绝密·启用前
2023年辽宁省营口市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.
的绝对值是（
）
A．3
B．
C．
D．
2.如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.有下列四个算式①
；②
；③
；④
．其中，正确的有（ ）．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4.如图，
是
的平分线，
，
，则
的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．35°
D．45°
5.下列计算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
7.不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如图所示，
是
的直径，弦
交
于点E，连接
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图．抛物线
与x轴交于点
和点
，与y轴交于点C．下列说法：①
；②抛物线的对称轴为直线
；③当
时，
；④当
时，y随x的增大而增大；⑤
（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
|
二、填空题 |
11.若二次根式
有意义，则x的取值范围是______．
12.在平面直角坐标系中，将点
向左平移5个单位长度，得到点
，则点
的坐标是______．
13.某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示
时间/小时 |
7 |
8 |
9 |
10 |
人数 |
4 |
12 |
13 |
6 |
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是______小时．
14.若关于x的方程
的一个根是3，则此方程的另一个根是______．
15.如图，在
中，以A为圆心，
长为半径作弧，交
于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点P，作直线
，交
于点E，若
，
，则
______．
16.如图，在
中，
，
，将
绕着点C按顺时针旋转
得到
，连接BD交
于在E，则
______．
|
三、解答题 |
17.先化简，再求值：
，其中
．
18.某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成如下不完整统计图表
学生周末家务劳动时长分组表
组别 |
A |
B |
C |
D |
t（小时） |
|
|
|
|
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______名学生，条形统计图中的
______，D组所在扇形的圆心角的度数是______；
(2)已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
(3)班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
19.如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线
的两侧，且
，
．
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的长．
20.如图，点A在反比例函数
的图象上，
轴于点B，
，
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接
并延长交x轴于点D，且
，求点C的坐标．
21.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西
方向上，B位于C的北偏西
方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西
方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：
，
）
22.某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
23.如图，在
中，
，以
为直径作
与
交于点D，过点D作
，交
延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：
为
的切线；
(2)若
，
，求
的长．
24.在
中，
，点E在
上，点G在
上，点F在
的延长线上，连接
．
，
．
(1)如图1，当
时，请用等式表示线段
与线段
的数量关系______；
(2)如图2，当
时，写出线段
和
之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当点G是
的中点时，连接
，求
的值．
25.如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，抛物线的对称轴交
轴于点
，过点
作直线
轴，过点
作
，交直线
于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点
为第三象限内抛物线上的点，连接
和
交于点
，当
时．求点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接
，在直线
上是否存在点
，使得
？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解．
在数轴上，点
到原点的距离是
，
所以，
的绝对值是
，
故选：C．
2.B
【解析】
根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
解：从正面看，看到的图形分为上下两层，下面一层有3个小正方形并排放在一起，上面一层最中间有1个小正方形，
即看到的图形为
，
故选B．
3.C
【解析】
由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
解：①
；故①错误；
②
；故②错误；
③
；故③正确；
④
；故④正确；
故选：C．
4.B
【解析】
根据邻补角求出
，利用角平分线求出
，再根据平行线的性质求出
的度数．
解：∵
，
∴
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：B．
5.B
【解析】
根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方以及合并同类项的运算法则进行计算，逐个判断．
解：A.
，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.
，计算正确，故此选项符合题意；
C.
，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.
，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
6.A
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
7.B
【解析】
解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解．
解：
，
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为
，
∴数轴表示如下所示：
故选B．
8.C
【解析】
根据”
2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得
，
可列
故选：C．
9.D
【解析】
如图所示，连接
，先由同弧所对的圆周角相等得到
，再由直径所对的圆周角是直角得到
，则
．
解：如图所示，连接
，
∵
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
故选D．
10.C
【解析】
根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得
，根据
和点
可得抛物线的对称轴为直线
，即可判断②；推出
，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当
时，抛物线有最大值
，即可得到
，即可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴
，
∵抛物线与x轴交于点
和点
，
∴抛物线对称轴为直线
，故②正确；
∴
，
∴
，
∴
，故①错误；
由函数图象可知，当
时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当
时，
，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线
且开口向下，
∴当
时，y随x的增大而减小，即当
时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线
且开口向下，
∴当
时，抛物线有最大值
，
∴
，
∴
，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
11.
【解析】
根据二次根式有意义的条件得到
，解不等式即可得到答案．
解：∵二次根式
有意义，
∴
，
解得
，
故答案为：
12.
【解析】
向左平移5个单位长度，即点
的横坐标减5，纵坐标不变，从而即可得到
的坐标．
解：点
向左平移5个单位长度后，
坐标为
，
即
的坐标为
，
故答案为：
．
13.9
【解析】
一组数据中出现次数最多的数据即为众数，根据定义解答．
解：35个数据中7出现4次，8出现12次，9出现13次，10出现6次，
∴9出现的次数最多，
∴众数为9小时，
故答案为：9．
14.
【解析】
根据根与系数的关系
即可求出方程的另一个根．
设另一个根为
，
根据题意：
，
解得，
，
即另一个根为
，
故答案为：
．
15.4
【解析】
利用圆的性质得出
垂直平分
和
，运用勾股定理便可解决问题.
解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点P，
∴
垂直平分
,即
，
∴
，
又∵在
中，以A为圆心，
长为半径作弧，交
于C，D两点，其中
，
∴
，
在
中，
，
故答案为：4．
16.
【解析】
连接
，证明
是等边三角形，则
，
，设
，则
，取
的中点H，连接
，求出
，设
，则
，证明
，得到
，解得
，即
，再利用勾股定理求出
，进一步即可得到答案．
解：连接
，
∵将
绕着点C按顺时针旋转
得到
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
设
，则
，
取
的中点H，连接
，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
17.
