2023年辽宁省丹东市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）6的相反数是（　　）

A．6

B．﹣6

C．

D．

【答案】B

【考点】相反数．

【分析】求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．

【解答】解：根据相反数的含义，可得6的相反数是：﹣6．故选：B．

【难度】1

2．（3分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．

【解答】解：它的主视图是： ．故选：C．

【难度】1

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（3xy）²＝9x²y²

B．（y³）²＝y⁵

C．x²•x²＝2x²

D．x⁶÷x²＝x³

【答案】A

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．

【解答】解：A．（3xy）²＝9x²y²，故此选项符合题意；B．（y³）²＝y⁶，故此选项不合题意；C．x²•x²＝x⁴，故此选项不合题意；D．x⁶÷x²＝x⁴，故此选项不合题意．故选：A．

【难度】1

4．（3分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：

	甲	乙	丙	丁
平均数/cm	169	168	169	168
方差	6.0	17.3	5.0	19.5

根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（　　）

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【答案】C

【考点】方差；算术平均数．

【分析】先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙运动员去参赛．

【解答】解：∵甲、丙的平均数比乙、丁大，∴应从甲和丙中选，∵甲的方差比丙的大，∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；故选：C．

【难度】1

5．（3分）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥AC，交BC于点E．若∠A＝50°，则∠CDE的度数是（　　）

A．25°

B．40°

C．45°

D．50°

【答案】B

【考点】平行线的性质．

【分析】首先根据平行线的性质得∠BDE＝∠A＝50°，再根据垂直的定义得∠CDB＝90°，进而根据∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE即可得出答案．

【解答】解：∵DE∥AC，∠A＝50°，∴∠BDE＝∠A＝50°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°．故选：B．

【难度】1

6．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　）

A．x＞4

B．x＜4

C．x＞3

D．x＜3

【答案】B

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．

【难度】1

7．（3分）在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则袋中黑球的个数为（　　）

A．1

B．3

C．6

D．9

【答案】D

【考点】概率公式．

【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式3 3，然后计算即可．

【解答】解：由题意可得，黑球的个数为：3 3＝3×4﹣3＝12﹣3＝9，故选：D．

【难度】1

8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（　　）

A．6

B．8

C．9

D．10

【答案】C

【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质．

【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，推出BC＝AD＝9，再证明CH＝CB，可得结论．

【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵AB＝AG＝4，∴∠ABG＝∠AGB，∴∠AGB＝∠CBH，∴AD∥CB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，∵AB∥CH，∴∠ABG＝∠CHB，∴∠CBH＝∠CHB，∴CH＝CB＝9．故选：C．

【难度】1

9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若 ，则矩形ABCD的周长是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OB，而∠ABD＝60°，则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝OC AC，因为AE⊥BD于点E，所以E为OB的中点，而F是OC的中点，则BC＝2EF＝4 ，则勾股定理得BC AB，则 AB＝4 ，AB＝4，即可求得矩形ABCD的周长是8 8，于是得到问题的答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∴∠ABC＝90°，OA＝OC AC，OB＝OD BD，且AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠ABD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OC AC，∴AC＝2AB，∵AE⊥BD于点E，∴E为OB的中点，∵F是OC的中点，EF＝2 ，∴BC＝2EF＝2×2 4 ，∴AD＝BC＝4 ，∵BC AB，∴ AB＝4 ，∴AB＝CD＝4，∴AD+BC+AB+CD＝4 4 4+4＝8 8，∴矩形ABCD的周长是8 8，故选：D．

【难度】1

10．（3分）抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）是抛物线y＝ax²+bx（a≠0）上的两个点，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＜﹣2，则y₁＜y₂；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为 ；④若关于x的方程ax²+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】A

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；根的判别式；根与系数的关系．

【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．

【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax²+bx的图象可由抛物线y＝ax²+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax²+bx的增减性与抛物线y＝ax²+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x₁＜x₂，且x₁+x₂＜﹣2，若x₂＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y₁＞y₂．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又 ，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x ．所以点P的坐标为（ ，0）．故③正确．将方程ax²+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax²+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax²+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．

【难度】1

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）地球上的海洋面积约为361000000km²，将数据361000000用科学记数法表示为 　 　．

【答案】3.61×10⁸．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：361000000用科学记数法可以表示为3.61×10⁸，故答案为：3.61×10⁸．

