绝密·启用前
2023年四川省达州市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.
的倒数是( )
A．
B．2023
C．
D．
2.下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5
B．2和5
C．2和3
D．3和2
5.如图，
，
平分
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在
中，若
，则
是直角三角形
9.如图，四边形
是边长为
的正方形，曲线
是由多段
的圆心角的圆心为
，半径为
；
的圆心为
，半径为
的圆心依次为
循环，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图，拋物线
（
为常数）关于直线
对称．下列五个结论：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
|
二、填空题 |
11.函数
的自变量x的取值范围是________．
12.已知
是方程
的两个实数根，且
，则
的值为___________．
13.如图，乐器上的一根弦
，两个端点
固定在乐器板面上，支撑点
是靠近点
的黄金分割点，支撑点
是靠近点
的黄金分割点，
之间的距离为______．
14.如图，一次函数
与反比例函数
的图象相交于
两点，以
为边作等边三角形
，若反比例函数
的图象过点
，则
的值为_____________．
15.在
中，
，
，在边
上有一点
，且
，连接
，则
的最小值为___________．
|
三、解答题 |
16.（1）计算：
；
（2）先化简，再求值；
，其中
为满足
的整数．
17.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达
，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，
___________，
___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
18.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，
的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将
向下平移3个单位长度得到
，画出
；
(2)将
绕点
顺时针旋转90度得到
，画出
；
(3)在（2）的运动过程中请计算出
扫过的面积．
19.莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为
，当摆角
恰为
时，座板离地面的高度
为
，当摆动至最高位置时，摆角
为
，求座板距地面的最大高度为多少
？（结果精确到
；参考数据：
，
，
，
，
，
）
20.如图，在
中，
．
(1)尺规作图：作
的角平分线交
于点
（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，求
的面积．
21.如图，
内接于
是
延长线上的一点，
，
相交于点
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，
，求
的长．
22.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过
元购进豆笋、豆干共
件，且豆笋的数量不低于豆干数量的
，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
23.(背景)在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为
的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡
（灯丝的阻值
）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻
之间关系为
，通过实验得出如下数据：
|
… |
1 |
|
3 |
4 |
6 |
… |
|
… |
4 |
3 |
2.4 |
2 |
|
… |
(1)
_______，
_______；
(2)(探究)根据以上实验，构建出函数
，结合表格信息，探究函数
的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数
的图象；
②随着自变量
的不断增大，函数值
的变化趋势是_________．
(3)(拓展)结合（2）中函数图象分析，当
时，
的解集为________．
24.如图，抛物线
过点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点
是直线
上方抛物线上一点，求出
的最大面积及此时点
的坐标；
(3)若点
是抛物线对称轴上一动点，点
为坐标平面内一点，是否存在以
为边，点
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
25.（1）如图①，在矩形
的
边上取一点
，将
沿
翻折，使点
落在
上
处，若
，求
的值；
（2）如图②，在矩形
的
边上取一点
，将四边形
沿
翻折，使点
落在
的延长线上
处，若
，求
的值；
（3）如图③，在
中，
，垂足为点
，过点
作
交
于点
，连接
，且满足
，直接写出
的值．
参考答案
1.C
【解析】
根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
解：
的倒数是
，
故选：C．
2.C
【解析】
根据长方体有六个面，以及
字型进行判断即可．
解：A中展开图有7个面，不符合要求；
B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；
C正确，故符合要求；
D中展开图有5个面，不符合要求，
故选：C．
3.B
【解析】
科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，
为整数．确定
的值时，要看把原数变成
时，小数点移动了多少位，
的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：2502.7亿元
元
故选：B．
4.C
【解析】
根据众数和中位数的概念求解．
解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．
5.B
【解析】
根据平行线的性质得出
，再由角平分线确定
，利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：B．
6.D
【解析】
分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法运算法则逐项判断即可作出选择．
解：A、a与
不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、
，故本选项计算错误，不符合题意；
C、
，故本选项计算错误，不符合题意；
D、
，故本选项计算正确，符合题意．
故选：D．
7.A
【解析】
设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为
元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为
元/件，根据题意得：
，故A正确．
故选：A．
8.C
【解析】
根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设
，
∵三角形内角和为
，
∴
，
∴
∴
，则
为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
9.A
【解析】
曲线
是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径
，得到
，
，得出半径，再计算弧长即可．
解：由图可知，曲线
是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
的半径为
，
的弧长
．
故选A
10.B
【解析】
由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为
，得到
，即可判断②；可知
时和
时的y值相等可判断③正确；由图知
时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为
可得
，因此
，根据图像可判断⑤正确．
①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由
得，
，
，
故①正确；
②
抛物线的对称轴为
，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为
，可知
时和
时的y值相等．
由图知
时，
，
∴
时，
．
即
．
故③错误；
④由图知
时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为
可得
，
，
∴
，
当
时，
．
由图知
时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
11.
