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2023年四川省凉山州数学中考真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列各数中，为有理数的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

3.若一组数据 的方差为2，则数据 的方差是（       ）
A．2
B．5
C．6
D．11

4.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客 万人次．将数据 万用科学记数法表示的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.点 关于原点对称的点 的坐标是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.分式 的值为0，则 的值是（       ）
A．0
B．
C．1
D．0或1

9.如图，在 和 中，点E、F在 上， ， ，添加下列条件仍无法证明 的是（       ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，在等腰 中， ，分别以点 点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 ，直线 与 交于点 ，连接 ，则 的度数是（       ）
       
A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中， ，则 （       ）
   
A．1
B．2
C．
D．4

12.已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D． （ 为实数）

评卷人 得分

二、填空题

13.计算 _________．

14.已知 是完全平方式，则 的值是_________．

15.如图， 的顶点 的坐标分别是 ．则顶点 的坐标是_________．
   

16.不等式组 的所有整数解的和是_________．

17.如图，在 纸片中， ， 是 边上的中线，将 沿 折叠，当点 落在点 处时，恰好 ，若 ，则 _________．
   

18.已知 ，则 的值等于_________．

19.如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线 上滑动，若 ，则 的最大值是_________．
   

评卷人 得分

三、解答题

20.先化简，再求值： ，其中 ， ．

21.解方程： ．

22.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用 表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
       
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的游客有多少人？
(2)将两幅不完整的统计图补充完整；
(3)若某游客随机选择 四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择 的概率．

23.超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 在同一直线上．点 、点 到 的距离分别为 ，且 ，在 处测得 点的俯角为 ，在 处测得 点的俯角为 ，小型汽车从点 行驶到点 所用时间为 ．
       
(1)求 两点之间的距离（结果精确到 ）；
(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点 行驶到点 是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据： ）

24.如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，过点 作 交 于点 ．
   
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？

26.阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若 ，则 ．
   
证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，
∴
∴ ，
若 时，当 ，则 ．
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知 ．
   
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出 的值；
(3)求直线 的解析式．

27.如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，点 是 延长线上一点， ，垂足为点 ， ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径和 的长．

28.如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ．
①当 取得最大值时，求 的值和 的最大值；
②当 是等腰三角形时，求点 的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
解：A、 ，是有理数，则此项符合题意；
B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、 是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．

2.B

【解析】
根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．
解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．
故选：B．

3.A

【解析】
根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变．
解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为 ，现在的平均数为 ，
原来的方差 ，
现在的方差 ，
，
．
故选：A．

4.C

【解析】
利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案．
解：A． ，故该选项错误，不合题意；
B． ，故该选项错误，不合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项错误，不合题意；
故选：C．

5.B

【解析】
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解： 万 ，
故选B．

6.D

【解析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
故选D．

7.C

【解析】
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
解：如图所示， ，光线在空气中也平行，
   
， .
，
， .
.
故选：C.

8.A

【解析】
根据分式值为0的条件进行求解即可．
解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．

9.D

【解析】
根据 ，可得 ，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
A、添加 ，可利用角边角证明 ，故本选项不符合题意；
B、添加 ，可利用边角边证明 ，故本选项不符合题意；
C、添加 ，可利用角角边证明 ，故本选项不符合题意；
D、添加 ，无法证明 ，故本选项不符合题意；
故选：D

10.B

【解析】
先根据等边对等角求出 ，由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，则 ，可得 ，由此即可得到 ．
解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ，
由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．

11.B

【解析】
连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ， ，在 中，由 ，计算即可得到答案．
解：连接 ，如图所示，
   ，
，
，
，
， ，
在 中， ，
，
故选：B．

12.C

【解析】
根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此即可判断A；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D．
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故B中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．

13.

【解析】
根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．


．
故答案为： ．

14.

【解析】
根据 ，计算求解即可．
解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．

15.

