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2023年四川省乐山市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.计算： （       ）
A．a
B．
C．
D．1

2.下面几何体中，是圆柱的是（          ）
A．
B．
C．
D．

3.下列各点在函数 图象上的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

5.乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如下统计图，如图所示估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（       ）
   
A．100
B．150
C．200
D．400

6.如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为边 的中点，连结 ．若 ，则 （       ）
   
A．2
B．
C．3
D．4

7.若关于x的一元二次方程 两根为 ，且 ，则m的值为（       ）
A．4
B．8
C．12
D．16

8.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 （       ）
      
A．
B．
C．
D．

9.如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的结论有（       ）
   
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

10.如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时， 面积的最大值是（       ）
   
A．8
B．6
C．4
D．3

评卷人 得分

二、填空题

11.不等式 的解集是__________．

12.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为__________．

13.如图，点O在直线 上， 是 的平分线，若 ，则 的度数为__________．
   

14.若m、n满足 ，则 __________．

15.如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，连结 交于点F．若 ，则 __________．
   

16.定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 __________．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算：

18.解二元一次方程组：

19.如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．

20.如图，在 中， ，点D为 边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作 ， ，分别交 、 于点E、F，连接 ．
   
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求点C到 的距离．

21.为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树 棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了 ，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？

22.为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．

家务类型	洗衣	拖地	煮饭	刷碗
人数（人）	10	12	10	m

   
根据上面图表信息，回答下列问题：
(1) __________；
(2)在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为__________；
(3)班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．

23.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B， 与y轴交于点 ．
     
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数 图象上的一点， ，求点P的坐标．

24.如图，已知 是 的外接圆， ，D是圆上一点，E是 延长线上一点，连结 ，且 ．
   
(1)求证：直线 是 是的切线；
(2)若 ， 的半径为3，求 的长．

25.在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
(问题情境)
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到： ， ， ； ， ， （       ）
   
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
(问题解决)
（1）上述问题情境中“（       ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置．
   
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________；
(问题拓展)
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
   

26.已知 是抛物 （b为常数）上的两点，当 时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．

参考答案

1.A

【解析】
根据合并同类项法则进行计算即可．
解： ，故A正确．
故选：A．

2.B

【解析】
根据圆柱体的特征进行判断即可．
解：A.是正方体，不符合题意；
B.是圆柱，符合题意；
C.是圆锥，不符合题意；
D.是球体，不符合题意，
故选：B．

3.D

【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式 ，进行计算即可得到答案．
解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式 ，
A.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
B.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
C.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
D.当 时， ，故本选项正确，符合题意；
故选：D．

4.B

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
解：
故选：B．

5.C

【解析】
用初一年级总人数500名乘以随机抽取的50名同学中愿意去“沫若故居”的学生人数占的比值了可求解．
解： ，
故选：C．

6.B

【解析】
先由菱形的性质得 ， ， ，再由勾股定理求出 ，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
解：∵菱形 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
∵E为边 的中点，
∴
故选：B．

7.C

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 两根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

8.A

【解析】
先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得 ，则 ，在 中，利用勾股定理求出 ，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长 ，小正方形的边长 ，
   
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去）
∴ ．
故选A．

9.B

【解析】
抛物线 经过点 ，且 ，，可以得到 ， ，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出 ，则 ，即可判断②；由图象可知，当 时， ，即 ，所以有 ，从而可得出 ，即可判断③；利用 ，再根据 ，所以 ，从而可得 ，即可判断④．
解 ：∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，
∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴
∴ ，故②正确；
由图象可知，当 时， ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．

10.D

【解析】
根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，
   
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．

11.

【解析】
直接移项即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

12.160

【解析】
根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，
∴这组数据的众数为160，
故答案为：160．

13. ##20度

【解析】
根据邻补角得出 ，再由角平分线求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： ．

14.16

【解析】
先将已知 变形为 ，再将 变形为 ，然后整体代入即可．
解：∵
∴
∴
故答案为：16．

15.

【解析】
四边形 是平行四边形，则 ，可证明 ，得到 ，由 进一步即可得到答案．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：

16.         

