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2023年四川省德阳市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列各数中，是无理数的是（       ）
A．
B．
C．0
D．

2.如果 ，那么下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列说法中正确的是（       ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2

4.如图，直线 ，直线l分别交 ， 于点M，N， 的平分线 交 于点F， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.不等式组 ，的解集是（       ）
A．
B．
C．
D．无解

7.如图．在 中， ， ， ， ，点 是 边的中点，则 （       ）
   
A．
B．
C．2
D．1

8.已知 ，则 （       ）
A．y
B．
C．
D．

9.已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数是（       ）
A．4
B．6
C．7
D．8

10.如图， 的面积为12， ， 与 交于点O．分别过点C，D作 ， 的平行线相交于点F，点G是 的中点，点P是四边形 边上的动点，则 的最小值是（       ）
   
A．1
B．
C．
D．3

11.在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n， ；
第2次操作后得到整式串m，n， ， ；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（       ）
A．
B．m
C．
D．

12.如图， 的直径 ， 是弦， ， ， ， 的延长线与 的延长线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ，连接 ．下列结论中正确的个数是（       ）
① ；
② 是 的切线；
③B，E两点间的距离是 ；
④ ．
   
A．1
B．2
C．3
D．4

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式：ax²﹣4ay²=__．

14.2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为_________米．

15.在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是_________．

16.如图，在底面为正三角形的直三棱柱 中， ，点M为 的中点，一只小虫从 沿三棱柱 的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于_________．
   

17.已知 的半径为 ， 的半径为 ，圆心距 ，如果在 上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是_________．

18.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 _________．

16
		7
4

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：

20.三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址．2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
   
(1)求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
(2)据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
(3)德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若 则受调查群体获评“优秀”；若 ，则受调查群体获评“良好”；若 则受调查群体获评“合格”；若 则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？

21.如图，点A在反比例函数 的图象上，点C是点A关于y轴的对称点， 的面积是8．
   
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线 与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．

22.将一副直角三角板 与 叠放在一起，如图1， ， ， ， ．在两三角板所在平面内，将三角板 绕点O顺时针方向旋转 （ ）度到 位置，使 ，如图2．
   
(1)求 的值；
(2)如图3，继续将三角板 绕点O顺时针方向旋转，使点E落在 边上点 处，点D落在点 处．设 交 于点G， 交 于点H，若点G是 的中点，试判断四边形 的形状，并说明理由．

23.2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积 平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？

24.如图，已知 是 的直径，点 ， 在 上， 的延长线与 的延长线相交于点 ，且 ， ．
   
(1)求证： 是 的平分线；
(2)求 的度数；
(3)求 的值．

25.已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折 ，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线 与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线 沿y轴向上平移至经过点 ，与抛物线的交点分别是 ， ，直线 交 于点 ，过点 作 于点 ，若 ．求点 的坐标．

参考答案

1.B

【解析】
根据无理数的定义判断即可．
解：0， ， 为有理数， 为无理数．
故选：B．

2.D

【解析】
根据不等式的性质对各选项进行判断．
解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D

3.C

【解析】
根据全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义逐项判断即可．
A、总体数量较大，应采用抽样调查，说法错误，该选项不符合题意；
B、中考期间一定会下雨，可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件，说法错误，该选项不符合题意；
C、说法正确，该选项符合题意；
D、这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差为18，说法错误，该选项不符合题意．
故选：C．

4.B

【解析】
先证明 ， ，结合角平分线可得 ，从而可得答案．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的平分线 交 于点F，
∴ ，
∴ ，
故选B

5.C

【解析】
先列表得到所有的等可能的结果数，再确定符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
解：列表如下：

	6	7	8	9
6		13	14	15
7	13		15	16
8	14	15		17
9	15	16	17

所有等可能的结果数为12个，和为奇数的结果数有8个，
∴在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是
；
故选C

6.A

【解析】
先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
故选A．

7.A

【解析】
根据勾股定理可先求得 的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得 的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
∵ ，
∴ 为直角三角形．
∴ ．
∵点 为 的斜边 的中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选：A．

8.D

【解析】
利用同底数幂的乘法的逆运算可得 ，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选D

9.B

【解析】
如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正多边形的边心距，由 可得 ，可得 ，而 ，可得 为等边三角形，从而可得答案．
解：如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正多边形的边心距，
   
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴多边形的边数为： ，
故选B

10.A

【解析】
先证明 ，四边形 是菱形，如图，连接 ， ，而点G是 的中点，可得 为菱形对角线的交点， ，当 时， 最小，再利用等面积法求解最小值即可．
解：∵ ， ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是菱形，
如图，连接 ， ，而点G是 的中点，
   
∴ 为菱形对角线的交点， ，
∴当 时， 最小，
∵ 即矩形 的面积为12， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由菱形的性质可得： ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为1．
故选A

11.C

【解析】
先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为： ，结合 ，从而可得答案．
解：第1次操作后得到整式串m，n， ；
第2次操作后得到整式串m，n， ， ；
第3次操作后得到整式串m，n， ， ， ；
第4次操作后得到整式串m，n， ， ， ， ；
第5次操作后得到整式串m，n， ， ， ， ， ；

归纳可得：以上整式串每四次一循环，
第四次操作后所有的整式之和为： ，
∵ ，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第3次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为 ，
故选C

12.B

【解析】
连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证 ， ，即可得到 ；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证 ，推出 ， 不垂直 ，即可判断 不是 的切线；③证 ，结合 、 ，计算出 、 、 ，最后根据勾股定理计算 即可；④先计算出 ，推理出 ，设 ，用含 的代数式表示 和 ，代入 求解即可．
如图，连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于
   
的直径 ， ，
， ，
， ，
是弦， ， ，
（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
，即 ，
，
，
，
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
，
故结论①正确
，
，
又 （同弧所对圆周角是圆心角的一半），
，
，
， 于 ，
，
，
，
，
，
故结论③正确
， ，
，
，
平分 （垂直于弦的直径平分弦），
是 的中垂线，
，
，
，
，
，即 ，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角， ，
不垂直 ， 不是 的切线，
故结论②不正确
， ，
， ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
故结论④不正确
综上，①和③这2个结论正确，
故选：B．

13.a（x+2y）（x﹣2y）

【解析】
先提公因式a，然后再利用平方差公式进行分解即可得.
ax²﹣4ay²
=a（x²﹣4y²）
=a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为a（x+2y）（x﹣2y）.