【解析】
根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，且 ，即可得到结果．
解： 在 中， ， ，
，
，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，
，
故答案为： ．

16.7

【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
解： ，
由①得： ，
∴ ，
解得： ；
由②得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ，0，1，2，3，4；
∴ ，
故答案为：7

17.

【解析】
由 ， ， 是 边上的中线，可知 ，则 ，由翻折的性质可知， ， ，则 ，如图，记 与 的交点为 ， ，由 ，可得 ，根据 ，计算求解即可．
解：∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
由翻折的性质可知， ， ，
∴ ，
如图，记 与 的交点为 ，
   
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

18.2023

【解析】
把 化为： 代入降次，再把 代入求值即可．
解：由 得： ， ，






，
故答案为： ．

19. ##

【解析】
如图所示，取 的中点D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出 ，再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ．
解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
   

20. ，

【解析】
根据 ， ，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
解：原式

．
当 ， 时，
原式
．

21.

【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，
原方程的解为 ．

22.(1)600人
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；
（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解： 人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）解：由题意得，选择C景区的人数为 人，选择A景区的人数占比为 ，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
           
（3）解：画树状图如下：
       
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择 的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择 的概率为 ．

23.(1)
(2)小型汽车从点 行驶到点 没有超速．

【解析】
（1）证明四边形 为矩形，可得 ，结合 ， ， ，可得 ， ，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．
（1）解：∵点 、点 到 的距离分别为 ，
∴ ， ，而 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴
（2）∵小型汽车从点 行驶到点 所用时间为 ．
∴汽车速度为 ，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴ ，
∵ ，
∴小型汽车从点 行驶到点 没有超速．

24.(1)见详解
(2)

【解析】
（1）可证 ，从而可证四边形 是菱形，即可得证；
（2）可求 ，再证 ，可得 ，即可求解．
（1）证明： ，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，

，
，
，
，
，
，

解得： ．

25.(1)雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
(2)最多能购买雷波脐橙40千克．

【解析】
（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为 元， 元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买雷波脐橙 千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可．
（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为 元， 元，则
，
①+②得； ，则 ③
把③代入①得： ，
把③代入②得： ，
∴方程组的解为： ，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）设最多能购买雷波脐橙 千克，则
，
∴ ，
解得： ，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．

26.(1)
(2) ，
(3)

【解析】
（1）首先求出点 ，然后设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，得到 ，然后代入 求解即可；
（2）首先根据 ， 得到 ， ，求出 ， ，然后利用正切值的概念求出 ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ，然后由 即可求出 ；
（3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用 求出 ，进而得到 ，然后设直线 的解析式为 ，利用待定系数法将 和 代入求解即可．
（1）将 代入 得， ，
∴ ，
∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴解得 ， ，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴ 应舍去，
∴ ，
∴ ，
∴将 代入 ，解得 ；
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴将 和 代入得， ，
∴解得 ，
∴直线 的解析式为 ．

27.(1)证明见解析
(2) 的半径为3， 的长为

【解析】
（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设 的半径为 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得 ，根据相似三角形的性质即可得．
（1）证明：如图，连接 ，
   
弦 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
   
设 的半径为 ，则 ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
所以 的半径为3， 的长为 ．

28.(1)
(2)①当 时， 有最大值，最大值为 ；② 或 或

【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，则 ，进一步求出 ，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线 与x轴交于H，先证明 是等腰直角三角形，得到 ；再分如图3-1所示，当 时， 如图3-2所示，当 时， 如图3-3所示，当 时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
（1）解：∵抛物线与 轴交于 和 两点，
∴抛物线对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
∴抛物线顶点P的坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为 ，点C是抛物线与y轴的交点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点
∴ ，
∴

，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；

②设直线 与x轴交于H，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
如图3-1所示，当 时，
过点C作 于G，则
∴点G为 的中点，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；

如图3-2所示，当 时，则 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴点E的纵坐标为5，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴

如图3-3所示，当 时，过点C作 于G，
同理可证 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴
综上所述，点E的坐标为 或 或