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2023年江苏省无锡市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.实数9的算术平方根是（       ）
A．3
B．
C．
D．

2.函数y＝ 中自变量x的取值范围是（       ）
A．x＞2
B．x≥2
C．x≠2
D．x＜2

3.下列4组数中，不是二元一次方程 的解是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.将函数 的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图， 中， ，将 逆时针旋转 得到 ， 交 于F．当 时，点D恰好落在 上，此时 等于（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（       ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9.如图，在四边形 中， ， ， ，若线段 在边 上运动，且 ，则 的最小值是（       ）
   
A．
B．
C．
D．10

10.如图 中， ， 为 中点，若点 为直线 下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， 与 相交于 ，则点 不一定是 的重心；②若 ，则 的最大值为 ；③若 ，则 的长为 ；④若 ，则当 时， 取得最大值．其中正确的为（       ）
   
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④

评卷人 得分

二、填空题

11.分解因式： __________．

12.废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水 ．数据 用科学记数法可表示__________．

13.方程 的解是： __________．

14.若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为 的正方形，则该直三棱柱的表面积为__________．

15.请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点 ：__________．

16.《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．

17.已知曲线 分别是函数 的图像，边长为 的正 的顶点 在 轴正半轴上，顶点 、 在 轴上（ 在 的左侧），现将 绕原点 顺时针旋转，当点 在曲线 上时，点 恰好在曲线 上，则 的值为__________．

18.二次函数 的图像与x轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，过点 的直线将 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 的值为__________．

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算：             
（2）化简：

20.（1）解方程：           
（2）解不等式组：

21.如图， 中，点D、E分别为 的中点，延长 到点F，使得 ，连接 ．求证：
   
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．

22.为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．
(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．

23.2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表

竞赛成绩x（组别）	（A）	（B）	（C）	（D）	（E）	（F）
频数	21	96	a	57	b	6

学生参加航天知识竞赛成绩统计表

年级	平均数	众数	中位数
七年级		82	81
八年级		82	82
九年级		83	80

   
(1) _________； _________%；
(2)请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．

24.如图，已知 ，点M是 上的一个定点．
   
(1)尺规作图：请在图1中作 ，使得 与射线 相切于点M，同时与 相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若 ，则所作的 的劣弧 与 所围成图形的面积是_________．

25.如图， 是 的直径， 与 相交于点 ．过点 的圆O的切线 ，交 的延长线于点 ， ．
   
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的半径．

26.某景区旅游商店以 元 的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于 元 ，不高于 元 ，经市场调查发现每天的销售量 与销售价格 （元 ）之间的函数关系如图所示．
   
(1)求 关于 的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？(销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量)

27.如图，四边形 是边长为 的菱形， ，点 为 的中点， 为线段 上的动点，现将四边形 沿 翻折得到四边形 ．
   
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当点 在线段 上移动时，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的函数表达式．

28.已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 和点 ．
(1)请直接写出 ， 的值；
(2)直线 交 轴于点 ，点 是二次函数 图像上位于直线 下方的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．
①求 的最大值；
②若 中有一个内角是 的两倍，求点 的横坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据算术平方根的定义即可求出结果．
解： ，
故选：A．

2.C

【解析】
令分母不等于0求解即可．
由题意得
x-2≠0，
∴x≠2．
故选C．

3.D

【解析】
将选项中的 的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
解：A、当 时， ，则 是二元一次方程 的解，不合题意；       
B、当 时， ，则 是二元一次方程 的解       ，不合题意；
C、 当 时， ，则 是二元一次方程 的解，不合题意；
D、当 时， ，则 不是二元一次方程 的解，符合题意；
故选：D．

4.D

【解析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；       
B. 与 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；       
C. ，故该选项不正确，不符合题意；       
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．

5.A

【解析】
根据题目条件函数 的图像向下平移2个单位长度，则 的值减少2，代入方程中即可．
解：∵函数 的图像向下平移2个单位长度，
∴ ，
故答案为：A．

6.A

【解析】
根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
解：由题意得： ．
故选：A．

7.B

【解析】
根据旋转可得 ，再结合旋转角 即可求解．
解：由旋转性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．

8.C

【解析】
根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．
解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.
故选：C．

