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2023年四川省泸州市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列各数中，最大的是（　　）
A．
B．0
C．2
D．

2.泸州市2022年全市地区生产总值（ ）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（　　）
A．
B．
C．
D．

3.如图， ，若 ，则 的度数为（　　）
   
A．
B．
C．
D．

4.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　）
   
A．圆柱
B．圆锥
C．长方体
D．三棱柱

5.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．

7.如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 的平分线与边 相交于点 ， 是 中点，若 ， ，则 的长为（　　）
   
A．1
B．2
C．3
D．4

8.关于 的一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数 的取值有关

9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 ， ， 的计算公式： ， ， ，其中 ， ， 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5
B．5，12，13
C．6，8，10
D．7，24，25

10.若一个菱形的两条对角线长分别是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中， ，点 在斜边 上，以 为直径的半圆 与 相切于点 ，与 相交于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长是（　　）
   
A．
B．
C．
D．

12.已知二次函数 （其中 是自变量），当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为（　　）
A．
B． 或
C． 或
D． 或

评卷人 得分

二、填空题

13.8的立方根为______．

14.在平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则 的值是___________．

15.关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，写出 的一个整数值___________．

16.如图， ， 是正方形 的边 的三等分点， 是对角线 上的动点，当 取得最小值时， 的值是___________．
   

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.如图，点 在线段 上， ， ， ．求证： ．

19.化简： ．

20.某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组： ， ， ， ， ，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在 这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
   
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？

21.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？

22.如图，某数学兴趣小组为了测量古树 的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端 在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为 的斜坡 前进 到达点 ，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 ．在点 处测得古树 的顶端 的俯角为 ，底部 的俯角为 ，求古树 的高度（参考数据： ， ， ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
   

23.如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 ， 轴分别相交于点A，B，与反比例函数 的图象相交于点C，已知 ，点C的横坐标为2．

(1)求 ， 的值；
(2)平行于 轴的动直线与 和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

24.如图， 是 的直径， ， 的弦 于点 ， ．过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．
   
(1)求证： 平分 ；
(2) 为 上一点，连接 交 于点 ，若 ，求 的长．

25.如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A，B， 三点，其对称轴为 ．
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ．
①当 时，求 的长；
②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的坐标．

参考答案

1.C

【解析】
首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
∵ ，
∴ ，
∴最大的数是2．
故选：C．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 ，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 时， 为正整数；当原数 时， 为负整数．
解：260150000000 ．
故选：B．

3.A

【解析】
先根据两直线平行、同旁内角互补求得 的度数，然后再根据对顶角的性质解答即可．
解：∵ ， ，
   
∴ ，
∴ ．
故选：A．

4.D

【解析】
根据三视图进行判断即可．
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．

5.B

【解析】
根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可．
A、 与 不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故选项计算正确，符合题意；
C、 与 不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故选项计算错误，不符合题意；
故选： ．

6.B

【解析】
由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．
解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多，
故这组数据的众数为5，
所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为 ．
故选：B．

7.A

【解析】
根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得 ，进而可得 ，再根据三角形的中位线解答即可.
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
故选：A.

8.C

【解析】
根据一元二次方程根的判别式求出 ，即可得出答案．
解：∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．

9.C

【解析】
首先证明出 ，得到a，b是直角三角形的直角边然后由 ， ， 是互质的奇数逐项求解即可．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵ ， 是互质的奇数，
∴A． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C． ， ，
∵ ， 是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．

10.C

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，得到 ，根据菱形的面积得到 ，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
解：设方程 的两根分别为a，b，
∴ ，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴ ，即 ，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．

11.B

【解析】
连接 ， ，首先根据勾股定理求出 ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质得到 ， ，证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ．
如图所示，连接 ， ，
   
∵ ， ， ，
∴ ，
∵以 为直径的半圆 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ．
故选：B．

12.D

【解析】
首先根据题意求出对称轴 ，然后分两种情况： 和 ，分别根据二次函数的性质求解即可．
∵二次函数 ，
∴对称轴 ，
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴ ，
∴解得 ；
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴当 时， ，
∴解得 ，
∴ ，
∴综上所述，
当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为 或 ．
故选：D．

13.2

【解析】
根据立方根的意义即可完成．
∵
∴8的立方根为2
故答案为：2

14.1

【解析】
根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ．
故答案为：1．

15.7（答案不唯一）

【解析】
先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将 代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
将两个方程相减得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．

16.

