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得
，求解即可．
（1）解：把
，
代入
，得
，解得：
，
∴
．
（2）解：∵
，
在
图象上，
∴抛物线的对称轴为直线
，
∴当
时，则
时，
随
的增大而减小，
当
时，则
时，
随
的增大而减小．
（3）解：把
代入
，得
，
∴
∴
把
代入
得，
，
把
代入
得，
，
把
代入
得，
，
∴
，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴
，解得：
．
23.(1)1
(2)见解析
(3)
，证明见解析
【解析】
（1）由垂径定理可得
，结合
可得
，根据圆周角定理可得
，进而可得
，通过证明
可得
；
（2）证明
，根据对应边成比例可得
，再根据
，
，可证
；
（3）设
，
，可证
，
，通过
证明
，进而可得
，即
，则
．
（1）解：
直径
垂直弦
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得
，
，
在
和
中，
，
，
；
（2）证明：
是
的直径，
，
在
和
中，
，
，
，
，
由（1）知
，
，
又
，
；
（3）解：
，证明如下：
如图，连接
，
，
，
直径
垂直弦
，
，
，
又
，
，
，
设
，
，
则
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
即
，
，
．