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2023年四川省眉山市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的倒数是（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

2.生物学家发现了某种花粉的直径约为 毫米，数据 用科学记数法表示正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列运算中，正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.如图， 中， ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（       ）
A．2
B．4
C．6
D．10

6.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则m的值为（       ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8.由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（       ）
   
A．6
B．9
C．10
D．14

9.关于x的不等式组 的整数解仅有4个，则m的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

10.如图， 切 于点B，连接 交 于点C， 交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

11.如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时， ；其中正确结论的个数为（       ）
   
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

12.如图，在正方形 中，点E是 上一点，延长 至点F，使 ，连结 ， 交 于点K，过点A作 ，垂足为点H，交 于点G，连结 ．下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为（       ）
          
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式： __．

14.已知方程 的根为 ，则 的值为____________．

15.如图， 中， 是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线 交 于点E．连接 交 于点F．过点D作 ，交 于点G．若 ，则 的长为____________．
   

16.关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是____________．

17.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里．
   

18.如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为________
   

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：

20.先化简： ，再从 选择中一个合适的数作为x的值代入求值．

21.某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
   
根据图中信息，完成下列问题：
(1)①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角 的度数为____________．
(2)若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
(3)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．

22.如图， 中，点E是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F．
      
(1)求证： ；
(2)点G是线段 上一点，满足 ， 交 于点H，若 ，求 的长．

23.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

24.如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ．
   
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当 时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25.如图， 中，以 为直径的 交 于点E． 平分 ，过点E作 于点D，延长 交 的延长线于点P．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．

26.在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 两点，与y轴交于点 ，点P是抛物线上的一个动点．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线 上方的抛物线上时，连接 交 于点D．如图1．当 的值最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线 于点M，连接 ，将 沿直线 翻折，当点M的对应点 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据倒数的概念求解即可．
根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到- 的倒数为-2．
故选：A．

2.A

【解析】
根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成 ，其中 ，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
解： ，
故选：A．

3.D

【解析】
根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
解： ， 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D

4.C

【解析】
根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
解： ，
，
，
故选：C．

5.A

【解析】
先计算这组平均数的平均数，再根据方差公式计算即可．
解：∵ ，
∴ ．
故选A．

6.D

【解析】
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故选D．

7.B

【解析】
将方程组的两个方程相减，可得到 ，代入 ，即可解答．
解： ，
得 ，
，
代入 ，可得 ，
解得 ，
故选：B．

8.B

【解析】
根据俯视图可得底层最少有6个，再结合左视图可得第二层最少有2个，即可解答．
解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，
根据左视图第二层有2个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，
根据左视图第三层有1个，可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为1个，
故搭成该立体图形的小正方体最少为 个，
故选：B．

9.A

【解析】
不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
解： ，
由②得： ，
解集为 ，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．

10.C

【解析】
如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，从而可得 ．
解：如图，连接 ，
   
∵ 切 于点B，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C

11.D

【解析】
根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ，根据对称轴为直线 可得 ，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，进而得到当 时， ，由此即可判断②；根据 时， ，即可判断③；利用图象法即可判断④．
解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴ ，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，
∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故②正确；
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
由函数图象可知，当 时， ，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．

12.C

【解析】
根据正方形 的性质可由 定理证 ，即可判定 是等腰直角三角形，进而可得 ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 ；由此即可判断①正确；再根据 ，可判断③正确，进而证明 ，可得 ，结合 ，即可得出结论④正确，由 随着 长度变化而变化，不固定，可 判断② 不一定成立．
解：∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
          
又∵ , ,
∴ ,
∴ ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∴ ，故③正确，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故④正确，
∵若 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
而点E是 上一动点， 随着 长度变化而变化，不固定，
而 ，
则故 不一定成立，故②错误；
综上，正确的有①③④共3个，
故选：C．

13.

【解析】
先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解： ，
，
．
故答案为： ．

14.6

【解析】
解方程，将解得的 代入 即可解答．
解： ，
对左边式子因式分解，可得
解得 ， ，
将 ， 代入 ，
可得原式 ，
故答案为：6．

15.