【解析】
作点F关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 取得最小值，过点 作 的垂线段，交 于点K，根据题意可知点 落在 上，设正方形的边长为 ，求得 的边长，证明 ，可得 ，即可解答．
解：作点F关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的垂线段，交 于点K，
   
由题意得：此时 落在 上，且根据对称的性质，当P点与 重合时 取得最小值，
设正方形 的边长为a，则 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，   
，
当 取得最小值时， 的值是为 ，
故答案为： ．

17.3

【解析】
根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
解：


．

18.见解析

【解析】
首先根据平行线的性质得到 ，然后证明出 ，最后根据全等三角形的性质求解即可．
证明：∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．

19.

【解析】
先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．
解：


．

20.(1)见解析
(2)82
(3)估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有 人．

【解析】
（1）根据总人数减去其他组的人数求得 的人数，即可补全直方图；
（2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得；
（3）用样本估计总体即可得．
（1）解： (人)，
补全的频数分布直方图如下图所示，
   ；
（2）解：∵ ，
∴第20、21个数为81、83；
∴抽取的40名学生成绩的中位数是 ；
故答案为：82；
（3）解：由题意可得： （人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有 人．

21.(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元

【解析】
（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润 售价 进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据题意得：
，
解得： ， ，
经检验 ， 都是原方程的解，但 不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，且最大值为： ，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．

22.古树 的高度为

【解析】
延长 ， 交于点G，过点B作 于点F，根据斜面 的坡度为 ，设 ，则 ，根据勾股定理得出 ，求出 ，证明四边形 为矩形，得出 ，根据三角函数求出 ， ，最后求出结果即可．
解：延长 ， 交于点G，过点B作 于点F，如图所示：
   
则 ，
∵斜面 的坡度为 ，
∴设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，负值舍去，
即 ，
∵ 为水平方向， 为竖直方向，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ．
答：古树 的高度为 ．

23.(1) ， ；
(2)点D的坐标为 或

【解析】
（1）求得 ，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得 ，据此即可求解；
（2）设点 ，则点 ，利用平行四边形的性质得到 ，解方程即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，解得， ，
∴直线的解析式为 ，
∵点C的横坐标为2，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点C，
∴ ；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点 ，
设点 ，则点 ，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，
∴ ，整理得 或 ，
由 得 ，
整理得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 ；
由 得 ，
整理得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 ；
综上，点D的坐标为 或 ．

24.(1)见解析
(2) ．

【解析】
（1）利用切线的性质得到 ，利用圆周角定理得到 ，利用垂径定理推出 ，据此可证明 ，即可证明 平分 ；
（2）连接 ， ，作 于点M，利用垂径定理求得 ，证明 ，求得 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，据此求解即可．
（1）解：连接 ，
   
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：连接 ， ，过点G作 于点M，
   
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，   
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，
解得 (负值已舍去)，
∴ ．

25.(1)
(2)① ；②

【解析】
（1）根据抛物线对称轴为 ，可得 ，求得 ，再将 代入抛物线，根据待定系数法求得 ，即可解答；
（2）①求出点 ，点 的坐标，即可得到直线 的解析式为 ，设 ，则 ，求得 的解析式，列方程求出点 的坐标，最后根据 列方程，即可求出 的长；
②过 分别作 的垂线段，交 于点 ，过点D作 的垂线段，交 于点I，根据 ，可得 ，即 ，证明 ，设 ，得到直线 的解析式，求出点D的坐标，即可得到点 的坐标，将点E的坐标代入 解方程，即可解答．
（1）解：根据抛物线的对称轴为 ，
得 ，
解得 ，
将 代入抛物线可得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时，得 ，
解得 ， ，
， ，
设 的解析式为 ，将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
设 ，则 ，
设 的解析式为 ，将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
联立方程 ，
解得 ，
根据 ，得 ，
解得 ， ，
经检验， ， 是方程的解，
点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在 轴正半轴，
，

即 的长为 ；
②解：如图，过 分别作 的垂线段，交 于点 ，过点D作 的垂线段，交 于点I，
   
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为 ，
，
设 的解析式为 ，将 ， ，
代入得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
，即 ，
，
四边形 是矩形，
，
，即 ，
将 代入 ，
得 ，
解得 ， （舍去），
．