，原式
【解析】
先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可．
解：
，
∵
，
∴
，
∴原式
．
18.(1)50，9，
(2)估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
(3)
【解析】
（1）根据数据计算即可；
（2）根据（1）求出的D组所占的比例计算结果；
（3）列出所有可能情况求概率．
（1）解：这次抽样调查共抽取的人数有：
（人），
B组的人数为：
（人），
D组所占的比例为：
∴D组所在扇形的圆心角的度数是：
；
（2）解：根据题意得，
（人）
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
（3）解：列表如下：
|
男1 |
男2 |
男3 |
女 |
男1 |
|
（男2，男1） |
（男3，男1） |
（女，男1） |
男2 |
（男1，男2） |
|
（男3，男2） |
（女，男2） |
男3 |
（男1，男3） |
（男2，男3） |
|
（女，男3） |
女 |
（男1，女） |
（男2，女） |
（男3，女） |
|
共有12中等可能结果，其中恰好选中两名男生的结果数为6，
∴恰好选中两名男生的概率
.
19.(1)证明见解析
(2)4
【解析】
（1）直接利用
证明
即可；
（2）根据全等三角形的性质得到
，则
．
（1）证明：在
和
中，
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
20.(1)
(2)
【解析】
（1）利用正切值，求出
，进而得到
，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作
轴于点E，易证四边形
是矩形，得到
，
，再证明
是等腰直角三角形，得到
，进而得到
，然后利用待定系数法求出直线
的解析式为
，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
（1）解：
轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数
的图象上，
，
反比例函数的解析式为
；
（2）解：如图，过点A作
轴于点E，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线
的解析式为
，
，解得：
，
直线
的解析式为
，
点A、C是反比例函数
和一次函数
的交点，
联立
，解得：
或
，
，
．
21.甲组同学比乙组同学大约多走
米的路程
【解析】
过B点作
于点D，根据题意有：
，
，
，进而可得
，
，
，结合直角三角形的知识可得
（米），
（米），
（米），即有
（米），问题随之得解．
如图，过B点作
于点D，
根据题意有：
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
（米），
∴
（米），
∵在
中，
，
（米），
∴
（米），
∴
（米），
∴
（米），
∴
（米），
即
（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走
米的路程．
22.(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【解析】
（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是
元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：
，根据二次函数的性质可得出答案．
（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是
元，
根据题意可得：
，
解得：
，
经检验：
是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：
，
整理得：
，
根据二次函数的性质得出：当
时，利润最大，
最大利润为：
，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
23.(1)见详解
(2)
【解析】
（1）连接
，
，根据圆周角定理证明
，再根据“三线合一”证明
平分
，即有
，进而可得
，根据
，可得
，问题得证；
（2）先证明
，
，即有
，在
中结合勾股定理，可求出
，即同理在
中，可得
，进而有
，
，即
，证明
，即有
，即
，问题即可得解．
（1）连接
，
，
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴半径
，
∴
为
的切线；
（2）∵在
中，
，
∴
，
在（1）中，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵在
中，
，
，
∴
，
∴
，解得：
（负值舍去），
即同理在
中，可得
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
解得：
（经检验，符合题意），
即
．
24.(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）当
时，
，在
上截取
，连接
，证明
，推出
，
，得到
；
（2）当
时，得到
，
，过点G作
交
于点M，证明
，推出
，得到
，由此得到
，进而推出
；
（3）由（2）得
，设
，由点G是
的中点，得到
，推出
，
，过点E作
于N，根据
角的性质及勾股定理求出
，
，即可得到
，根据公式计算即可．
（1）解：当
时，
，
∵在
中，
，
∴
，
，
∴
∴
，
在
上截取
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：
；
（2）
，理由如下：
当
时，
，
∴
，
，
过点G作
交
于点M，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
（3）∵
，
，
∴
，
设
，
∵点G是
的中点，
∴
，
∴
,
∴
，
∴
，
，
过点E作
于N，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
25.(1)
(2)
(3)
或
．
【解析】
（1）根据抛物线过点
，对称轴为直线
，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得
，
，求得
，则
，进而求得直线
的解析式为
，过点
作
轴，交
于点
，证明
，根据已知条件得出
设
，则
，将点
代入
，即可求解．
（3）根据题意可得
，以
为对角线作正方形
，则
，进而求得
的坐标，待定系数法求得
的解析式，联立
解析式，即可求解．
（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
，抛物线的对称轴交
轴于点
，则对称轴为直线
，
∴
，
解得：
∴抛物线解析式为
；
（2）解：由
，当
时，
，
解得：
，
∴
，
当
时，
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，则
，
设直线
的解析式为
，则
，解得：
，
∴直线
的解析式为
，
如图所示，过点
作
轴，交
于点
，
∵
，
∴
∵
∴
，则
设
，则
即
，
将点
代入
即
解得：
或
（舍去）
当
时，
，
∴
；
（3）∵
，
，
则
，
是等腰直角三角形，
∴
，由（2）可得
，
∵
∴
，
由（2）可得
，
设直线
的解析式为
，则
解得：
∴直线
的解析式为
如图所示，以
为对角线作正方形
，则
，
∵
，则
，则
，
，
设
，则
，
解得：
，
，
则
，
，
设直线
的解析式为
，直线
的解析式为
则
，
，
解得：
，
，
设直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，
∴
解得：
，则
，
解得：
,则
，
综上所述，
或
．