【327858】2023年宁夏回族自治区中考数学真题

绝密·启用前

2023年宁夏回族自治区中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的绝对值是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（       ）

A．
B．
C．
D．

3.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数 （单位：次），按劳动次数分为4组： ， ， ， ，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.估计 的值应在（       ）
A． 和4之间
B．4和 之间
C． 和5之间
D．5和 之间

6.将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把 和 角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 ， 两点，则 的长是（       ）
   
A．
B．
C．2
D．

7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示，则下列结论错误的是（       ）
   
A． 随 的增大而增大
B．
C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为

8.如图，在 中， ， ， ．点 在 上，且 ．连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．则 的面积是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

9.计算： ________．

10.如图，在边长为2的正方形 中，点 在 上，连接 ， ．则图中阴影部分的面积是________．

11.方程 有两个相等的实数根，则 的值为________．

12.如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是________．

13.如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，那么 ________ ．

14.如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中点，线段 ，则点 表示的数是________．

15.如图是某种杆秤．在秤杆的点 处固定提纽，点 处挂秤盘，点 为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 ，秤杆处于平衡．秤盘放入 克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为 毫米时秤杆处于平衡．测得 与 的几组对应数据如下表：

由表中数据的规律可知，当 克时， ________毫米．
   

16.如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，点 ， ， ， ， ， ， 均在格点上．下列结论：
   
①点 与点 关于点 中心对称；
②连接 ， ， ，则 平分 ；
③连接 ，则点 ， 到线段 的距离相等．
其中正确结论的序号是________．

17.计算：

18.解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
             第1步
             第2步

             第3步
             第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．

19.如图，已知 ， ， 分别是 和 上的点， ．求证：四边形 是平行四边形．
   

20.“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 型和 型两种玩具，已知用520元购进 型玩具的数量比用175元购进 型玩具的数量多30个，且 型玩具单价是 型玩具单价的 倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
乙： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
则甲所列方程中的 表示_______，乙所列方程中的 表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 型玩具多少个？

21.给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 （ ）的反比例函数，其图象如图所示．
   
(1)当气球内的气压超过 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 ， 取3）；
(2)请你利用 与 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．

22.如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成 角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转 时，传送带上点 处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
   　　    

23.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩 （单位：分）进行统计：
七年级   86   94   79   84   71   90   76   83   90   87
八年级   88   76   90   78   87   93   75   87   87   79
整理如下：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： _______， ________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．

24.如图，已知 是 的直径，直线 是 的切线，切点为 ， ，垂足为 ．连接 ．
   
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径．

25.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
   
(1)直接写出点 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．

26.综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
   
探究发现
如图1，在 中， ， ．
   
（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： ；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．
   

参考答案

1.C

【解析】
根据绝对值的性质解答即可．
，
故选：C．

2.C

【解析】
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．

3.D

【解析】
根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．
解：A、 ，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 ，故选项C错误；
D、 ，故选项D正确；
故选D．

4.A

【解析】
利用概率公式进行计算即可．
解：由题意，得： ；
故选A．

5.C

【解析】
先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
∵ ，
∴ ，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴ 更接近5， 
∴ 在 和5之间，
故选：C．

6.B

【解析】
根据等腰直角三角形的性质可得 ，由含30度角直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 的长，即可得到结论．
解：如图，在 中， ，
   
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．

7.C

【解析】
结合图象，逐一进行判断即可．
解：A、 随 的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点的下方，即 ，故选项B正确；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；
故选项D正确；
故选C．

8.B

【解析】
证明 ，得到 ，推出 为直角三角形，利用 的面积等于 ，进行求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积等于 ；
故选B．

9.

【解析】
根据同分母分式加法法则计算即可．
解： ，
故答案为： ．

10.2

【解析】
根据正方形 的 ， ，边长为2，阴影部分面积等于 与 面积的和，运用三角形面积公式，即可求解．
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵正方形 的边长为2，
∴




．
故答案为：2．

11.

【解析】
根据方程有两个相等的实数根 ，进行求解即可．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．

12.

