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2023年内蒙古包头市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列各式计算结果为 的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则 的值为（       ）
   
A．3
B．2
C．1
D．0

3.定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为（       ）
A．
B．
C．5
D．3

4.如图，直线 ，直线 与直线 分别相交于点 ，点 在直线 上，且 ．若 ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

6.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作 和 ．若点 的坐标记作 ，则点 在双曲线 上的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，则 的值为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为（       ）
A．
B．
C．
D．

9.如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（       ）
   
A．8
B．4
C．3.5
D．3

10.如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.若 为两个连续整数，且 ，则 ________．

12.若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ________．

13.如图，正方形 的边长为2，对角线 相交于点 ，以点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为________．
   

14.已知二次函数 ，若点 在该函数的图象上，且 ，则 的值为________．

15.如图，在 中， ，将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为________．
   

16.如图， 是正五边形 的对角线， 与 相交于点 ．下列结论：
① 平分 ；       ② ；       ③四边形 是菱形；       ④
其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
   

评卷人 得分

三、解答题

17.（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解方程： ．

18.在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．
   
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．

19.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 点和 点，行进路线为 ． 点在 点的南偏东 方向 处， 点在A点的北偏东 方向，行进路线 和 所在直线的夹角 为 ．
   
(1)求行进路线 和 所在直线的夹角 的度数；
(2)求检查点 和 之间的距离（结果保留根号）．

20.随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中 为一折线）．
   
(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）

21.如图， 是 的直径， 是弦， 是 上一点， 是 延长线上一点，连接 ．
   
(1)求证： ；（请用两种证法解答）
(2)若 ， 的半径为3， ，求 的长．

22.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点 分别是边 ，线段 上的点，连接 与 相交于点 ．
   
(1)如图1，连接 ．当 时，试判断点 是否在线段 的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若 ，且 ，
①求证： ；
②当 时，设 ，求 的长（用含 的代数式表示）．

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，直线 交抛物线于 两点（点 在点 的左侧），交 轴于点 ，交 轴于点 ．
   
(1)求点 的坐标；
(2) 是线段 上一点 ，连接 ，且 ．
①求证： 是直角三角形；
② 的平分线 交线段 于点 是直线 上方抛物线上一动点，当 时，求点 的坐标．

参考答案

1.C

【解析】
根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断．
解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选：C．

2.B

【解析】
先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
解： 解得 ，
由数轴得： ，
解得： ，
故选：B．

3.D

【解析】
根据新定义的运算求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选：D．

4.C

【解析】
由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，进而可得 的度数．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．

5.D

【解析】
根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，
所以该几何体的主视图是
        
故选：D．

6.A

【解析】
先求出点 的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线 上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．
解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点 的坐标共有6种情况： ， ， ， ， ， ，并且它们出现的可能性相等．
点 坐标在双曲线 上有2种情况: ， ．
所以，这个事件的概率为 ．
故选：A．

7.D

【解析】
首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为 ，则较长的直角边为 ，再接着利用勾股定理得到关于 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出 的值即可.
∵小正方形的面积为 ，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形短的直角边为 ，则较长的直角边为 ，其中 ，
∴ ，其中 ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：D.

8.B

【解析】
根据一次函数的平移规律求解即可．
解：正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．

9.B

【解析】
根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．

10.A

【解析】
过点B作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出 ， ，利用各角之间的关系 ，确定 ，B，D三点共线，结合图形确定 ，然后代入反比例函数解析式即可．
解：如图所示，过点B作 轴，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，B，D三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 得： ，
故选：A．

11.3

【解析】
根据夹逼法求解即可．
解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．

12. ##

【解析】
由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可．
解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，
∴ ，
故答案为： ．

13.

