绝密·启用前

2023年四川省成都市数学中考真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.在 ， ， ， 四个数中，最大的数是（       ）
A．3
B．
C．0
D．

2.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超 亿次．将数据 亿用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（ ）： ， ， ， ， ，则这组数据的中位数是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

8.如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（       ）
   
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为
D．当 时， 的值随 值的增大而增大

评卷人 得分

二、填空题

9.因式分解：m²﹣3m＝__________．

10.若点 都在反比例函数 的图象上，则 _______ （填“ ”或“ ”）．

11.如图，已知 ，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若 ，则 的长为___________．
   

12.在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标是___________．

13.如图，在 中， 是边 上一点，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ：④过点 作射线 交 于点 ．若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为___________．
   

14.若 ，则代数式 ，的值为___________．

15.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有___________个．
   

16.为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（ 取3.14， 取1.73）
   

17.如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过 作 交 于点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若 ，则 __________．
   

18.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， ，16就是一个智慧优数，可以利用 进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算： ．
（2）解不等式组：

20.文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
   
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
(3)该校共有1500名师生，若有 的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．

21.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为 米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高 为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参考数据： ）
       

22.如图，以 的边 为直径作 ，交 边于点D，过点C作 交 于点E，连接 ．
   
(1)求证： ；
(2)若 ，求 和 的长．

23.如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点A，与反比例函数 的图象的一个交点为 ，过点B作AB的垂线l．
   
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且 的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

24. 年 月 日至 月 日，第 届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买 ， 两种食材制作小吃．已知购买 千克 种食材和 千克 种食材共需 元，购买 千克 种食材和 千克 种食材共需 元．
(1)求 ， 两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买 种食材千克数不少于 种食材千克数的 倍，当 ， 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．

25.如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，直线 与抛物线交于B，C两点．
       
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若 是以 为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

26.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点，过点D作 的垂线交直线 于点F．
   
(初步感知)
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
(深入探究)
(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
(拓展运用)
(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

参考答案

1.A

【解析】
根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
∴最大的数是：3；
故选：A．

2.D

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： 亿 ．
故选：D．

3.C

【解析】
分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
解：A、 ，故原计算错误，不符合题意；
B、 ，故原计算错误，不符合题意；
C、 ，故原计算正确，符合题意；
D、 ，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．

4.C

【解析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
将这组数据从小到大重新排列为 ， ， ， ，
∴这组数据的中位数为 ，
故选：C．

5.B

【解析】
根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
∵四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点 ，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；       
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；       
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．

6.B

【解析】
根据概率公式求解即可．
解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，
∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是 ，
故选：B．

7.A

【解析】
设木长 尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺”，列出一元一次方程即可求解．
解：设木长 尺，根据题意得，
，
故选：A

8.C

【解析】
待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当 时，
即
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．

9.

【解析】
题中二项式中各项都含有公因式 ，利用提公因式法因式分解即可得到答案．
解： ，
故答案为： ．

10.

【解析】
根据题意求得 ， ，进而即可求解．
解：∵点 都在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

11.3

【解析】
利用平移性质求解即可．
解：由平移性质得： ，
∴ ，
故答案为：3．

12.

【解析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
解：在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： .

13.

【解析】
根据作图可得 ，然后得出 ，可证明 ，进而根据相似三角形的性质即可求解．
解：根据作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与四边形 的面积比为 ，
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．

14.

【解析】
根据分式的化简法则，将代数式化简可得 ，再将 变形，即可得到答案．
解： ，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为 ，
故答案为： ．

15.

【解析】
根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，
   
∴搭成这个几何体的小立方块最多有 ，
故答案为： ．

16.184

【解析】
过点O作 的垂线段，交 于点 ，根据直角三角形的边长关系求出 的角度，阴影面积即为扇形 的面积减去三角形 的面积，随机可以求出容纳观众的数量．
解：如图，过点O作 的垂线段，交 于点 ，
       
圆心O到栏杆 的距离是5米，
米，
，
， 米，
，
，
，
可容纳的观众
阴影部分面积 （人），
最多可容纳184名观众同时观看演出，
故答案为：184．

17.

【解析】
过点 作 于 ，证明 ，得出 ，根据 ，得 ，设 ， ，则 ，则 ，在 中， ，在 中， ，则 ，解方程求得 ，则 ， ，勾股定理求得 ，根据正切的定义，即可求解．
解：如图所示，过点 作 于 ，
   
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ,
∴
∴
∵折叠，
∴ ，
∴ ,
又∵
∴
∴
∴
∵ ， ，则 ，
∴
∴ ， ，
∵
设 ， ，则 ，则 ，
∵
∴
在 中，
在 中，
∴
即
解得：
∴ ，
则
∴
故答案为： ．

18.         

