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2023年湖北省黄冈市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列几何体中，三视图都是圆的是（       ）
A．长方体
B．图柱
C．圆锥
D．球

4.不等式 的解集为（       ）
A．
B．
C．
D．无解

5.如图， 的直角顶点A在直线a上，斜边 在直线b上，若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.如图，在 中，直径 与弦 相交于点P，连接 ，若 ， ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

7.如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点C作 的垂线分别交 于点M，N，则 的长为（       ）
   
A．
B．
C．
D．4

8.已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，下列论中：① ；②若点 均在该二次函数图象上，则 ；③若m为任意实数，则 ；④方程 的两实数根为 ，且 ，则 ．正确结论的序号为（       ）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①④

评卷人 得分

二、填空题

9.计算； _____________．

10.请写出一个正整数m的值使得 是整数； _____________．

11.若正n边形的一个外角为 ，则 _____________．

12.已知一元二次方程 的两个实数根为 ，若 ，则实数 _____________．

13.眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是_____________．

视力	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	50
人数	1	2	6	3	3	4	1	2	5	7	5

14.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 ，尚美楼顶部F的俯角为 ，已知博雅楼高度 为15米，则尚美楼高度 为_____________米．（结果保留根号）
   

15.如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 ， ，连接 ，若 与 的面积相等，则 ___________．
   

16.如图，已知点 ，点B在y轴正半轴上，将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，若点C的坐标为 ，则 ___________．
   

评卷人 得分

三、解答题

17.化简： ．

18.创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？

19.打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
   
根据图中信息，请回答下列问题；
(1)条形图中的 ________， ________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

20.如图， 中，以 为直径的 交 于点 ， 是 的切线，且 ，垂足为 ，延长 交 于点 ．
   
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．

21.如图，一次函数 与函数为 的图象交于 两点．
   
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数 的图象于点Q，若 面积为3，求点P的坐标．

22.加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系如图所示，其中 ；乙种蔬菜的种植成本为50元/ ．
   
(1)当 ___________ 时， 元/ ；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 ，当a为何值时，2025年的总种植成本为 元？

23.(问题呈现)
和 都是直角三角形， ，连接 ， ，探究 ， 的位置关系．
   
(1)如图1，当 时，直接写出 ， 的位置关系：____________；
(2)如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
(拓展应用)
(3)当 时，将 绕点C旋转，使 三点恰好在同一直线上，求 的长．

24.已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，点P为第一象限抛物线上的点，连接 ．
             
(1)直接写出结果； _____， _____，点A的坐标为_____， ______；
(2)如图1，当 时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上， ，点Q为抛物线上一点， ，点E，F分别为 的边 上的动点， ，记 的最小值为m．
①求m的值；
②设 的面积为S，若 ，请直接写出k的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解： 的相反数是 ，
故选：B．

2.A

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解： ．
故选：A．

3.D

【解析】
根据几何体的三视图进行判断即可．
解：在长方体、图柱、圆锥、球四个几何体中，三视图都是圆的是球，
故选：D

4.C

【解析】
先求出两个不等式的解集，再求交集即可．
解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
因此该不等式组的解集为 ．
故选C．

5.C

【解析】
利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解；
，
,
又

故选择：C

6.D

【解析】
先根据圆周角定理得出 ，再由三角形外角和定理可知 ，再根据直径所对的圆周角是直角，即 ，然后利用 进而可求出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为直径，即 ，
∴ ，
故选：D．

7.A

【解析】
由作图可知 平分 ，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q，根据角平分线的性质可知 ，进而证明 ，推出 ，设 ，则 ，解 求出 ．利用三角形面积法求出 ，再证 ，根据相似三角形对应边成比例即可求出 ．
解：如图，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q，
   
矩形 中， ，
，
．
由作图过程可知， 平分 ，
四边形 是矩形，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
．
．
，
．
， ，
，
，即 ，
解得 ．
故选A．

8.B

【解析】
将 代入 ，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据 的图象与x轴的交点的位置可判断④．
解：将 代入 ，可得 ，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线 ，
点 到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线 ，
，
又 ，
，
，
当 时，y取最大值，最大值为 ，
即二次函数 的图象的顶点坐标为 ，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，
与x轴的另一个交点坐标为 ，
的图象向上平移一个单位长度，即为 的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在 的左侧，另一个在 的右侧，
若方程 的两实数根为 ，且 ，则 ，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故选B．

9.2

【解析】
的偶数次方为1，任何不等于0的数的零次幂都等于1，由此可解．
解： ，
故答案为：2．

10.8

【解析】
要使 是整数，则 要是完全平方数，据此求解即可
解：∵ 是整数，
∴ 要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即 ，即 ，
故答案为：8（答案不唯一）．

11.5

【解析】
正多边形的外角和为 ，每一个外角都相等，由此计算即可．
解：由题意知， ，
故答案为：5．

12.

【解析】
根据一元二次方程的根与系数的关系，得出 ，代入已知等式，即可求解．
解：∵一元二次方程 的两个实数根为 ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．

13.4.6

【解析】
数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数．
解：该样本中共有 个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第 个数据是 ，所以学生右眼视力的中位数为 ．

14. ##

【解析】
过点E作 于点M，过点F作 于点N，首先证明出四边形 是矩形，得到 ，然后根据等腰直角三角形的性质得到 ，进而得到 ，然后利用 角直角三角形的性质和勾股定理求出 ，即可求解．
如图所示，过点E作 于点M，过点F作 于点N，
   
由题意可得，四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵博雅楼顶部E的俯角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A是 的中点，
∴ ，
由题意可得四边形 是矩形，
∴ ，
∵尚美楼顶部F的俯角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴解得 ，
∴ ．
故答案为： ．

15.