【解析】
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形 的面积，然后由勾股定理得出 ，再由扇形的面积公式求解即可．
解：正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形 的面积，即 ，
故答案为： ．

14.2

【解析】
将点 代入函数解析式求解即可．
解：点 在 上，
∴ ，
，
解得： (舍去)
故答案为：2．

15.5

【解析】
过点D作 于点F，利用勾股定理求得 ，根据旋转的性质可证 、 是等腰直角三角形，可得 ，再由 ，得 ，证明 ，可得 ，即 ，再由 ，求得 ，从而求得 ， ，即可求解．
解：过点D作 于点F，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：5．
   

16.①③④

【解析】
根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．
解：①∵正五边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故②错误；
③∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；正确；
④∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，正确；
故答案为：①③④．

17.（1） ，1；（2）

【解析】
（1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项，最后代入求解即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．
解：（1）原式
．
当 时，
原式 ．             
（2）
方程两边乘 ，得 ．
解得 ．
检验：将 代入 ，
∴ 是原方程的根．

18.(1)该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆
(2)2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务

【解析】
（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）利用条形统计图中的数据进行阐述即可．
（1）解： （万辆），
，
∴该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆．
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等．
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务．

19.(1)行进路线 和 所在直线的夹角为
(2)检查点 和 之间的距离为

【解析】
（1）根据题意得， ， ，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作 ，垂足为 ，由等角对等边得出 ，再由正弦函数及正切函数求解即可．
（1）解：如图，根据题意得， ， ，
，
．
在 中， ，
．
答：行进路线 和 所在直线的夹角为 ．
（2）过点A作 ，垂足为 ．
      
，
，
．
,
在 中，
，
．
,
在 中， ，
，
．
答：检查点 和 之间的距离为 ．

20.(1)
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元

【解析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入 每台的销售价格 销售数量求得销售收入为 万元与销售月份 之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
（1）解：当 时，设每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
∵图象过 两点，
，解得
∴当 时，每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设销售收入为 万元，
①当 时， ，
，当 时， （万元）．                    
②当 时， ，
，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， （万元）．                           
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．

21.(1)证明见解析
(2)8

【解析】
（1）证法一：连接 ，得到 ，因为 ，所以 ；证法二：连接 ，可得 ，则 ，根据 ，可得 ，即可得到结果；
（2）连接 ，根据角度间的关系可以证得 为直角三角形，根据勾股定理可得边 的长，进而求得结果．
（1）证法一：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
   
证法二：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
   
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为3，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
   

22.(1)点 在线段 的垂直平分线上
(2)①证明见解析，②

【解析】
（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出 ，再由各角之间的关系得出 ，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接 ．利用等边三角形的判定和性质得出 ，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
（1）解：如图，点 在线段 的垂直平分线上．
理由如下：连接 ．
∵四边形 是菱形，对角线 相交于点 ，

．
，
，
∴点 在线段 的垂直平分线上．                    
   
（2）①证明：如图，∵四边形 是菱形，
，
， ，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
．
．
，
；
   
②如图，连接 ．
，
∴ 是等边三角形．
∵ ，
∴ ，

在 中， ，
，
．

， ，
，
．
，
，
．
在 中， ，
由勾股定理得 ，

．                           
   

23.(1) ， ，
(2)①证明见解析，②点 的坐标为 或

【解析】
（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；
（2）①设 然后利用勾股定理求解， ，过点 作 轴，垂足为 ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出 ，设点 的坐标为 ，根据题意得 ．分两种情况（i）当点 在直线 的左侧抛物线上时， ．（ii）当点 在直线 的右侧抛物线上时， ．求解即可．
（1）解：∵直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
当 时，
，
当 时，
．
∵直线 交抛物线于 两点，
，
，解得 ．
∵点 在点 的左侧，
∴点 的横坐标为3，
当 时， ．
；
（2）如图，
      
①抛物线 交 轴于点A，
当 时， ．

,
在 中， ，
由勾股定理得 ，
设

，
．

，


，


，
．

，
．
是等腰直角三角形，
．
过点 作 轴，垂足为 ．

，


是等腰直角三角形，


是直角三角形．
② 平分


轴．
，
．
设点 的坐标为 ，根据题意得 ．
（i）当点 在直线 的左侧抛物线上时， ．
过点 作 轴，垂足为 ．
，
．

，
在 中，

，
，


（舍去）．
当 时，

（ii）当点 在直线 的右侧抛物线上时， ．
过点 作 轴，垂足为 ．

，



在 中，

，
，


（舍去）．
当 时，

∴点 的坐标为 或 ．