绝密·启用前

2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.2的绝对值是（　　）
A．
B．
C．
D．2

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

3.如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

4.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：

成绩/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80
人数/名	1	3	2	3	1

则这10名运动员成绩的中位数是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.如图，直线 被射线 所截， ，若 °，则 的度数为（　　）
   
A．
B．
C．
D．

7.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多

8.某校八年级学生去距离学校 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的 倍，求慢车的速度，设慢车的速度是 ，所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

9.如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，则 的长为（　　）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，以 的速度沿射线 匀速运动，到点 停止运动，同时动点 从点 出发，以 的速度沿射线 匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止运动．在 的右侧以 为边作菱形 ，点 在射线 ．设点 的运动时间为 ，菱形 与 的重叠部分的面积为 ，则能大致反映 与 之间函数关系的图象是（　　）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

评卷人 得分

二、填空题

11.截止到2023年4月底，我国 网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区， 移动电话用户达到 户，将数据 用科学记数法表示为___________．

12.分解因式： __．

13.如图，等边三角形 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往 内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．
   

14.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____.

15.如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别是 ，若四边形 与四边形 关于原点 位似，且四边形 的面积是四边形 面积的4倍，则第一象限内点 的坐标为___________．
   

16.如图，矩形 的边 平行于 轴，反比例函数 的图象经过点 ，对角线 的延长线经过原点 ，且 ，若矩形 的面积是8，则 的值为___________．
   

17.如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的动点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为___________．
   

18.如图，线段 ，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，在 的上方作 ，使 ，点 为 的中点，连接 ，当 最小时， 的面积为___________．
   

评卷人 得分

三、解答题

19.先化简，再求值： ，其中 ．

20.6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级： （优秀）； （良好）； （中）； （合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
   
(1)本次抽样调查的学生共有___________名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．

21.某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？

22.暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶 高的山峰，由山底A处先步行 到达 处，再由 处乘坐登山缆车到达山顶 处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡 的坡角为 ，缆车行驶路线 与水平面的夹角为 （换乘登山缆车的时间忽略不计）
   
(1)求登山缆车上升的高度 ；
(2)若步行速度为 ，登山缆车的速度为 ，求从山底A处到达山顶 处大约需要多少分钟（结果精确到 ）
（参考数据： ）

23.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量 （台）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：

销售单价 （元）	…	50	60	70	…
月销量 （台）	…	90	80	70	…

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？

24.如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 ．
   
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．

25.在 中， ， ，点 为 的中点，点 在直线 上（不与点 重合），连接 ，线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，过点 作直线 ，过点 作 ，垂足为点 ，直线 交直线 于点 ．

(1)如图，当点 与点 重合时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
(2)如图，当点 在线段 上时，求证： ；
(3)连接 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写出 的值．

26.如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，点 在抛物线上．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在第一象限内，过点 作 轴，交 于点 ，作 轴，交抛物线于点 ，点 在点 的左侧，以线段 为邻边作矩形 ，当矩形 的周长为11时，求线段 的长；
(3)点 在直线 上，点 在平面内，当四边形 是正方形时，请直接写出点 的坐标．

参考答案

1.D

【解析】
根据绝对值的意义即可求解．
解：2的绝对值是是2，
故选：D．

2.A

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．

3.C

【解析】
根据俯视图定义直接判断即可得到答案．
解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，
故选：C．

4.B

【解析】
按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可．
解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：B．

5.C

【解析】
按照求中位数的方法进行即可．
解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是 ， ，则中位数为：
故选：C．

6.C

【解析】
由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
   

7.D

【解析】
根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可．
解：A、适合抽样调查，故不符合题意；
B、适合抽样调查，故不符合题意；
C、适合抽样调查，故不符合题意；
D、适合全面调查，故符合题意；
故选：D．

8.B

【解析】
设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
解：设慢车的速度是 ，则快车的速度为 ，
依题意得 ，
故选：B．

9.D

【解析】
过点D作 于M，由勾股定理可求得 ，由题意可证明 ，则可得 ，从而有 ，在 中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
解：过点D作 于M，如图，
由勾股定理可求得 ，
由题中作图知， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 的长为为 ；
故选：D．
      

10.A

【解析】
先证明菱形 是边长为x，一个角为 的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
解：作 于点D，作 于点E，
   
由题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点M运动到直线 上时，
   
此时， 是等边三角形，
∴ ， ；
当点Q、N运动到与点 重合时，
   
∴ ， ；
当点P运动到与点 重合时，
∴ ， ；
∴当 时， ，
当 时，如图，作 于点G，交 于点R，
   
则 ， ， ，
∴ ，
当 时，如图，作 于点I，
   
则 ， ，
∴ ，
综上， 与 之间函数关系的图象分为三段，当 时，是开口向上的一段抛物线，当 时，是开口向下的一段抛物线，当 时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．

11.

【解析】
科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，根据此形式表示即可．
解： ；
故答案为：

12.

【解析】
先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解： ，
，
．
故答案为： ．

13.

【解析】
根据概率的计算方法即可求解．
解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为 ；
故答案为： ．

14.k＜-

【解析】
根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k的一元一次不等式进行求解即可.
根据题意得，
，
解得：k＜- ，
故答案为：k＜- .

