绝密★启用前
202025-2023年辽宁省鞍山市中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．
D．
2．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：
得分/分 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
人数 |
1 |
3 |
4 |
14 |
8 |
则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）
A．8，3 B．8，2 C．3，3 D．3，2
5．甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，直线
，将含有
角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若
，那么
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，
为
的两条弦，D，G分别为
的中点，
的半径为2．若
，则
的长为（ ）
A．2 B．
C．
D．
8．如图，在矩形
中，对角线
交于点O，
，
，垂直于
的直线
从
出发，沿
方向以每秒
个单位长度的速度平移，当直线
与
重合时停止运动，运动过程中
分别交矩形的对角线
于点E，F，以
为边在
左侧作正方形
，设正方形
与
重叠部分的面积为S，直线
的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次．将数据274000000用科学记数法可表示为 ．
10．因式分解：
.
11．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
12．若关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
，
分别在
轴、
轴正半轴上，点
在
边上，将矩形
沿
折叠，点
恰好落在边
上的点
处．若
，
，则点
的坐标是 ．
14．如图，在
中，在
，
上分别截取
，
，使
，分别以
，
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点
，作射线
，交
于点
，过点
作
，垂足为点
.若
，
，
，则
的长为 ．
15．如图，在
中，
，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数
的图象交AC于点E，过点E作
轴，垂足为点F．若点E为
的中点，
，
，则k的值为 ．
16．如图，在正方形
中，点M为
边上一点，连接
，将
绕点A顺时针旋转
得到
，在
,
上分别截取
,
，使
，连接
，交对角线
于点
，连接
并延长交
于点H．若
，
，则
的长为 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：
，其中
．
18．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
19．在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时．某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动．评比结果共分为四项：
．非凡创意；B．魅力色彩；C．最美设计；D．无限潜力．参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项．活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生．
(2)请补全条形统计图．
(3)本次评比活动中，全校有
名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“
．非凡创意”奖的学生人数．
20．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ．
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
21．某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面
垂直于地面
，遮阳棚与墙面连接处点
距地面高
，即
，遮阳棚
与窗户所在墙面
垂直，即
．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为
(若经过点A的光线恰好照射在地面点
处，则
)，为使正午时窗前地面上能有
宽的阴影区域，即
，求遮阳棚的宽度
．(结果精确到
．参考数据：
)
22．如图，直线
与反比例函数
的图象交于点
，
，过点A作
轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使
，连接
，
．若
的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第一象限内直线
上一点，且
的面积等于
面积的2倍，求点P的坐标．
23．如图，四边形
内接于
，
为
的直径，过点D作
，交
的延长线于点F，交
的延长线于点E，连接
．若
．
(1)求证：
为
的切线；
(2)若
，
，求
的半径．
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求
与
的函数解析式；
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
25．如图，在
中，
，
，点D是射线
上的动点（不与点B，C重合），连接
，过点D在
左侧作
，使
，连接
，点F，G分别是
，
的中点，连接
，
，
．
(1)如图1，点D在线段
上，且点D不是
的中点，当
，
时，
与
的位置关系是
，
;
(2)如图2，点D在线段
上，当
，
时，求证：
．
(3)当
，
时，直线
与直线
交于点N．若
，
，请直接写出线段
的长．
26．如图1，抛物线
经过点
，与y轴交于点
，点E为第一象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线
与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线
轴，交
于点F，连接
．当
时，求点E的横坐标；
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，
与
交于点M．若
，
，求点E的坐标．
参考答案
一、单选题
1. A
解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023，
故选：A．
2. D
几何体的左视图，如图.故选D．
3. C
A、
，选项计算错误，不符合题意；B、
，选项计算错误，不符合题意；C、
，选项计算正确，符合题意；D、
，选项计算错误，不符合题意.故选C．
4. C
得分为3分的人有14个，次数最多，∴众数为3；将数据排序后，第15个和第16个数据均为3，∴中位数为3.故选C．
5. A
设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输
kg货物，由题意，得
.故选A．
6. B
图中是含有
角的直角三角尺，
.
，
，
.故选B．
7. D
如图，连接
，
∵
的半径为2，
，
∴
，
∴
,
∵D，G分别为
的中点，∴
为
的中位线，
∴
,故选D．
8. B
当
在
点左侧，即
时，
①当正方形
的边
在
的外部时，重叠部分为矩形，如图1，
图1
设
分别交
于点
，
∵垂直于
的直线
从
出发，沿
方向以每秒
个单位长度的速度平移，
∴
,
∵在矩形
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形
的边
在
的内部时，与
重叠部分即为正方形
，如图2，
由①可知
，∴
，图象是一段开口向上的抛物线；当
过点
，即
时，
重合，此时
，
综上：满足题意的只有B选项,故选B．
二、填空题
9.
，故答案为
．
10.
.
11.