【解析】
一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：解：根据题意得到：x-1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．
12.7
【解析】
根据根与系数的关系求出
与
的值，然后整体代入求值即可．
∵
是方程
的两个实数根，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
，
∴解得
．
故答案为：7．
13.
【解析】
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为
，由此即可求解．
解：弦
，点
是靠近点
的黄金分割点，设
，则
，
∴
，解方程得，
，
点
是靠近点
的黄金分割点，设
，则
，
∴
，解方程得，
，
∴
之间的距离为
，
故答案为：
．
14.
【解析】
过点A作
轴交x轴于点D，过点C作
轴于点E，连接
，首先联立
求出
，
，然后利用勾股定理求出
，
，然后证明出
，利用相似三角形的性质得到
，
，最后将
代入
求解即可．
如图所示，过点A作
轴交x轴于点D，过点C作
轴于点E，连接
，
∵一次函数
与反比例函数
的图象相交于
两点，
∴联立
，即
，
∴解得
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴解得
，
，
∴点C的坐标为
，
∴将
代入
得，
．
故答案为：
．
15.
【解析】
如图，作
的外接圆，圆心为
，连接
、
、
，过
作
于
，过
作
，交
的垂直平分线于
，连接
、
、
，以
为圆心，
为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得
，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得
，从而易证
可得
即
勾股定理即可求得
在
中由三角形三边关系
即可求解．
解：如图，作
的外接圆，圆心为
，连接
、
、
，过
作
于
，过
作
，交
的垂直平分线于
，连接
、
、
，以
为圆心，
为半径作圆；
，
为
的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
即
，
由作图可知
，
在
的垂直平分线上，
，
，
又
为
的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
在
中，
，
在
中，
，
即
最小值为
，
故答案为：
．
16.（1）
（2）
，
【解析】
（1）先将二次根式及绝对值、零次幂、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可．
解：（1）
；
（2）
∵
为满足
的整数且
，
∴
，
∴取
，原式
．
17.(1)
，详见图示；
(2)
，
，
；
(3)
；
【解析】
（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘
即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）本次调查的学生总数：
（人），
D、书法社团的人数为：
(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）由图知，
，
∴
，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
（3）用
表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有
2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为
．
18.(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）先作出点A、B、C平移后的对应点
，
、
，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B绕点
顺时针旋转90度的对应点
，
，然后顺次连接即可；
（3）证明
为等腰直角三角形，求出
，
，根据旋转过程中
扫过的面积等于
的面积加扇形
的面积即可得出答案．
（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点
，
、
，顺次连接，则
即为所求，如图所示：
（2）解：作出点A、B绕点
顺时针旋转90度的对应点
，
，顺次连接，则
即为所求，如图所示：
（3）解：∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
根据旋转可知，
，
∴
，
∴在旋转过程中
扫过的面积为
．
19.座板距地面的最大高度为
．
【解析】
过点A作
于点D，过点A作
于点E，过点B作
于点F，利用
和
的余弦值求出
，
，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
如图所示，过点A作
于点D，过点A作
于点E，过点B作
于点F，
由题意可得，四边形
和四边形
是矩形，
∴
，
，
∵秋千链子的长度为
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴座板距地面的最大高度为
．
20.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交
、
，在以两交点为圆心，以大于它们
长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交
于点P，则
即为所求；
（2）过点P作
，根据
和题中条件可求出
的面积，再结合角平分线的性质即可求解．
（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交
、
，在以两交点为圆心，以大于它们
长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交
于点P，则
即为所求．
（2）解：过点P作
，如图所示，
由（1）得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
；
21.(1)证明见解析
(2)6
【解析】
（1）由
，
为半径，可知
，
，则
，
，
，如图1，连接
，由
，可得
，则
，即
，进而结论得证；
（2）如图2，记
与
交点为
，连接
，过
作
于
，证明
是等边三角形，则
，
，设
半径为
，则
，由
，
，可得