【解析】
由作图方法可知 是线段 的垂直平分线，则 是 的中线，进而得到点F是 的重心，则 ，证明 ，利用相似三角形的性质得到 ，则 ．
解：由作图方法可知 是线段 的垂直平分线，
∴点E是 的中点，
∴ 是 的中线，
又∵ 是 的中线，且 与 交于点F，
∴点F是 的重心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

16. 且

【解析】
解分式方程，可用 表示 ，再根据题意得到关于 的一元一次不等式即可解答．
解：解 ，可得 ，
的方程 的解为非负数，
，
解得 ，
，
，
即 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．

17. ##

【解析】
过点 作 交于点 ，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．
解：如图，过点 作 交于点 ，
   
由题意可知 , ，
设 为x，
， ，
根据 ，可得方程 ，
解得 ，
渔船与灯塔C的最短距离是 海里，
故答案为： ．

18. 或

【解析】
如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径的圆 上， ，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题意，可得 ，当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ， ，证明 ，设 ，可得 ， ，而 ，则 ，再解方程可得答案．
解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，
   
当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ， ，
∴ ，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．

19.6

【解析】
先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
解：原式

．

20. ；1

【解析】
先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
解：


，
∵ ， ，
∴把 代入得：原式 ．

21.(1)①补全图形见解析；② ；
(2) 人；
(3) ；

【解析】
（1）①先求解总人数，再求解D组人数，再补全统计图即可；②由 乘以D组的占比即可得到圆心角的大小；
（2）由3600乘以E组人数的占比即可；
（3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
（1）解：①由题意可得：总人数为： （人），
∴D组人数为： （人），
补全图形如下：
   
②由题意可得： ；
（2）该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数有：
（人）；
（3）记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图：
   
共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果，
．

22.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，证明 ，推出 ，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明 ，再通过（1）中的结论得到 ，最后证明 ，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
是 的中点，
，
，
，
∴ ，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ,则 ，
可得方程 ，
解得 ，
即 的长为 ．

23.(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
(2)该校最多可以购买甲种书40本

【解析】
（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格 1本乙种书的价格 ；3本甲种书的价格 2本乙种书的价格 ，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书 本，则购买乙种书 本，根据购买甲种书的总价 购买乙种书的总价 ，列不等式解答即可．
（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程 ，
解得 ，
原方程的解为 ，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书 本，则购买乙种书 本，
根据题意可得 ，
解得 ，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．

24.(1)
(2) 或
(3) 或

【解析】
（1）将 ， 代入 ,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作 交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
（1）解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式 ；
（2）解：联立 ，解得 或 ，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为 ，
∴由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当 时， 或 ；
（3）解：如图所示，设直线 交y轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ 是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
   

25.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）连接 ，利用角平分线的性质和等边对等角，证明 ，即可解答；
（2）根据 ，可得 ，求出 的长，再利用勾股定理得 的长，即可得到 的长，最后证明 ，即可解答．
（1）证明：如图，连接 ，
   
，
，
平分 ，
，
，
，
,
,
是 的切线；
（2）解：设 ，则 ，

，解得 ，
，
，
根据勾股定理可得 ， ,
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
．
   

26.(1)
(2)点P的坐标为 ； 的最大值为
(3)点M的坐标为： ，

【解析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作 轴，交 于点Q，求出直线 的解析式为 ，设点P的坐标为 ，则点 ，得出 ，根据 轴，得出 ，根据 ，求出点P的坐标和最大值即可；
（3）证明 ，得出 ，设 ， ，得出 ， ，根据 ，得出 ，求出 或 或 ，根据当 时，点P、M、C、 四点重合，不存在 舍去，求出点M的坐标为 ， ．
（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：过点P作 轴，交 于点Q，如图所示：
      
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点 ，
∵点P在直线 上方的抛物线上，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴
∵ ，
∴

，
∴当 时， 有最大值 ，
此时点P的坐标为 ．
（3）解：根据折叠可知， ， ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，   
∴ ，
设 ， ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 或 ，
∵当 时，点P、M、C、 四点重合，不存在 ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ， ．