【327857】2023年内蒙古通辽市中考数学真题

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2023年内蒙古通辽市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.在英语单词 （多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“ ”的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，若 平移到 ， ， ，则 的平移距离为（       ）
   
A．3
B．4
C．5
D．12

4.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

5.二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

6.已知点 在反比例函数 的图像上，且 ，则下列结论一定正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，将 绕点A逆时针旋转到 ，旋转角为 ，点B的对应点D恰好落在 边上，若 ，则旋转角 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.下列命题：
① ；
② ；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（       ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9.如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点D，点C是半径 上一动点，若 ，则阴影部分周长的最小值为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

已知：如图1，在 中， ． 求作： 的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线 ，交 于点O； （3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（       ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转 得到点B，在 ， ， ， 四个点中，直线 经过的点是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

12.如图，抛物线 与x轴交于点 ，其中 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④不等式 的解集为 ．其中正确结论的个数是（       ）
   
A．1
B．2
C．3
D．4

评卷人 得分

二、填空题

13.已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．

14.将一副三角尺如图所示放置，其中 ，则 ___________度．
   

15.点Q的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方程组 ，则点Q关于y轴对称点 的坐标为___________．

16.如图，等边三角形 的边长为 ，动点P从点A出发以 的速度沿 向点B匀速运动，过点P作 ，交边 于点Q，以 为边作等边三角形 ，使点A，D在 异侧，当点D落在 边上时，点P需移动___________s．
   

17.某款“不倒翁”（如图 ）的主视图是图 ， 分别与 所在圆相切于点A，B，若该圆半径是 ，则主视图的面积为______ ．
       

评卷人 得分

三、解答题

18.计算： ．

19.以下是某同学化简分式 的部分运算过程：

解：原式 …………第一步 …………第二步 …………第三步 ……

(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．

20.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 方向，距离灯塔 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据： ．）
   

21.党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第 个“世界读书日”到来之际，对全校 名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：

调查方式	抽样调查	调查对象	×××中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．8小时以上 B．6-8小时 C．4~6小时 D．0~4小时

请解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的学生人数；
(2)求图2中扇形A所占百分比；
(3)估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”人数；
(4)在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．

22.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 、 ，延长 交 于点Q，连接 ．
   
(1)如图1，当点M在 上时， ___________度；
(2)改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断 与 的数量关系，并说明理由．

23.如图， 为 的直径，D，E是 上的两点，延长 至点C，连接 ， ．
   
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ，求 的半径．

24.某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．

25.阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系： ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________， ___________；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．

26.在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
   
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 轴，垂足为D，连接 ．
①如图，若点P在第三象限，且 ，求点P的坐标；
②直线 交直线 于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，请直接写出四边形 的周长．

参考答案

1.B

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解： 的相反数是 ，
故选：B．

2.A

【解析】
直接由概率公式求解即可．
解：单词 中共有10个字母，
其中 出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“ ”的概率为： ．
故选：A．

3.B

【解析】
根据平移的方向可得， 平移到 ，则点 与点 重合，故 的平移距离为 的长．
解：用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，将 平移到 ，
故平移后点 与点 重合，则 的平移距离为 ，
故选：B．

4.D

【解析】
依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象经过一、三、四象限．
解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．

5.C

【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
解：根据题意得， ，
解得 ，
在数轴上表示如下：
   
故选：C．

6.D

【解析】
把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出 、 的大小关系．
解：∵点 ， ）是反比例函数 的图像上的两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故D正确．
故选：D．

7.C

【解析】
先求出 ，再利用旋转的性质求出 ， ，然后利用等边对等角求出 ，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
解：如图，
   ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即旋转角 的度数是 ．
故选：C．

8.A

【解析】
运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
解：① ，故①是真命题；
② ，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．

9.A

【解析】
由于 是定值，只需求解 的最小值即可，作点D关于 对称点 ，连接 、 、 ，则 最小值为 的长度，即阴影部分周长的最小最小值为 ．利用角平分线的定义可求得 ，进而利用勾股定理和弧长公式求得 和 即可．
解：如图，作点D关于 对称点 ，连接 、 、 ，
   
则 ， ， ，
∴ ，当A、C、 共线时取等号，此时， 最小，即阴影部分周长的最小，最小值为 ．
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又 ，
∴阴影部分周长的最小值为 ，
故选：A．

10.D

【解析】
利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
   
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ，
∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．
∴ 为 的外接圆．
故选：D．

11.B

【解析】
根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线 的解析式，依次将 四个点的一个坐标代入 中可解答．
解：∵点 ，点 ，
   