【解析】
根据题意得出 ，即 ，解方程得出 （负值舍去）代入进行计算即可求解．
解：∵图中 ， ，
∴
∵ 与 的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得： （负值舍去）
∴ ，
故答案为：3．

16.

【解析】
在x轴上取点D和点E，使得 ，过点C作 于点F，在 中，解直角三角形可得 ， ，再证明 ，则 ， ，求得 ，在 中，得 ， ，得到 ，解方程即可求得答案．
解：在x轴上取点D和点E，使得 ，过点C作 于点F，
   
∵点C的坐标为 ，
∴ ， ，
在 中，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：

17.

【解析】
先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简．
解：

18.(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元
(2)至少需购买A型垃圾桶125个

【解析】
（1）设两种型号的单价分别为 元和 元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶 个，则购买A型垃圾桶 个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可．
（1）解：设A，B两种型号的单价分别为 元和 元，
由题意： ，
解得： ，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）设购买A型垃圾桶 个，则购买B型垃圾桶 个，
由题意： ，
解得： ，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．

19.(1)18，6，
(2)480人
(3)

【解析】
（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
（1）解：参与调查的总人数为： （人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角 ，
故答案为：18，6， ；
（2）解： （人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：
   
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为： ．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）连接 ，根据已知可得 ，则 ，又 ，等量代换得出 ，即可证明 ；
（2）连接 ，证明 ，在 中， ，求得 ，根据 得出 ，进而可得 ，根据 ，即可求解．
（1）证明：如图所示，连接 ，
   
∵以 为直径的 交 于点 ， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，
则 ，
   
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

21.(1) ，
(2)
(3)点P的坐标为 或

【解析】
（1）将 代入 可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将 和点B坐标代入 即可求出一次函数解析式；
（2）直线 在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为 ，代入一次函数解析式求出纵坐标，将 代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出 ，再根据 面积为3列方程求解即可．
（1）解：将 代入 ，可得 ，
解得 ，
反比例函数解析式为 ；
在 图象上，
，
，
将 ， 代入 ，得：
，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解： ，理由如下：
由（1）可知 ，
当 时， ，
此时直线 在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为 ，
即满足 时，x的取值范围为 ；
（3）解：设点P的横坐标为 ，
将 代入 ，可得 ，
．
将 代入 ，可得 ，
．
，
，
整理得 ，
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
点P的坐标为 或 ．

22.(1)
(2)当甲种蔬菜的种植面积为 ，乙种蔬菜的种植面积为 时，W最小；
(3)当a为 时，2025年的总种植成本为 元．

【解析】
（1）求出当 时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系式为 ，当 时， ，求出当 时的x的值即可；
（2）当 时， ，由二次函数性质得到当 时， 有最小值，最小值为 ，当 时 ，由一次函数性质得到当 时， 有最小值，最小值为 ，比较后即可得到方案；
（3）根据2025年的总种植成本为 元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
（1）解：当 时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系式为 ，把点 代入得，
，
解得 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ，解得 ，
即当 时， 元/ ；
故答案为： ；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 随着x的增大而减小，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为 ，乙种蔬菜的种植面积为 时，W最小；
（3）由题意可得 ，
解得 （不合题意，舍去），
∴当a为 时，2025年的总种植成本为 元．

23.(1)
(2)成立；理由见解析
(3) 或

【解析】
（1）根据 ，得出 ， ，证明 ，得出 ，根据 ，求出 ，即可证明结论；
（2）证明 ，得出 ，根据 ，求出 ，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段 上时，当点D在线段 上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，



，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
   
（2）解：成立；理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，



，
∴ ，
∴ ；
   
（3）解：当点E在线段 上时，连接 ，如图所示：
   
设 ，则 ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴此时 ；
当点D在线段 上时，连接 ，如图所示：
   
设 ，则 ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴此时 ；
综上分析可知， 或 ．

24.(1) ，2， ，
(2)
(3) ，

【解析】
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得 、 ，从而可得 ， ，由 ，可得 ，求得 ，在 中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作 轴，交 于点D，过点P作 轴，交y轴于点E， 由 ，即 ，再由 ，可得 ，证明 ，可得 ，设点P坐标为 ，可得 ，再进行求解即可；
（3）①作 ，且使 ，连接 ．根据 证明 ，可得 ，即Q，F，H共线时， 的值最小．作 于点G，设 ，则 ，根据 求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作 轴，交 于点T，求出 解析式，设 ， ，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
∵抛物线 与x轴交于A、 两点，
∴ 时， ，解得： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ，2， ， ；
（2）解：过点C作 轴，交 于点D，过点P作 轴，交y轴于点E，
∵ ， ， ，
∴ ，
由（1）可得， ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点P坐标为 ，则 ， ，
∴ ，解得： （舍）， ，
∴点P坐标为 ．
   
（3）解：①如图2，作 ，且使 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴Q，F，H共线时， 的值最小．作 于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
   
②如图3，作 轴，交 于点T，待定系数法可求 解析式为 ，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．