15.

【解析】
根据位似图形的概念得到四边形 和四边形 相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
解：∵四边形 的面积是四边形 面积的4倍，
∴四边形 和四边形 的相似比为 ，
∵ ，
∴第一象限内点 ，即 ，
故答案为： ．

16.6

【解析】
延长 交x轴于点F，设 ，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值．
解：延长 交x轴于点F，如图，
由点D在反比例函数 的图象上，则设 ，
∵矩形 的边 平行于 轴， ， ，
∴ 轴， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故答案为：6．
   

17. 或

【解析】
分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
解：由折叠的性质得： ；
∵ ，
∴ ；
①当 在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
   
②当 在 上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
   
综上， 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ．

18.

【解析】
连接 ， 交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得 垂直平分 ， 为定角，可得点F在射线 上运动，当 时， 最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
解：连接 ， 交于点P，如图，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴点F在射线 上运动，
∴当 时， 最小，
此时 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ；
   
故答案为： ．

19. ，5．

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将 的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：


，
当 时，原式 ．

20.(1)60
(2)见解析
(3)估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
(4)所选2人恰好是一男一女的概率为 ．

【解析】
（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
（1）解： （名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
（2）解：C组人数为： （名），
补全条形图如图所示：
    ；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有： （名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
   
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：

21.(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
(2)至少购进A种礼品盒15盒．

【解析】
（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒 盒，根据题意列不等式即可得到结论．
（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒 盒，
根据题意得： ，
解得： ，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．

22.(1)登山缆车上升的高度 ；
(2)从山底A处到达山顶 处大约需要 .

【解析】
（1）过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩形，在 中，利用含30度的直角三角形的性质求得 的长，据此求解即可；
（2）在 中，求得 的长，再计算得出答案．
（1）解：如图，过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩形，

在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
答：登山缆车上升的高度 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
∴从山底A处到达山顶 处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶 处大约需要 .

23.(1)
(2)护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元

【解析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润．
（1）解：由题意设 ，
由表知，当 时， ；当 时， ；
以上值代入函数解析式中得： ，
解得： ，
所以y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：设销售利润为W元，
则 ，
整理得： ，
由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则 ，
∵ ， ，
∴当 时，W随x的增大而增大，
∴当 时，W有最大值，且最大值为2400；
答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．

24.(1)见解析
(2) ．

【解析】
（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证明 ，推出 ，即可证明结论成立；
（2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在 中，解直角三角形即可求解．
（1）证明：连接 ，
   
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 半径，
∴EF与 相切；
（2）解：设 半径为x，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
∴ 半径为4，则 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．

25.(1) ．
(2)见解析．
(3) 或 ．

【解析】
（1）可先证 ，得到 ，根据锐角三角函数，可得到 和 的数量关系，进而得到线段 与线段 的数量关系．
（2）可先证 ，得到 ，进而得到 ，问题即可得证．
（3）分两种情况：①点D在线段 上，过点 作 垂直于 ，交 于点 ，过点 作 垂直于 ，交 于点 ，设 ，利用勾股定理，可用含 的代数式表示 ，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段 的延长线上，过点 作 垂直于 ，交 延长线于点 ,令 交 于点 ,连接 ,设 ，可证 ，进一步证得 是等腰直角三角形， ，利用勾股定理，可用含 的代数式表示 ，根据三角形面积公式，即可得到答案
（1）解： ．
理由如下：
如图，连接 ．

根据图形旋转的性质可知 ．
由题意可知， 为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形 斜边 上的中线，
， ．
又 ，
．
在 和 中，

．
， ．
．
．
．
（2）解： 为等腰直角三角形 斜边 上的中线，
．
，
．
， ，
．
， ．
， ．
在 和 中，

．
．
．
（3）解：当点D在线段 延长线上时，不满足条件 ，故分两种情况：
①点D在线段 上，如图，过点 作 垂直于 ，交 于点 ；过点 作 垂直于 ，交 于点 ．

设 ，则 ．
根据题意可知，四边形 和 为矩形， 为等腰直角三角形．
， ．
由（2）证明可知 ，
．
．
．
根据勾股定理可知
，
的面积 与 的面积 之比

②点D在线段 的延长线上，过点 作 垂直于 ，交 延长线于点 ,令 交 于点 ,连接 ,由题意知，四边形 ， 是矩形，

∵
∴
即
又∵ ，
∴
∴
而
∴

∴ 是等腰直角三角形，
设 ，则 ，
∴
中，
的面积 与 的面积 之比

26.(1)抛物线的解析式为 ；
(2) ；
(3)点 的坐标为 或 ．

【解析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，利用对称性质求得 ，推出 ， ，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线 的解析式为 ，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明 ，推出 ， ，设 ，则 ，由点M在直线 上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解．
（1）解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 和 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，且 ，则 ，
∴ ，
∵解析式的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
依题意得 ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ；
（3）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
同理，直线 的解析式为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
       
， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，
则 ，
∵点M在直线 上，
∴ ，
解得 或 ，
当 时， ， ，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形 是正方形，此时 ；
当 时， ， ，
点O向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴ ，即 ．
综上，点 的坐标为 或 ．