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2023年四川省内江市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.-2的绝对值是（     ）
A．2
B．
C．
D．

2.作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（          ）
A．
B．
C．
D．

3.如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（　　）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

4.下列计算正确的是（　　）
A．3a+4b＝7ab
B．x¹²÷x⁶＝x⁶
C．（a+2）²＝a²+4
D．（ab³）³＝ab⁶

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.函数 的自变量 的取值范围在数轴上可表示为（     ）
A．    
B．    
C．    
D．    

7.某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．95，92
B．93，93
C．93，92
D．95，93

8.如图，正六边形 内接于 ，点 在 上， 是 的中点，则 的度数为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

10.如图，在 中，点D、E为边 的三等分点，点F、G在边 上， ，点H为 与 的交点．若 ，则 的长为（　　）
   
A．1
B．
C．2
D．3

11.对于实数a，b定义运算“⊗”为 ，例如 ，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（       ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定

12.对于正数x，规定 ，例如： ， ， ， ，计算： （　　）
A．199
B．200
C．201
D．202

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式：x³﹣xy²=_____．

14.若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ___________．

15.如图，用圆心角为 半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______．

16.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 中， ， ，对角线 与 交于点O，点E为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则 ___________．
   

17.已知a、b是方程 的两根，则 ___________．

18.在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足 ，则 的值为___________．

19.如图，四边形 是边长为4的正方形， 是等边三角形，则阴影部分的面积为___________．
   

20.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 垂直于x轴，以 为对称轴作 的轴对称图形，对称轴 与线段 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数 的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 的中点，且 ，则k的值为___________．
   

评卷人 得分

三、解答题

21.计算：

22.如图，在 中，D是 的中点，E是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F．
   
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求证：四边形 是矩形．

23.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
   
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)扇形统计图中圆心角 ___________度；
(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

24.某中学依山而建，校门A处有一坡角 的斜坡 ，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼 的楼顶C的仰角 ，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结果保留根号）．
   

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 和 两点，直线 与x轴相交于点C，连接 ．
   
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当 时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)过点B作 平行于x轴，交 于点D，求梯形 的面积．

26.如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交 于点D，过点D作直线 ，交 的延长线于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 的延长线于点M．
   
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下， ，连接 交 于点P，求 的长．

27.某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：

水果种类	进价（元千克）	售价（元）千克）
甲	a	20
乙	b	23

该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价 元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（ ）不低于 ，求m的最大值．

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y轴交于点 ．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．

2.B

【解析】
6700000=6.7×10⁶．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10ⁿ

3.A

【解析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看易得左边一列有2个正方形，中间与右边一列各有一个正方形．
故选：A．

4.B

【解析】
根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.
解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，所以此选项不正确；
B、x¹²÷x⁶＝x⁶，所以此选项正确；
C、（a+2）²＝a²+4a+4，所以此选项不正确；
D、（ab³）³＝a³b⁹，所以此选项不正确；
故选：B．

5.A

【解析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．

6.D

【解析】
根据二次根式有意义的条件，求出 的解集，再在数轴上表示即可．
解： 中， ，
，
故在数轴上表示为：
   
故选：D．

7.D

【解析】
根据众数和中位数的定义求解．
解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95，
95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95；
这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93．
故选：D．

8.C

【解析】
先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
如图，连接 ，
∵正六边形 ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，

故选Ｃ．

9.D

【解析】
设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入 个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入 个数据，
由题意得 ，
故选：D．

10.C

【解析】
由三等分点的定义与平行线的性质得出 ， ， ， 是 的中位线，易证 ，得 ，解得 ，则 ．

解： 、 为边 的三等分点， ，
， ， ，
， 是 的中位线，
，
，

，
，即 ，
解得： ，
，
故选：C．

11.A

【解析】
先根据新定义得到关于x的方程为 ，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，
故选A．

12.C

【解析】
通过计算 ， 可以推出 结果．

解：


…
， ， ，



故选：C．

13.x（x+y）（x-y）

【解析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x³-xy²=x（x²-y²）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．

14.