【难度】3

12．（3分）因式分解：y³﹣16y＝　 　．

【答案】y（y+4）（y﹣4）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取y，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝y（y+4）（y﹣4），故答案为：y（y+4）（y﹣4）

【难度】3

13．（3分）某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：

年龄/岁	18	19	20	21	22
人数	3	5	2	1	1

则这12名队员年龄的中位数是 　 　岁．

【答案】19．

【考点】中位数．

【分析】根据中位数的定义求解．

【解答】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是19岁．故答案为：19．

【难度】3

14．（3分）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．

【答案】x≥﹣2，且x≠1

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

【分析】要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0，且分母不能为0．

【解答】解：由题可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，则x≠1．故答案为：x≥﹣2，且x≠1．

【难度】3

15．（3分）不等式组 的解集是 　 　．

【答案】x＞6．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．

【解答】解： ，解不等式①，得：x＞3，解不等式②，得：x＞6，∴该不等式组的解集是x＞6，故答案为：x＞6．

【难度】3

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为 　 　．

【答案】 ．

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据题意证明△ABE≌△BCF（SAS），△EBG∽△FBC，利用勾股定理即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABG＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠BGE＝∠C，又∵∠EBG＝∠FBC，∴△EBG∽△FBC，∴ ，∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，∴BF ，∴ ，∴ ．故答案为： ．

【难度】3

17．（3分）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC＝2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k＝　 　．

【答案】4．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】过点D作DE⊥AB交AB的延长线于E，设点A的坐标为（m，n），则k＝mn，OC＝m，AC＝n，AB＝3n，证四边形ODEC为矩形得DE＝OC＝m，然后根据△ABD的面积是6可得mn＝4，由此可得k的值．

【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB的延长线于E，如图： 设点A的坐标为（m，n），∵x＞0，点A在第一象限，∴m＞0，n＞0，k＝mn，∵AC⊥x轴于点C，∴OC＝m，AC＝n，∴BC＝2AC＝2n，∴AB＝BC+AC＝3n，∵AC⊥x轴，DE⊥AB，∠DOC＝90°，∴四边形ODEC为矩形，∴DE＝OC＝m，∵△ABD的面积是6，∴S_△ABD AB•DE＝6，即： •3n•m＝6，∴mn＝4，∴k＝mn＝4．故答案为：4．

【难度】3

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 　 　；点D的坐标为 　 　．

【答案】（﹣2，0）； 或 ．

【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．

【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ，由三角形的面积公式得S_△ABC AC•OB AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC 3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得 ，由此解出t₁＝2，t₂＝10（不合题意，舍去），此时OC 3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC²＝20，BD²＝（m﹣0）²+（n﹣4）²，CD²＝（m+2）²+（n﹣0）²，由△BCD为等边三角形得 ，整理： ，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n²﹣4n+1＝0，解得n ，进而再求出m即可得点D的坐标．

【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图： ∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB 5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC ，∴ 2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S_△ABC AC•OB AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC 3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC²﹣OB²＝OC²，即 ，整理得：t²﹣12t+20＝0，解得：t₁＝2，t₂＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC 3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），方法二：设BE＝2t，则CE＝4t，AE＝3t，AC＝AB＝5t，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC²＝（﹣2﹣0）²+（0﹣4）²＝20，BD²＝（m﹣0）²+（n﹣4）²，CD²＝（m+2）²+（n﹣0）²，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴ ，整理得： ，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）²+n²﹣8n＝4，整理得：n²﹣4n+1＝0，解得：n ，当n 时，m＝3﹣2n ，当n 时，m＝3﹣2n ，∴点D的坐标为 或 ．D在BC左侧时，倍长BD，可得Rt△BCF，作FH⊥x轴于H，则CH＝4√3，FH＝2√3，F（﹣2﹣4√3，2√3），中点公式可求点D ，在BC右侧的点D同理可求D ． 故答案为：（﹣2，0）； 或 ．

【难度】5

三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）

19．（8分）先化简，再求值：

，其中 ．

【答案】 ，1．

【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝[ ] ＝（ ） ；∵x＝（ ）^﹣1+（﹣3）⁰＝2+1＝3，∴原式 1．