14.

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
解：400千米 米 米．
故答案为： ．

15.

【解析】
根据平均数的定义先求得被墨水污染的同学的成绩数据，再根据中位数的定义即可求得答案．
设被墨水污染的同学的成绩为 ．
根据题意，得
．
解得
．
将这组数据按从小到大的顺序排列为： ， ， ， ， ， ．
这组数据的个数为偶数，所以这组数据的中位数 ．
故答案为： ．

16.

【解析】
：如图，连接 ，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱 ， ，点M为 的中点，当 在右侧处时，可得 ，当 在下方时，由等边三角形的性质可得： ，此时 ，如图，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，则 ，四边形 为矩形，可得 ， ， ， ，此时 重合，可得 ，从而可得答案．
解：如图，连接 ，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱 ， ，点M为 的中点，
   
当 在右侧处时，
∴ ， ，
∴ ，
当 在下方时，由等边三角形的性质可得： ，
此时 ，
如图，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，则 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
   
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴此时 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴小虫爬行的最短路程等于 ．
故答案为： ．

17.

【解析】
当 位于 内部，且 ， ， 位于同一条直线上时， 可以取得最大值；当 位于 外部，且 ， ， 位于同一条直线上时， 可以取得最小值．
当 位于 内部，且 ， ， 位于同一条直线上时， 可以取得最大值．
如图所示， ．
   
当 位于 外部，且 ， ， 位于同一条直线上时， 可以取得最小值．
如图所示， ．

故答案为： ．

18.39

【解析】
设第一列中间的数为 ，则三个数之和为 ，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．
解：如图，设第一列中间的数为 ，则三个数之和为 ，可得：

16
		7
4

∴ ，
故答案为：39

19.4

【解析】
先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可．
解：


．

20.(1) ， ，E类所对应的圆心角的度数为 ；
(2)估计“C．了解”的学生人数有12000人；
(3)本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．

【解析】
（1）由总人数乘以B类的占比可得b的值，再由总人数500减去除E类以外的各小类的人数可得a的值，再由E类的占比乘以 可得圆心角的大小；
（2）由总人数30000乘以C类的占比即可；
（3）先求解样本平均数，再根据评级范围可得结论．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴E类所对应的圆心角的度数为 ；
（2）∵ （人），
∴估计“C．了解”的学生人数有12000人；
（3）样本平均数为：
，
∴本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．

21.(1)
(2) 或

【解析】
（1）设 ，可得 ，结合 的面积是8．可得 ，从而可得答案；
（2）先求解 ， ，可得直线为 ，联立 ，再解方程组即可．
（1）解：∵点A在反比例函数 的图象上，
∴设 ，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴ ，
∵ 的面积是8．
∴ ，
解得： ；
∴反比例函数解析式为： ；
（2）∵点A的横坐标为2时，
∴ ，即 ，
则 ，
∵直线 过点C，
∴ ，
∴ ，
∴直线为 ，
∴ ，
解得： 或 ，经检验，符合题意；
∴ 或 ．

22.(1)
(2)正方形，见解析

【解析】
（1）确定旋转角 ，结合 ， ，计算即可．
（2）先证明四边形 是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可．
（1）根据题意，得旋转角 ，
∵ ， ，
∴ ，
故 ．
（2）根据题意，得旋转角 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
       
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形．

23.(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．

【解析】
（1）设乙单独完成需要 个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得： ，可得 ，结合 ， ，可得 ，结合 都为正整数，可得 为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
（1）解：设乙单独完成需要 个月，则
，
解得： ，
经检验 是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ 都为正整数，
∴ 为3的倍数，
∴ 或 或 ，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为： （万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为： （万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为： （万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．

24.(1)见解析．
(2)
(3)

【解析】
（1）根据平行线的性质，可得到 ，根据等腰三角形的性质可得到 ，进而可证明结论．
（2）连接 ，设 ，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将 的各角分别用含 的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得 的值，进而可求得答案．
（3）设 的半径为 ， ，可证得 ，根据 ，可得 ，用含有 和 的代数式表示出该等式，求解即可得到 和 的关系，进而可求得答案．
（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的平分线．
（2）如图所示，连接 ．
   
设 ．
根据（1）证明可知 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）设 的半径为 ， ，则 ．
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
变形，得
．
解得
．
．

25.(1)
(2) 或
(3)

【解析】
（1）设抛物线的解析式为 ，
，
，
，
把 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为
（2） 直线表达式 ，
直线经过定点 ，
将过点 的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折 ，抛物线的解析式为 ，
新图象表达式为： 时， ； 或 时， ，
如下图当直线 与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立 ，得： ，
整理得：
，
，
，
，
，
时，即如上图所示，符合题意，
时，如下图所示，经过点 ，

不符合题意，故舍去，
如下图，当直线 经过点 时，和新图象有三个公共点，
   
把 代入 ，得： ，
解得： ，
综上所述，当平面内的直线 与新图象有三个公共点时，k的值为 或
（3） 在抛物线上，
设 坐标为 ，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入 ，
点 的坐标为