，证明
，则
，即
，解得
或
（舍去），
根据
，计算求解即可．
（1）解：如图，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，由等边对等角可得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
又∵
是半径，
∴
是
的切线；
（2）解：如图2，记
与
交点为
，连接
，过
作
于
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
设
半径为
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰三角形，
又∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，解得
或
（舍去），
∴
，
∴
的长为6．
22.(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进
件，则豆笋购进
件；豆干购进
件，则豆笋购进
件；豆干购进
件，则豆笋购进
件
(3)购进豆干购进
件，则豆笋购进
件，获得最大利润为
元
【解析】
（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进
件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为
，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则
，解得
，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进
件，
，
解得
，
∴
时，
，即豆干购进
件，则豆笋购进
件，
时，
，即豆干购进
件，则豆笋购进
件，
时，
，即豆干购进
件，则豆笋购进
件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（
且n为整数），
∵
，
当
时，W随n的增大而减小，
∴当
时，W取最大值，为
．
此时，购进豆干购进
件，则豆笋购进
件，获得最大利润为
元．
23.(1)2，
(2)①见解析；②函数值
逐渐减小
(3)
或
【解析】
（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
（1）解：由题意，
，
当
时，由
得
，
当
时，
，
故答案为：2，
；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数
的图象如图：
②由图象可知，随着自变量
的不断增大，函数值
逐渐减小，
故答案为：函数值
逐渐减小；
（3）解：当
时，
，当
时，
，
∴函数
与函数
的图象交点坐标为
，
，
在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，如图，
由图知，当
或
时，
，
即当
时，
的解集为
或
，
故答案为：
或
．
24.(1)
(2)
的最大面积为
，
(3)存在，
或
或
，
，见解析
【解析】
（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线
的解析式为
，设点
，过点P作
轴于点D，交
于点E，得出
，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行若
为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
（1）解：将点
代入解析式得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）设直线
的解析式为
，将点B、C代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
设点
，过点P作
轴于点D，交
于点E，如图所示：
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
的最大面积为
，
，
∴
（3）存在，
或
或
或
，
，证明如下：
∵
，
∵抛物线的解析式为
，
∴对称轴为：
，
设点
，
若
为菱形的边长，菱形
，
则
，即
，
解得：
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
；
若
为菱形的边长，菱形
，
则
，即
，
解得：
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
；
综上可得：
或
或
，
．
25.（1）
；（2）5；（3）
【解析】
（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得
，设
则
，
中利用勾股定理求得
，则
，
，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到
，证明
，利用相似三角形的性质求得
，则
，在
中，利用勾股定理求得
，
进而求得
，
可求解；
（3）证明
得到
，则
；设
，
，过点D作
于H，证明
得到
，在
中，由勾股定理解得
，进而可求得
，在图③中，过B作
于G，证明
，则
，
，再证明
，在
中利用锐角三角函数和
求得
即可求解．
解：（1）如图①，∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
由翻折性质得
，
，
在
中，
，
∴
，
设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，解得
，
∴
，
，
∴
；
（2）如图②，∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
由翻折性质得，
，
，
，
∴
∴
，
∴
，
∴
，即
，又
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，则
，
∴
；
（3）∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，则
；
设
，
，
过点D作
于H，如图③，则
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，解得
，
∴
，
，
在
中，
，
在图③中，过B作
于G，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，则
，
在
中，
，
，
∵
，
∴
，则
，
∴
．