【难度】3

20．（14分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：

（1）这次抽样调查共抽取 　 　人，条形统计图中的m＝　 　；

（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；

（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；

（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．

【答案】（1）50，7；（2）补充完整的条形统计图见解答C等所在扇形圆心角的度数为108°；（3）估计该校学生答题成绩为A等和B等共有672人；（4） ．

【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；

（2）根据（1）中的结果和A等级所占的百分比，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，再计算出C等所在扇形圆心角的度数即可；

（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；

（4）根据题意，可以画出相应的树状图，然后计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可．

【解答】解：（1）由统计图可得，这次抽样调查共抽取：16÷32%＝50（人），m＝50×14%＝7，故答案为：50，7；（2）由（1）知，m＝7，等级为A的有：50﹣16﹣15﹣7＝12（人），补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：360° 108°；（3）1200×（24%+32%）＝1200×56%＝672（人），即估计该校学生答题成绩为A等和B等共有672人；（4）树状图如下所示： 由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 ．

【难度】3

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？

【答案】施工队原计划每天改造6米．

【考点】分式方程的应用．

【分析】设施工队原计划每天改造x米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得： 2，解方程并检验可得答案．

【解答】解：设施工队原计划每天改造x米，根据题意得： 2，解得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，答：施工队原计划每天改造6米．

【难度】3

22．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD＝PE，延长PD交BA的延长线于点F．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若DF＝4，PE ，cos∠PFC ，求BE的长．

【答案】（1）见解析；（2） ．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，∠PDE＝∠PED，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；

（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED，∵PC⊥AB，∴∠BCE＝90°，∴∠OBC+∠BEC＝90°，∵∠PED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠PDE，∴∠PDE+∠BCO＝90°，∴∠PDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵PD＝PE ，∴PF＝PD+FD ，在Rt△PFC中，∵cos∠PFC ，∴CF＝6，在Rt△ODF中，∵cos∠PFC ，∴OF＝5，∴OC＝CF﹣OF＝1，OD ，∴OB＝OD＝3，∴BC＝OB﹣OC＝2，∵PC ，∴CE＝PC﹣PE＝1，∴BE ．

【难度】5

五、解答题（本题12分）

23．（12分）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2nmile．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，设BD＝x nmile，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝31°，∠CBD＝61°，设BD＝x nmile，∴AD＝BD•tan31°，CD＝BD•tan61°，∵AC＝10nmile，∴x•tan31°+x•tan61°＝x（0.60+1.80）＝10，∴x＝BD≈4.2nmile，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2nmile．

【难度】3

六、解答题（本题12分）

24．（12分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？

（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

【答案】解：（1）根据题意设y＝kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则 ，解得： ，则y与x的函数关系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），（2）∵定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，由（1）知销售量为y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），则（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，解得：x₁＝22（舍去），x₂＝6，∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；（3）设利润为W元，根据题意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200），即W＝﹣50x²+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）²+5000，∵a＝﹣50＜0，对称轴为x＝14，∴当x＜14时，W随x的增大而增大，又∵4≤x≤7，∴x＝7时，W_最大值＝﹣50（7﹣14）²+5000＝2550（元），∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．

【分析】（1）根据题意设y＝kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则 ，求得k、b即可；

（2）定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，销售量为y kg，则（x﹣4）y＝1800即（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，解方程即可；

（3）设利润为W，根据题意可得W＝（x﹣4）（﹣50x+1200）＝﹣50x²+1400x﹣4800化为顶点式即可求出合适的值．

【解答】解：（1）根据题意设y＝kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则 ，解得： ，则y与x的函数关系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），（2）∵定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，由（1）知销售量为y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），则（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，解得：x₁＝22（舍去），x₂＝6，∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；（3）设利润为W元，根据题意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200），即W＝﹣50x²+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）²+5000，∵a＝﹣50＜0，对称轴为x＝14，∴当x＜14时，W随x的增大而增大，又∵4≤x≤7，∴x＝7时，W_最大值＝﹣50（7﹣14）²+5000＝2550（元），∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．

【难度】5

七、解答题（本题12分）

25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．

（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；

（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．

【答案】（1）AG＝CE，α＝60°，理由见解答；（2）（1）的结论成立，证明见解答；（3）△APC的面积为 或2 ．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由AG＝AD﹣GD＝2 2，CE＝CD﹣DE＝2 AG，即可求解；

（2）证明△ADG≌△CDE（SAS），进而求解；

（3）证明△BDE、△DGC均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，即可求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，则tan∠AEC ，