【解析】
根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
解：依题意， 当 ， ，则第1个一个智慧优数为
当 ， ，则第2个智慧优数为
当 ， ，则第3个智慧优数为 ，
当 ， ，则第4个智慧优数为 ，
当 ， ，则第5个智慧优数为
当 ， ，则第6个智慧优数为
当 ， ，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理 时有 个， 时有6个，
列表如下，

观察表格可知当 时， 时，智慧数为 ，
时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
第1至第10个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第11至第20个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第21个智慧优数 ，第22个智慧优数为 ，第23个智慧优数为
故答案为： ， ．

19.（1）3；（2）

【解析】
（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
解：（1）


；
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ．

20.(1) ，图见解析；
(2) ；
(3) 人；

【解析】
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以 即可求解；
（3）用样本估计总体，用 乘以 再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
（1）解：依题意，本次调查的师生共有 人，
∴“文明宣传”的人数为 （人）
补全统计图，如图所示，
   
故答案为： ．
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为 ，
（3）估计参加“文明宣传”项目的师生人数为 （人）．

21. 米

【解析】
过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，在 中，求得 ，进而求得 ，根据 ，即可求解．
解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
   
依题意， ， （米）
在 中， （米）， （米），则 （米）
∵ （米）
∴ （米）
∵ ，
∴ （米）
∴ （米）．

22.(1)见解析
(2) ，

【解析】
（1）根据 ，得到 ，再根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，可证明 是等腰三角形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到 ，设 ，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出 ；解法一：过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F，证明 ，求出 的长，根据勾股定理即可解出 的长；解法二：连接 ,得到角相等，进而证得 ，根据对应边成比例即可解出 的长．
（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
是 的直径，
，
，
，即 ，
根据（1）中的结论，可得 ，
根据勾股定理，可得 ，即 ，
解得 ， （舍去），
， ,
根据勾股定理，可得 ；
解法一：如图，过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F，
   
，
，
，
，即 ，
， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
可得方程 ，解得 ，
， ，
根据勾股定理，可得 ．
解法二：如图，连接 ,
   
， ，
，
，
又 ， ， ，
，
．

23.(1)点A的坐标为 ，反比例函数的表达式为 ；
(2)点C的坐标为 或
(3)点P的坐标为 ；m的值为3

【解析】
（1）利用直线 解析式可的点C的坐标，将点 代入 可得a的值，再将点 代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是 的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式 ，C点坐标为 ，根据 ( 分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到 ，由 得到 ，继而得到直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，设直线 的解析式是： ，将 代入 求得 的解析式是： ，再将直线 与双曲线的解析式联立求得 ，再用待定系数法求出 的解析式是 ，利用直线 的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为 ，再用两点间的距离公式得到 ， 从而求得 ．
（1）解：令 ，则
∴点A的坐标为 ，
将点 代入 得：
解得：
∴
将点 代入 得：
解得：
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线 与x轴得交点为N，
   
令 解得：
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∵ ，
∴
又∵直线l是 的垂线即 ， ，
∴ ，
∴
设直线l得解析式是： ，
将点 ，点 代入 得：
解得：
∴直线l的解析式是： ，
设点C的坐标是
∵ ，( 分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当 时， ；
当 时， ，
∴点C的坐标为 或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线 的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴
画出图形如下：
   
又∵
∴
∴
∴直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，
设直线 的解析式是：
将点 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是：
∵点D也在双曲线 上，
∴点D是直线 与双曲线 的另一个交点，
将直线 与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴
设直线 的解析式是：
将点 ， 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是： ，
又将直线 的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴

∴

24.(1) 种食材单价是每千克 元， 种食材单价是每千克 元
(2) 种食材购买 千克， 种食材购买 千克时，总费用最少，为 元

【解析】
（1）设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意列出不等式，得出 ，进而设总费用为 元，根据题意， ，根据一次函数的性质即可求解．
（1）解：设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意得，
，
解得： ，
答： 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元；
（2）解：设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意，

解得： ，
设总费用为 元，根据题意，
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 最小，
∴最少总费用为 （元）

25.(1)
(2)点B的坐标为 或 或
(3)存在，m的值为2或

【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设 ，分 和 两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到 ， ，利用待定系数法分别求得直线 、 的表达式为得到 ， ，过E作 轴于Q，过D作 轴于N，证明 得到 ，整理可得到 ，进而求解即可．
（1）解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设 ，
根据题意， 是以 为腰的等腰三角形，有两种情况：
当 时，点B和点P关于y轴对称，
   
∵ ，∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 ， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上，满足题意的点B的坐标为 或 或 ；
（3）解：存在常数m，使得 ．
根据题意，画出图形如下图，
       
设抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ，
由 得 ，
∴ ， ；
设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
令 ，由 得 ，
∴ ，
同理，可得直线 的表达式为 ，则 ，
过E作 轴于Q，过D作 轴于N，
则 ， ， ， ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
整理，得 ，
即 ，
将 ， 代入，得 ，
即 ，则 或 ，
解得 ， ，
综上，存在常数m，使得 ，m的值为2或 ．

26.(1)见解析
(2)① ，证明过程略；②当点F在射线 上时， ，当点F在 延长线上时，
(3)

【解析】
（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到 即可解答；
（2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时， ，根据 ，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结论可得 ，再根据 ， ，即可得到 ；
②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨迹长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利用中点公式求出 ，最后利用勾股定理即可求出 的长度．
（1）证明：如图，连接 ，
   
当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，

在 与 中，
，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
   
当 时， ，即 ，
是 的中点，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
根据（1）中的结论可得 ，
；
故线段 之间的数量关系为 ；
②解：当点F在射线 上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
   
同①，可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
，
即线段 之间数量关系为 ；
当点F在 延长线上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，连接
   
同（1）中原理，可证明 ，
可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，

即线段 之间数量关系为 ,
综上所述，当点F在射线 上时， ；当点F在 延长线上时， ；
（3）解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨迹长度即为 的长度，
   
如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线段，交 于点 ，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
   
，
， ，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论 ，
，
，
，
，
，
．