【327856】2023年内蒙古赤峰市中考数学真题

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2023年内蒙古赤峰市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.化简 的结果是（       ）
A．
B．20
C．
D．

2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3. 年5月19日是第 个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游出游合计 人次，同比增长 ．将数字 用科学记数法表示为(       )
A．
B．
C．
D．

4.如图，数轴上表示实数 的点可能是(       )
   
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点S

5.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校 名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（       ）
   
A．样本容量是
B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为
D．估计全校学生A等级大约有 人

7.已知 ，则 的值是（       ）
A．6
B．
C．
D．4

8.如图，在 中， ， ， ．点F是 中点，连接 ，把线段 沿射线 方向平移到 ，点D在 上．则线段 在平移过程中扫过区域形成的四边形 的周长和面积分别是(       )
   
A．16，6
B．18，18
C．16.12
D．12，16

9.化简 的结果是（       ）
A．1
B．
C．
D．

10.如图，圆内接四边形 中， ，连接 ， ， ， ， ．则 的度数是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

11.某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

12.用配方法解方程 时，配方后正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

13.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线 长为30 ，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（       ）
v    
A．
B．
C．
D．

14.如图，把一个边长为5的菱形 沿着直线 折叠，使点C与 延长线上的点Q重合． 交 于点F，交 延长线于点E． 交 于点P， 于点M， ，则下列结论，① ，② ，③ ，④ ．正确的是（       ）
   
A．①②③
B．②④
C．①③④
D．①②③④

评卷人 得分

二、填空题

15.分解因式： =____.

16.方程 的解为___________．

17.为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 地和 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来 地去往 地需要绕行到 地的路线，改造成可以直线通行的公路 ．如图，经勘测， 千米， ， ，则改造后公路 的长是___________千米（精确到 千米；参考数据： ， ， ， ）．
   

18.如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在直线 上，若 ，则点E的坐标是____________．
   

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算：
（2）解不等式组：

20.已知：如图，点M在 的边 上．
求作：射线 ，使 ．且点N在 的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
③画射线 ．
④以点M为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点N．
⑤画射线 ．
射线 即为所求．
   
(1)用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ 平分 ．
∴ ① ，
∵ ，
∴ ② ，(   ③   )．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．(   ④   )．(填写推理依据)

21.某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
(收集数据)
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
(整理数据)

班级
甲班	6	3	1
乙班	4	5	1

(分析数据)

班级	平均数	中位数	众数	方差
甲班	80	a	b	51.4
乙班	80	80	80，85	c

(解决问题)根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： _________， _________， _________；
(2)请你根据(分析数据)中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：
(3)甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？

22.某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多 元．
(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于 万元，则至少销售甲种电子产品多少件？

23.定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
   
(1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
(2)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由．

24.如图， 是 的直径， 是 上一点过点 作 于点 ，交 于点 ，点 是 延长线上一点，连接 ， ， ．
   
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ， ，求 的长．

25.乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下数据：

水平距离x/
竖直高度y/

(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
   
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．

26.数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ．
   
(探究一)如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证： ；
(探究二)在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ；
(探究三)把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ．连接 交 于点 ，求 的值．

参考答案

1.B

【解析】
表示 的相反数，据此解答即可．
解： ，
故选：B

2.C

【解析】
根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．
A．不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：C．

3.B

【解析】
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．
解： ，
故选B．

4.B

【解析】
根据先估算 的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
解：∵
∴ ，即 ，
∴数轴上表示实数 的点可能是Q，
故选：B．

5.A

【解析】
根据幂的运算法则，乘法公式处理．
A. ，正确，符合题意；
B. ，原计算错误，本选项不合题意；
C. ，原计算错误，本选项不合题意；
D. ，原计算错误，本选项不合题意；

6.C

【解析】
用B等的人数除以B等的百分比即可得到样本容量，用C等级人数除以总人数计算样本中C等级所占百分比，用 乘以D等级的百分比即可计算D等级所在扇形的圆心角，用全校学生数乘以A等级的百分比即可得到全校学生A等级人数，即可分别判断各选项．
解：A．∵ ，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意；
B．样本中C等级所占百分比是 ，故选项正确，不符合题意；
C．样本中C等级所占百分比是 ，D等级所在扇形的圆心角为 ，故选项错误，符合题意；
D．估计全校学生A等级大约有 （人），故选项正确，不符合题意．
故选：C．

7.D

【解析】
变形为 ，将 变形为 ，然后整体代入求值即可．
解：由 得： ，
∴




，
故选：D．

8.C

【解析】
先论证四边形 是平行四边形，再分别求出 、 、 ，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
由平移的性质可知： ，
∴四边形 是平行四边形，
在 中， ， ， ，
∴
在 中， ， ，点F是 中点
∴
∵ ，点F是 中点
∴ ， ，
∴点D是 的中点，
∴
∵D是 的中点，点F是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴四边形 的周长为： ，
四边形 的面积为： ．
故选：C．