∴ 轴， ，
由旋转得： ，
如图，过点B作 轴于C，
∴ ，
∴ ，
∴ ），
设直线 的解析式为： ，
则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴点 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 在直线 上，
当 时 ，
∴ 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 不在直线 上．
故选：B．

12.C

【解析】
根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当 时， 即可判断②；根据对称轴为 ， 可判断③； ， 数形结合即可判断④．
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确．
∵当 时， ，
∴ ，故②错误．
∵抛物线 与x轴交于两点 ，其中 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
∴ ，
∴ ，故③正确；
设 ， ，如图：
   
由图得， 时， ，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．

13.5

【解析】
根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可．
解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：5．

14.105

【解析】
根据平行线的性质可得 ，根据平角的定义即可求得．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：105．

15.

【解析】
先分别解一元一次方程 和二元一次方程组 ，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
解： ，
移项合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴点Q的横坐标为5，
∵ ，
由 得， ，解得： ，
把 代入①得， ，解得： ，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ，
∴点Q关于y轴对称点 的坐标为 ，
故答案为： ．

16.1

【解析】
当点D落在 上时，如图， ，根据 等边三角形， 是等边三角形，证明 ，进而可得x的值．
解：设点P的运动时间为 ，由题意得 ，
，
   
∵ ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．

17.

【解析】
根据题意，先找到圆心 ，然后根据 ， 分别与 所在圆相切于点A，B． 可以得到 的度数，然后即可得到优弧 对应的圆心角，再根据主视图的面积为 计算即可．
解：设圆心为O，过O作 ， ， 和 相交于点 ，连接 ，如图，
   
∵ ， 分别与 所在圆相切于点A，B．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴优弧 对应的圆心角为 ， ，
∵该圆半径是 ，
∴ ，
∴主视图的面积为

，
故答案为： ．

18.0

【解析】
根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．
解： ，
，
．

19.(1)一
(2)见解析

【解析】
（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
（1）解：


故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：




．

20.B处距离灯塔P大约有 ．

【解析】
在 中，求出 的长，再在 中，求出 即可．
解：设 与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得 ， ， ；
在 中，
∵ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
答：B处距离灯塔P大约有 ．

21.(1)300
(2)
(3)320
(4)

【解析】
（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”中人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用扇形A的圆心角 除以 即可求得扇形A所占百分比；
（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”所占的百分比，用总人数乘以百分比即可求得；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）在这次调查中一共抽查学生 （人），
即参与本次抽样调查的学生人数为300人．
（2）扇形A所占百分比为 ，
即扇形A所占百分比为 ．
（3）平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”所占的百分比为 ，
∴ （人），
即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”人数为320人．
（4）画树状图如下：
   
共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，
∴《西游记》被选中的概率为 ．

22.(1)30
(2) ，理由见解析

【解析】
（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出 ， ，进而可求出 ，即得出 ；
（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证 ，即得出 ．
（1）解：∵对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，
∴ ， ．
∵在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：结论： ，理由如下：
∵四边形 是正方形，
， ．
由折叠可得： ， ，
， ．
又 ，
，
∴ ．

23.(1)见解析
(2)见解析
(3) 的半径为 ．

【解析】
（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；
（2）连接 ，由圆周角定理得出 ，证出 ，由切线的判定可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出 ，由比例线段求出 和 的长，可求出 的长，则可得出答案．
（1）证明：∵ ， ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，
   
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．

24.(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．

【解析】
（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．
（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，
由题意可得： ，
解得：
经检验， 是分式方程 的解
每台A型机器每天搬运 吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台
由题意可得： ，
解得： ，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当 时，公司采购金额w有最小值，即 ，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．

25.(1) ，
(2)
(3) 的值为 或 ．

【解析】
（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由 ，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴


；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵

，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．

26.(1)
(2)① ② 或

【解析】
（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①设 ，过点 作 于点 ，求出 ，根据 列出方程求出 的值即可；
②可推出四边形 是菱形，从而得出 ，分别表示出 和 ，从而列出方程，进一步求得结果．
（1）∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴把 ， 代入 得，
，
解得， ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
（2）①设 ，过点 作 于点 ，如图，
   
∴
∵
∴
∵ 轴，
∴
又
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴ （不合题意，舍去）
∴
∴ ；
②设 ，
对于 ，当 时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点 在第三象限时，如图，过点 作 轴于点 ，
      
则四边形 是矩形，

∵点 与点 关于 对称，
∴
∵ 轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ,
又 且
∴
解得， （舍去）
∴
∴四边形 的周长 ；
当点 在第二象限时，如图，
   
同理可得：
解得， （舍去）
∴
∴四边形 的周长 ；
综上，四边形 的周长为 或 ．