【解析】
（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得 （不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 ，由 得到 ，则 ，由 进一步得到 ，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
解：（1）若 是“和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，
当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：

17.1

【解析】
先化简绝对值及算术平方根，计算零次幂的运算，然后进行加减法即可．
解：

=1．

18.

【解析】
采用加减消元法即可求解．
解：① ，得 ②，
将②+③，得 ，
解得 ．
将 代入①，
得 ，
∴方程组的解为： ．

19.见解析

【解析】
要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵ ，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）利用平行线的性质证明 ，再利用四边形内角和为 ，证明 ，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式求解即可．
（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ ， ，
∴
设点C到 的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到 的距离为 ．

21.原计划每天种植梨树500棵

【解析】
根据题意列出分式方程求解即可．
解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验： 是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．

22.(1)8
(2)
(3)

【解析】
（1）用做饭的人数除以做饭点的百分比 ，得抽取的总人数，再减去“洗衣”、“拖地”、 “刷碗”的人数即可求得到m值；
（2）用 乘以“拖地”人数所占的百分比，即可求解；
（3）画树状图或列表分析出所有可能的结果数和有男生的结果 数，再用概率公式计算即可．
（1）解： ，
故答案为：8；
（2）解： ，
故答案为：108°；
（3）解：方法一：画树状图如下：
   
由图可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为 ．
方法二：列表如下：

	男1	男2	女1	女2
男1		（男1，男2）	（男1，女1）	（男1，女2）
男2	（男2，男1）		（男2，女1）	（男2，女2）
女1	（女1，男1）	（女1，男2）		（女1，女2）
女2	（女2，男1）		（女2，女1）

由表可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为 ．

23.(1)
(2) 或

【解析】
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示，根据 可得 ，求出 ，则点P的纵坐标为2或 ，由此即可得到答案．
（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
，
，                                           
又 点 ， 都在一次函数 的图象上，
，
解得 ，                                               
一次函数的解析式为 ．
（2）解：对于 ，当 时， ，
∴ ，
，
∵ ，
                                                       
过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示．
          
，
．
，
解得 ．                                          
点P的纵坐标为2或 ．
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
∴点 或 ．

24.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）由 ，可知 是 的直径，由 ，可得 ，由 ， ，可得 ， ，则 ，由 ，可得 ，即 ，进而结论得证；
（2）作 ，垂足为E，如图所示，由题意知， 是等腰三角形，则 ，由题意知， ， ，可求 ， ， ，由勾股定理得 ，根据 ，计算求解即可．
（1）证明：∵ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴直线 是 是的切线；
（2）解：作 ，垂足为E，如图所示，
   
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
由题意知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．

25.问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析② ；问题拓展：

【解析】
问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；
问题拓展，连接 ，交 于 ，连接 ， ， ，由旋转得 ， ，在 和 中求出 和 的长，可以求出 ，再证明 ，即可求出最后结果．
解：(问题解决)
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等                              
（2）①下图中，点O为所求                            
   
②连接 ， ，
扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置，
， ,
，
设 ，
，
，
在旋转过程中，点 经过的路径长为以点 为圆心，圆心角为 ， 为半径的所对应的弧长，
点 经过的路径长 ；
   
(问题拓展)
解：连接 ，交 于 ，连接 ， ， 如图所示
   
．
由旋转得 ， ．       
在 中，
．
在 中，
，
，
．            
．
．
，            
在 和 中，
，
又 ， ，
．
又 ，
，
．

26.(1)0
(2)① ②

【解析】
（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
（1）解：由题可知：                                  
时，总有 ，
．
则 ，
∴ ，
∴ 总成立，且 ，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
   
此时， ，解得 或 （舍）．                              
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
   
此时， ，
解得 或 （舍），
综上， ，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
   
此时， ，解得 或 （舍）．        
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
   
此时， ，解得 或0（舍）．                                          
综上 ，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段 的垂直平分线上．
   
令 ，解得 ，
，
，
，
设 ，
，
，
，

，
，即 ，
．
，即 ，
，