9.D

【解析】
根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
解：

．
故选D．

10.A

【解析】
根据圆内接四边形对角互补得出 ，根据圆周角定理得出 ，根据已知条件得出 ，进而根据圆周角定理即可求解．
解：∵圆内接四边形 中， ，
∴
∴
∵
∴ ，
∵
∴ ,
故选：A．

11.D

【解析】
根据列表法求概率即可求解．
解：设 分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下，

共有9种等可能结果，符合题意得出有1种，
∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是 ，
故选：D．

12.C

【解析】
根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．

13.B

【解析】
根据圆锥的底面圆周长求得半径为 ，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为 ，进而即可求解．
解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示， 即为所求，过点 作 ，
∵ ， ，则
∵ ，则
∴ ， ，
   
故选：B．

14.A

【解析】
由折叠性质和平行线的性质可得 ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出 ，再求出 即可判断②正确；由 得 ，求出 即可判断③正确；根据 即可判断④错误．
由折叠性质可知： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故 正确；
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 与 不相似．
∴ ．
∴ 与 不平行．
故 错误；
故选A．

15.

【解析】
先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可．
．
故答案为：

16.

【解析】
依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．

17.

【解析】
如图所示，过点 作 于点 ，分别解 ，求得 ，进而即可求解．
解：如图所示，过点 作 于点 ，
   
在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ （千米）
改造后公路 的长是 千米，
故答案为： ．

18. 和

【解析】
先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE的外角， ，而 ，所以此时 ，有 ，可求出 所在直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得到关于 的方程，求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，可以证明 ，得到 为直角三角形，延长 至 ，取 ，此时， ，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形， 点 和 关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标．
解：在 中，当 时， ，则有 ，
令 ，则有 ，
解得： ，
∴ ，
根据 点坐标，有
所以 点坐标
   
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，
解得
∴ 所在直线的解析式为：
当 点在线段 上时，设

而
∴
∴
因为： ， ，
有
解得： ，
所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
   
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 ，
故答案为： 或

19.（1） ；（2）

【解析】
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）


；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为：

20.(1)见解析
(2)① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行

【解析】
（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；
（2）由 平分 推导 ，由 推导 ，从而推出 ，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定 ．
（1）根据意义作图如下：射线 即为所求作的射线．
   
（2）证明：∵ 平分 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
故答案为：① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．

21.(1)79，79，27；
(2)乙，见解析；
(3)42人．

【解析】
（1）根据中位数，众数，方差的定义求解；
（2）结合平均数，方差代表的数据信息说明；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数．
（1）解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数 ，众数 ；
乙班数据方差




（2）乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好．
（3）获奖人数： （人）．
答：两个班获奖人数为42人．

22.(1)甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
(2)至少销售甲种电子产品 万件．

【解析】
（1）设甲种电子产品的销售单价 元，乙种电子产品的销售单价 元，根据等量关系： 件甲种电子产品与 件乙种电子产品的销售额相同， 件甲种电子产品比 件乙种电子产品的销售多 元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种电子产品 万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于 万元，列出不等式求解即可．
（1）解：设甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ；
答：甲种电子产品的销售单价是 元，乙种电子产品的单价为 元．
（2）解：设销售甲种电子产品 万件，则销售乙种电子产品 万件．
根据题意得： ．
解得： ．
答：至少销售甲种电子产品 万件．

23.(1) ，
(2) ， ， 或
(3) 是直角三角形，理由见解析

【解析】
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判断当 时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出 ， ， ，即可判断 的形状．
（1）∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴矩形 “梦之点” 满足 ， ，
∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”，
故答案为： ， ；
（2）∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
∴把 代入 得 ，
∴ ，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线 上，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ，
函数图象如图：
   
由图可得，当 时，x的取值范围是 或 ；
故答案为： ， ， 或 ；
（3） 是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线 上的“梦之点”，
∴联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∵
∴顶点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．

24.(1)证明见解析
(2)

【解析】
（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出 ，利用已知条件进行等量转换即可求出 ，最后利用 可证明 ，从而证明 是 切线．
（2）根据互余的两个角相等，利用 可求出 ，设参数表示出 和 ，再根据勾股定理用参数表示出 和 ，最后利用 即可求出参数的值，从而求出 长度，即可求 的长．
（1）解：连接 ， ，如图所示，
   
， 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 切线．
（2）解：连接 ，如图所示，
   
由（1）得， ，
，
，
．
，
．
设 则 ，
在 中， ，
．
在 中， ．
，
，
．
．
，
．
．
故答案为： ．

25.(1)见解析
(2)① ； ；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为

【解析】
（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， ；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当 时， ，代入进行计算即可求解．
（1）解：如图所示，
   
（2）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（3）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．

26.[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]

【解析】
[探究一]证明 ，即可得证；
[探究二]根据正方形的性质证明 ，根据三角形内角和得出 ，加上公共角 ，进而即可证明
[探究三]先证明 ，得出 ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 在直线 上．得出 ，根据全等三角形的性质得出 ，进而可得 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，即可得出结论．
[探究一]
∵把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中

∴
∴
[探究二]证明：如图所示，
   
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵公共角 ，
∴ ；
[探究三] 证明：∵ 是正方形的对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 在直线 上．
   
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．