9.B

【解析】
过点C作 ，过点B作 ，需使 最小，显然要使得 和 越小越好，则点F在线段 的之间，设 ，则 ，求得 关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
解：过点C作 ，
   
∵ ， ，
∴ ，
过点B作 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
需使 最小，显然要使得 和 越小越好，
∴显然点F在线段 的之间，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时取得最小值为 ．
故选：B．

10.A

【解析】
①有3种情况，分别画出图形，得出 的重心，即可求解；当 ， 时， 取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得 的长，即可求解；③如图5，若 ， ，根据相似三角形的性质求得 ， ， ，进而求得 ，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出 ，在 中， ，根据二次函数的性质，即可求 取得最大值时， ．
①有3种情况，如图 ， 和 都是中线，点 是重心；
如图 ，四边形 是平行四边形， 是 中点，点 是重心；
如图 ，点 不是 中点，所以点 不是重心；
①正确
   
②当 ，如图 时 最大， ，
， ， ，
，
，
②错误；
   
③如图5，若 ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴③错误；
④如图6， ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 最大为5，
∴④正确．
故选：C．

11. ##

【解析】
利用完全平方公式进行因式分解即可．
解： ；
故答案为： ．

12.

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： ．
故答案为： ．

13.

【解析】
首先方程两边乘以最简公分母 去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把 的系数化为1，最后一定要检验．
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
检验：把 代入最简公分母中： ，
∴原分式方程的解为： ，
故答案为：

14. ##

【解析】
根据题意得出正三角形的边长为 ，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．
解：∵侧面展开图是边长为 的正方形，
∴底面周长为 ，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作 ，
是等边三角形， ，
，
在直角 中，
，
；
   
∴该直三棱柱的表面积为 ，
故答案为： ．

15. （答案不唯一）

【解析】
根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．
解：设 ，则 ，
∵它的图象经过点 ，
∴代入得： ，
解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）．

16.8

【解析】
设门高 尺，则竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，根据勾股定理即可求解．
解：设门高 尺，依题意，竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．

17.6

【解析】
画出变换后的图像即可（画 即可），当点 在 轴上，点 、 在 轴上时，根据 为等边三角形且 ，可得 ，过点 、 分别作 轴垂线构造相似，则 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而根据反比例函数 的几何意义，即可求解．
当点 在 轴上，点 、 在 轴上时，连接 ，
为等边三角形且 ，则 ，
，
如图所示，过点 分别作 轴的垂线，交 轴分别于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
．
   

18. 或 或

【解析】
先求得 ， ， ，直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线 过 中点，②如图2，直线 过 中点，直线 解析式为 ， 中点坐标为 ，待入直线求得 ；③如图3，直线 过 中点， 中点坐标为 ，直线 与 轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，因为平分面积，所以相似比为 ．④如图4，直线 ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线 ，⑥如图6，直线 ，同理可得 ，进而根据 ，即可求解．
解：由 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
∴ ， ， ，
设直线 解析式为 ，
∴
解得：
∴直线 解析式为 ，当 时， ，则直线 与y轴交于 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 必在 内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线 的解析式为
∴
解得：
则直线 的解析式为
①如图1，直线 过 中点，，
中点坐标为 ，代入直线求得 ，不成立；
   
②如图2，直线 过 中点，直线 解析式为 ， 中点坐标为 ，待入直线求得 ；
③如图3，直线 过 中点， 中点坐标为 ，
直线 与 轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，因为平分面积，所以相似比为 ．
④如图4，直线 ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ；
   
⑤如图5，直线 ， ，则
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴不成立；
⑥如图6，直线 ，同理可得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，解得 ；
综上所述， 或 或 ．

19.（1） ；（2）

【解析】
（1）根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
解：（1）

；
（2）

．

20.（1） ， ；（2）

【解析】
（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
∴
解得： ， ；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：

21.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）根据三角形的中位线定理得到 ， ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
（1）证明：∵点D、E分别为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ；
（2）证明：由（1）证得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解.
（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，
∴每张卡片抽到的概率都是 ，
设小明恰好抽到景区A门票为事件 ，则 ,
故答案为： ；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
   
∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为 ；

23.(1)90；10
(2)七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大

【解析】
（1）先求出总人数，再根据C所占的百分比求出a，再由所有频率之和为1，求出“E”所占的百分比，进而确定m的值；
（2）比较中位数、众数、平均数的大小得出答案．
（1）解：∵抽取的总人数为 （人），
∴C组的人数为 （人），
；
故答案为：90，10；
（2）解：七年级的平均分最高；
八年级的中位数最大；
九年级的众数最大．（答案不唯一）．

24.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）先作 的平分线 ，再过M点作 的垂线交 于点O，接着过O点作 于N点，然后以O点为圆心， 为半径作圆，则 满足条件；
（2）先利用切线的性质得到 ， ，根据切线长定理得到 ，则 ，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出 ，然后根据扇形的面积公式，利用 的劣弧 与 所围成图形的面积 进行计算．
（1）解：如图， 为所作；
   ；
（2）解：∵ 和 为 的切线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的劣弧 与 所围成图形的面积


．
故答案为： ．

25.(1)
(2)

【解析】
（1）连接 ，根据 为 的切线，则 ，由 ，则 ，根据圆周角定理可得 ，又 ，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
（1）如图，连接 ．
   
为 的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）如图，连接 ，
， ，
．
，
，且 ，
，
，即 ，
，
，即半径为 ．

26.(1)
(2)销售价格为 元 时，利润最大为

【解析】
（1）分 时，当 时，分别待定系数法求解析式即可求解；
（2）设利润为 ，根据题意当 时，得出 ，当 时， ，
进而根据分 时，当 时，分别求得最大值，即可求解．
（1）当 时，设 关于 的函数表达式为 ，将点 代入得，
∴
解得：
∴ ，
当 时，设 关于 的函数表达式为 ，将点 代入得，

解得：
∴ ，

（2）设利润为
当 时，
∵在 范围内， 随着 的增大而增大，
当 时， 取得最大值为 ；
当 时，
∴当 时，w取得最大值为
，
当销售价格为 元 时，利润最大为 ．

27.(1)
(2)

【解析】
（1）连接 、 ，根据菱形的性质以及已知条件可得 为等边三角形，根据 ，可得 为等腰直角三角形，则 ， ，根据翻折的性质，可得 ， ，则 ， ；同理 ， ， ；进而根据 ，即可求解；
（2）等积法求得 ，则 ，根据三角形的面积公式可得 ，证明 ，根据相似三角形的性质，得出 ，根据 即可求解．
（1）如图，连接 、 ，

四边形 为菱形，
， ，
为等边三角形．
为 中点，
， ，
， ．
，
为等腰直角三角形，
， ，
翻折，
， ，
， ；.
同理 ，
， ，
∴ ；
（2）如图 ，连接 、 ，延长 交 于点 ．

， ， ，
．
∵
，
，
．
，则 ，
，
，
．
∵ ，
．

28.(1) ，
(2)① ；②2或

【解析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①过点 作 轴平行线分别交 、 于 、 ．令 ，求得 ，勾股定理求得 ，得出 ，则 ，进而可得 ，求得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，进而表示出 ，最后根据二次函数的性质即可求解．
②根据已知 ，令 ， ，在 上取点 ，使得 ，得出 ，然后根据 ，设 ， ．进而分两种情况讨论，ⅰ当 时， ，则相似比为 ，得出 代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当 时， ，同理可得 ，代入抛物线解析式即可求解．
（1）∵二次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 和点
∴
解得：
∴ ， ， ；
（2）①如图1，过点 作 轴平行线分别交 、 于 、 ．

∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵
设直线 的解析式为
∴
解得：
直线 解析式为 ．
设 ，
，
，
当 时， 取得最大值为 ，
的最大值为 ．
②如图2，已知 ，令 ，则 ，

在 上取点 ，使得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，即 ．
如图3构造 ，且 轴，相似比为 ，

又∵ ，
设 ，则 ．
分类讨论：ⅰ当 时，则 ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ ， ，
∴ ，
代入抛物线求得 ， （舍）．
∴ 点横坐标为 ．
ⅱ当 时，则 ，
∴相似比为 ，
∴ ， ，
∴ ，
代入抛物线求得 ， （舍）．
∴ 点横坐标为 ．
综上所示，点 的横坐标为2或 ．