设红球有
个，则
，解得
，
答：红球约有
个．故答案为
．
12.
＞
∵
有两个不相等的实数根，
∴
，解得
，
故答案为
．
13.
∵四边形
是矩形，∴
.∵将矩形
沿
折叠，点
恰好落在边
上的点
处，∴
，
.在
中，
，∴
，∴设
，则
，∴
.在
中，
，∴
，解得
，∴
，∴
的坐标为
.故答案为
．
14.
由题中作图可知
平分
，∴
，∵
，
，∴
，∴
，∴
.∵
，∴
，∴
.∵
，
，∴
，∴
，∴
.故答案为
．
15. 4
如图，过点A作
轴于点
，
轴，
，
，
,
是
的中点，
，
,
，
，即
，同理可得
.
，
，
.设
，则
，
，
,
都在反比例函数上，
，解得
，
.在
中，
，
，
.故答案为4．
16.
/
由题意可得，
≌
，
，
.
，
,
是等腰直角三角形，
.连接
，
,
≌
，
，连接
，
，
，
≌
，
，
.又
，
，
≌
，
.连接
,
，
，
，
≌
，
.设
，
，
，
，
，
，
.
，
，得
，
，解得
（舍），
，
，
，
.又
∽
，
，
.故答案是
．
三、解答题
17.
，
.
,
当
时，原式
.
18. 证明见解析.
∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，，，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF,
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
19.
(1)
(2)见解析(3)
人
（1）
(名)，故答案为
.
（2）样本中获得“B．魅力色彩”的人数为
(名)，
补全条形统计图如下：
（3）
(人)．
答：全校有
名学生中获得“A．非凡创意”奖的学生大约有
人．
【点睛】该题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．
20.
(1)
(2)
（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是
.
故答案为
.
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为
．
21.
遮阳棚的宽度
约为
如图，过点
作
，垂足为
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
遮阳棚的宽度
约为
22.
(1)
(2)
（1）∵
，
的面积是6，
∴
，∴
，
∵图象在第二象限，∴
，
∴反比例函数的解析式为
；
（2）∵点
，
在
的图象上，
∴
，
，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
由题意得
，，
解得
，，
∴直线
的解析式为
，
∵
轴交x轴于点C，∴
，
∴
，
设直线
上在第一象限的点
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
．
23.
(1)见解析(2)
的半径为
（1）证明：如图1，连接
，
图1
∵
，
，
∴
，
∵
为
的直径，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
又
为
的半径，
∴
为
的切线；
（2）如图2，连接
，则
，
图2
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
设
的半径为
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
的半径为
．
24.
(1)
(2)当销售单价定为
元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为
元
（1）设
与
的函数解析式为
，
∵该函数图象经过点
和点
，
∴ ，，
解得
，，
∴
与
的函数解析式为
；
（2）设销售销这种荔枝日获利
元，
根据题意，得，
，
，对称轴为直线
，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵销售价格不高于18元/kg，
当
时，
有最大值为
元，
当销售单价定为
时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为
元．
25.
(1)垂直，
(2)见解析(3)
或
（1）如图1，连接
并延长交
于
，
图1
∵
，
∴
，
同理
，
∴
，
∴
四点共圆，
∴
,
∵
，
∴
，
∴
与
垂直,
∵
是
的中点，
∴
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
,
又
，
，
∴ ≌
，
∴
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∴
，
∴
,
故答案为垂直，
;
（2）如图2，作
于
，作
，交
的延长线于点
，连接
，
图2
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
.
∵
，
∴
，
∴
四点共圆，
∴
.
∵
是
的中点，
∴
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是梯形
的中位线，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
,
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
;
（3）①当点
在
上时，作
于
，作
，交
的延长线于点
，作
，交
的延长线与点
，如图3，
由（2）知
为等边三角形，
，
∴
，
，
∴
，
,
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
;
②当点D在
的延长线上时，作
于
，作
于点
，作
，交
的延长线于点
，如图4，
图4,
同①可知
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
,
在
中，
，
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
,
综上
或
．
26.
(1)
(2)
(3)
或
（1）把
，
和
，
代入到解析式中可得
，，
解得
，，
故抛物线的解析式为
；
（2）直线
中，令
，可得
，
，
直线
中，令
，可得
，
，
分别过
，
向
轴作垂线，垂足为
，
，如图1，
根据题意可得
，
轴，
轴，
和
为直角三角形，
在
和
中，
，，
≌
，
，
设
，则
，
，
，
从而
，
，
则有
，解得
（舍去），或
，
故点
的横坐标为
；
（3）将
平移到
，连接
，则四边形
为平行四边形，
，过
作
于
，过
作
轴于
，过
作
交延长线于S，延长
交
轴于
，如图2，
图2
，
可设
，则
，
，
，
设
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则
，
，
，
，
代入抛物线的解析式得
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
．