在△APC中，用解直角三角形的方法即可求解．

【解答】（1）解：AG＝CE，α＝60°，理由：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，则AC＝ABtan30°＝2 ，则BC＝2AC＝4 ，∵点D是BC的中点，则BD＝CD＝AD＝2 ，则AG＝AD﹣GD＝2 2，CE＝CD﹣DE＝2 AG，在△ACD中，AD＝CD，∠C＝60°，则△ACD为等边三角形，则∠ADC＝60°＝α；（2）（1）的结论成立，理由：证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N， ∵∠ADG+∠GDC＝60°＝∠GDC+∠CDE，∴∠ADG＝∠CDE，∵AD＝CD，GD＝ED，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∠DCE＝∠DAN，∵∠ATD＝∠CTN，∴∠ANC＝∠ADC＝60°＝α；（3）解：当B、E、F共线时，如图，连接AD， 根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是BC的中点，分别过点G、E作BC的垂线，垂足分别为H、M，GM交CE于点P，则∠EBH＝∠HDE＝∠MDG＝∠MCG＝60°，即△BDE、△GDC均为等边三角形，则AM⊥CD，则A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，则PM 1，在等边三角形ACD中，AC＝2 ，则AM＝AC•sin60°＝3，则AP＝AM+PM＝3+1＝4，则△ACP的面积 CM•AP 2 ；当B、F重合时，也符合题意，如图： 在Rt△AEC中，AC＝2 ，AE＝AB＝BE＝6﹣2＝4，则tan∠ACE ，由（1）、（2）知，∠MPA＝∠ADC＝60°，∵tan60°＝AM：PM，故设AM x，则PM＝x，则CM x，而AC²＝AM²+CM²，即12＝3x² x²，解得：x ，则△APC的面积 AM•PC x×（x x） ；综上，△APC的面积为 或2 ．

【难度】5

八、解答题（本题14分）

26．（14分）抛物线y＝ax²+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是m（﹣4＜m＜2），过点D作直线DE⊥x轴，垂足为点E，交直线AC于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF的长；

（3）若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1：2时，请直接写出点P的横坐标．

【答案】（1）y x²+x﹣4；（2）DF＝2.5或2；（3）x＝﹣5或1± 或 ．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）当点E在OA之间时，存在点F是DE的中点，由中点坐标公式即可求解；当点E在OB之间时，同理可解；

（3）当点P在对称轴的左侧时，得到CMPN是矩形邻边之比为1：2，即CM：PM＝2：1或1：2，即可求解；当点P在对称轴右侧时，同理可解．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x₁）（x﹣x₂）＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x²+2x﹣8），即﹣8a＝﹣4，则a ，故抛物线的表达式为：y x²+x﹣4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣4，由题意得，点E（m，0），点F（m，﹣m﹣4），则点D（m， m²+m﹣4），则DF＝|﹣m﹣4 m²﹣m+4|＝| m²+2m|，当点E在OA之间时，存在点F是DE的中点，则﹣m﹣4 （0 m²+m﹣4），解得：m＝﹣4（舍去）或﹣2，则DF＝| m²+2m|＝2；当点E在OB之间时，同理可得： m²+m﹣4 （0﹣m﹣4），解得：m＝﹣4（舍去）或1，则DF＝| m²+2m| ，综上，DF＝2.5或2；（3）设点P（x， x²+x﹣4），点M（﹣1，m），当四边形CMPN是矩形时，则∠PMN为直角，当点P在对称轴的左侧时，如下左侧图， 过点M作y轴的垂线交y轴于点G，交过点P和y轴的平行线于点H，∵∠PMN为直角，则∠HMP+∠GMC＝90°，∵∠HPM+∠HMP＝90°，∴∠MGC＝∠HMP，∴△CGM∽△MHP，∵CMPN是矩形邻边之比为1：2，即CM：PM＝2：1或1：2，即△CGM和△MHP的相似比为2：1或1：2，即 ，由题意得：MG＝1，CG＝m+4，MH＝﹣1﹣x，PH＝m﹣（ x²+x﹣4），即 2或 ，解得：x＝﹣1（舍去）或﹣5；当点P在对称轴右侧时，同理可得： 2或 ，解得：x＝1± 或 ，综上，x＝﹣5或1± 或 ．

【难度】5