【解析】
利用相反数，立方根的性质求出 及c的值，代入原式计算即可得到结果．
解：根据题意得： ，
，
故答案为：

15. ．

【解析】
由圆心角为 ，半径为6的扇形求弧长= ，可求圆锥底面圆周长： ，解得 ，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理 即可．
解：圆心角为 ，半径为6的扇形弧长= ，
圆锥底面圆周长： ，
解得 ，
如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，
由勾股定理 ，
这个圆锥的高是 ．
故答案为： ．

16. ##

【解析】
连接 ，根据矩形的性质得到 ， ， ，根据勾股定理得到 ，求得 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：连接 ，
   
四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．

17.

【解析】
利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得 ，从而得到 ，然后代入，即可求解．
解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴


．
故答案为： ．

18. ##

【解析】
由 ，可得 ，求解 ，证明 ，再利用正弦的定义求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

19. ##

【解析】
作 于 点， 于 点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正方形的性质求出 和 ，从而求出 和 的面积，最后作差求解即可．
解：如图所示，作 于 点， 于 点，
   
∵四边形 是边长为4的正方形，
∴ ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

20.

【解析】
连接 ，设 ，由对称的性质知 ， ，利用相似三角形的判定和性质求得 ，则 ，根据 以及反比例函数的几何意义求解即可．
解：连接 ，
   
设对称轴 与x轴交于点G，
∵ 与 关于对称轴 ，
∴ ， ， ，
∵点A为 的中点，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

21.4

【解析】
根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．
解：


．

22.(1)见解析；
(2)见解析；

【解析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出 ，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．

23.(1)200，补全条形统计图见解析
(2)54
(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ．

【解析】
（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；
（2）用 乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中 的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解： (人)，
C类型社团的人数为 (人)，
补全条形统计图如图，
   
故答案为：200；
（2）解： ，
故答案为：54；
（3）解：画树状图如下：
   
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ．

24. 的长为 米

【解析】
作 于点 ，首先根据坡度求出 ，并通过矩形的判定确定出 ，然后通过解三角形求出 ，即可相加得出结论．
解：如图所示，作 于点 ，则由题意，四边形 为矩形，
   
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
由题意， ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，即： ，
解得： ，经检验， 是上述方程的解，且符合题意，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 米．

25.(1)反比例函数为： ，一次函数为 ．
(2)
(3)9

【解析】
（1）利用 可得反比例函数为 ，再求解 ，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合 可得答案；
（3）求解 的解析式为： ，结合过点B作 平行于x轴，交 于点D， ，可得 ， ，由 为 ，可得 ， ，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
（1）解：∵反比例函数 过 ，
∴ ，
∴反比例函数为： ，
把 代入 可得： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴一次函数为 ．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合 可得
不等式 的解集为： ．
（3）∵ ，同理可得 的解析式为： ，
∵过点B作 平行于x轴，交 于点D， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 为 ，
当 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴梯形 的面积为： ．

26.(1)见解析
(2) 是等边三角形，理由见解析
(3) ．

【解析】
（1）证明 ，可推出 ，即可证明直线 是 的切线；
（2）证明 ， ，得到 ，据此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得 ，得到等边 的边长，在 中，利用余弦函数即可求解．
（1）证明：连接 ，
   
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∵ ， ，即 ，
∴ ．

27.(1)
(2)
(3)1.2

【解析】
（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为 千克，根据题意分两种情况： 和 ，然后分别表示出总利润即可；
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（ ）不低于 列出不等式求解即可．
（1）由题意列方程组为： ，
解得 ；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为 千克，
∴当 时，
；
当 时，
；
综上所述， ；
（3）当 时， ，
∴当 时，y取最大值，此时 （元），
当 时， ，
∴ （元），
∴由上可得：当 时，y取最大值520（元），
∴由题意可得， ，
∴解得 ．
∴m的最大值为1.2．

28.(1)
(2)存在， 的最大值为 ，
(3) 或

【解析】
（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求 ，从而可求 ，即可求解；
（3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进而求出直线 的解析式，即可求解．
（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
设 （ ），
，
解得： ，
，

，
，

，


，
，
当 时， 的最大值为 ，
，
．
故 的最大值为 ， ．
（3）解：存在，
如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，

∵抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，

，
，

，
，
，
解得： ，
；
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
，且经过 ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，   
；
综上所述：存在， 的坐标为 或 ．