【解析】
利用列表法求概率即可．
解：列表如下：

共有12种等可能的结果，其中和为4有2种等可能的结果，
∴ ．
故答案为： ．

13.

【解析】
根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

14.

【解析】
根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
解：∵点 是 的中点，线段 ，
∴ ，
∴点 表示的数是： ；
故答案为： ．

15.50

【解析】
根据表格可得y与x的函数关系式，再将 代入求解即可．
解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为 ，
当 时， ，
故答案为：50．

16.①②③

【解析】
根据描述，作图，逐一进行判断即可；
解：①如图：
   
点 与点 关于点 中心对称；故①正确；
②如图：
   
由图可知： ，
∴ 为等腰三角形，
∵ 经过 的中点，
∴ 平分 ，故②正确；
③如图， 点到 的距离为 ， 点到 的距离为 ，
   
∴ ，
∴点 ， 到线段 的距离相等，故③正确；
综上，正确的有①②③；
故答案为：①②③．

17.

【解析】
先化简各式，在按照运算顺序进行计算即可．
解：原式

．

18.任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，

【解析】
任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
解：任务一：∵ ，
∴ ；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是 ；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
∴不等式组的解集为： ．

19.见解析

【解析】
根据平行线的性质和判定证得 ，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
证明： ，
，
又 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．

20.(1) 型玩具的单价；购买 型玩具的数量
(2)最多购进 型玩具 个

【解析】
（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进 型玩具 个，根据题意，列出方程进行求解即可．
（1）解：对于甲： 表示的是：用520元购进 型玩具的数量比用175元购进 型玩具的数量多30个，
∴ 分别表示 型玩具和 型玩具的数量，
∴ 表示 型玩具的单价；
对于乙： 表示的是： 型玩具单价是 型玩具单价的 倍，
∴ ，分别表示表示 型玩具和 型玩具的单价，
∴ 表示购买 型玩具的数量；
故答案为： 型玩具的单价；购买 型玩具的数量
（2）设购进 型玩具 个，则购买 型玩具 个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知： 型玩具的单价为5元，则 型玩具的单价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ；
答：最多购进 型玩具 个．

21.(1)气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．

【解析】
（1）设函数关系式为 ，用待定系数法可得 ，即可得当 时， ，从而求出 ；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．

（1）设函数关系式为 ，
根据图象可得： ，
，
当 时， ，
，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
要使气球不会爆炸， ，此时 ，
气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．

22.粮袋上升的高度是 cm

【解析】
先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
解：如图，设大转动轮转 时，粮袋移动到点 ，
   
则： ，
过点 作 ， 于点 ，
∴ ，
∴ ，即：粮袋上升的高度是 cm．

23.(1)85，87，七；
(2)220
(3)八年级，理由见解析

【解析】
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为 ，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数 ，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2） （人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．

24.(1)见解析
(2) 的半径为

【解析】
（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，证明 ，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出 即可；
（2）连接 ，过点O作 于F，证明 ，根据正切的定义列式求出 ，再根据勾股定理求出 即可．
（1）证明：连接 ，
   
∵直线 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（2）解：连接 ，过点O作 于F，则 ，
   
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ．

25.(1)
(2)点 ， 的最小值为
(3)

【解析】
（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时， 的值最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点 的坐标，两点间的距离公式求出 的长，即为 的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
（2）当 时， ，
∴ ，
连接 ，
      
∵ ，
∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴ ；
∴点 ， 的最小值为 ；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，
       
∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ．

26.（1） （2）证明见解析，拓展应用：

【解析】
（1）利用等边对等角求出 的长，翻折得到 ， ，利用三角形内角和定理求出， ， ，表示出 即可；
（2）证明 ，利用相似比进行求解即可得出 ；
拓展应用：连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，得到 为黄金三角形，进而得到 ，求出 的长即可．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵将 折叠，使边 落在边 上，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为： ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： （负值已舍掉）；
经检验 是原分式方程的解．
∴ ；
拓展应用：
如图，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
   
∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为黄金三角形，
∴ ，
∴ ．即菱形的较长的对角线的长为 ．