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2023年湖北省恩施州中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）

A．9
B．
C．
D．

2.下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．    
B．    
C．    
D．    

3.下列实数： ，0， ， ，其中最小的是（　　）
A．
B．0
C．
D．

4.用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　)
   
A．    
B．    
C．    
D．    

5.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：

移植的棵数a	100	300	600	1000	7000	15000
成活的棵数b	84	279	505	847	6337	13581
成活的频率	0.84	0.93	0.842	0.847	0.905	0.905

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905
B．0.90
C．0.9
D．0.8

7.将含 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 ， ，则 （　　）
   
A．
B．
C．
D．

8.分式方程 的解是（　　）
A．
B．
C．
D．

9.如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

10.如图，在 中， 分别交 于点D，E， 交 于点F， ， ，则 的长为（　　）
   
A．
B．
C．2
D．3

11.如图，等圆 和 相交于A，B两点， 经过 的圆心 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

12.如图，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，抛物线 的对称轴为 ，与x轴的一个交点位于 ， 两点之间．下列结论：① ；   ② ；③ ；   ④若 ， 为方程 的两个根，则 ．其中正确的有（　　）个．

A．1
B．2
C．3
D．4

评卷人 得分

二、填空题

13.计算 _________．

14.因式分解： ________．

15.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺．
   

16.观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4， ，16， ，64，……①
0，7， ，21， ，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为___________；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为___________．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，在矩形 中，点 是 的中点，将矩形 沿 所在的直线折叠， 的对应点分别为 ， ，连接 交 于点 ．
       
(1)若 ，求 的度数；
(2)连接EF，试判断四边形 的形状，并说明理由．

19.春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-包粽子，B-划旱船，C-诵诗词，D-创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：
          
(1)请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
(2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
(3)甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙2人同时被选中的概率．

20.小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 ， 处测出点 的仰角度数，可以求出信号塔 的高．如图， 的长为 ，高 为 ．他在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 的仰角为 ， 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 的高吗？若能，请求出信号塔 的高；若不能，请说明理由．（参考数据： ， ， ，结果保留整数）

21.如图，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，直线 交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线 在一，三象限分别交于C，D两点， ，连接 ， ．
   
(1)求k的值；
(2)求 的面积．

22.为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？

23.如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点，连接 交 于点E， 与 相切于点D．

(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．

24.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知抛物线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴与 轴交于点 ．
   
(1)如图，若 ，抛物线的对称轴为 ．求抛物线的解析式，并直接写出 时 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 为 轴上的点， 为 轴上方抛物线上的点，当 为等边三角形时，求点 ， 的坐标；
(3)若抛物线 经过点 ， ， ，且 ，求正整数m，n的值．

参考答案

1.D

【解析】
先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可．
解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为 ，
故选：D．

2.B

【解析】
根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．
解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误，
故选：B．

3.A

【解析】
根据实数大小比较的法则解答．
解：∵ ，
∴最小的数是 ，
故选：A．

4.C

【解析】
根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．

5.C

【解析】
根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
解：A. ，原运算错误，本选项不合题意；
B. ，原运算错误，本选项不合题意；
C. ，符合运算法则，本选项符合题意；
D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C．

6.C

【解析】
利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故选：C．

7.A

【解析】
过点H作 ，推出 ，得到 ，求出 ，利用对顶角相等求出答案．
解：过点H作 ，
   
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选：A．

8.B

【解析】
把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
由 得：
，
，
，
经检验： 是原分式方程的解，
故选： ．

9.B

【解析】
根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，
即 函数图象经过点 ．
故选：B．

10.A

【解析】
先证得四边形 是平行四边形，得到 ，再利用平行线截线段成比例列式求出 即可．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．

11.D

【解析】
先证明 ，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
如图，连接 ， ，

∵等圆 和 相交于A，B两点
∴ ,
∵ 和 是等圆
∴
∴ 是等边三角形
∴
∵ , ,
∴
∴ ．
故选：D．

12.B

【解析】
由图象得 ， ，由对称轴 得 ， ， ；抛物线与x轴的一个交点位于 ， 两点之间，由对称性知另一个交点在 ， 之间，得 ，于是 ，进一步推知 ，由根与系数关系知 ；
解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴， ，
对称轴 ， ， ，故① 错误；
故② 错误；
抛物线与x轴的一个交点位于 ， 两点之间，对称轴为 ，故知另一个交点在 ， 之间，故 时，
∴ ，得 ，故③ 正确；
由 ， ， 知 ，
∵ ， 为方程 的两个根，
∴
∴ ，故④正确；
故选：B

13.6

【解析】
利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
解： ．
故答案为：6．

14. ##

【解析】
利用完全平方公式进行因式分解即可．
解： ；
故答案为： ．

15.8，6，10

【解析】
设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，利用勾股定理求解即可．
解：设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，
根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ （尺）， （尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．

16.     1024    

【解析】
通过观察第一行数的规律为 ，第二行数的规律为 ，代入数据即可.
第一行数的规律为 ，∴第①行数的第10个数为 ；
第二行数的规律为 ，
∴第①行数的第2023个数为 ，第②行数的第2023个数为 ，
∴ ，
故答案为：1024； ．

17. ，

【解析】
先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可．
解：原式



当 时,
原式 ．

18.(1) 的度数为
(2)矩形，理由见详解

【解析】
（1）根据点 是 的中点，沿 所在的直线折叠，可得 是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接 ，点 是 上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形 是平行四边形，如图所示，连接 ， ，过点 作 于点 ，可证四边形 是平行四边形，再根据折叠的性质得 ，由此即可求证．
（1）解：∵四边形 是矩形，点 是 的中点，
∴ ，
∵沿 所在的直线折叠， 的对应点分别为 ， ，
∴ ，
∴ ，则 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
（2）解：如图所示，连接 ，点 是 上的一点，
   
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，即 ，
∵沿 所在的直线折叠， 的对应点分别为 ， ，
∴ ， ， 是 的角平分线，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ， ，
如图所示，连接 ， ，过点 作 于点 ，
      
∵点 是 的中点， ，
∴点 是线段 的中点，则 ，
∴在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵沿 所在的直线折叠， 的对应点分别为 ， ，
∴ ， ， ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形．

19.(1)25，条形统计图见解析；
(2)180
(3)

【解析】
（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出m的值，再用总人数减去其他三项的人数，即可得到诵诗词的人数，补全条形统计图；
（2）用1800乘以D类活动所占的百分比即可；
（3）先画树状图，再根据概率公式求解即可．
（1）解：总人数为： （人）
（人）
（人）
补全图形如下：
       
（2）
（人）
答：选择D类活动的人数大约有180人；
（3）解：树状图如下：
   
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为 ．

20.能求出信号塔 的高，信号塔 的高为 ；

【解析】
过 作 ，垂足为 ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质 ，进而设 根据锐角三角函数解答即可．
解：过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵ 的长为 ，高 为 ，
∴ ．
∴在 中， ( )．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴设 ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即信号塔的 高为 ．
∴能求出信号塔 的高，信号塔 的高为 ．

21.(1) ；
(2)6．

【解析】
（1）由一次函数解析式确定与坐标轴交点坐标，进而确定点C的坐标，代入反比函数解析式，确定k值；
（2）联立解析式，确定图象交点坐标 ，运用组合图形思想， 的面积 ．
（1）解： ， 时， ， ， ，故 , ,
中， ， ，
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ，解得 ，
∴ ．
点C在 上，故 ；
（2）联立 ，解得 或 ．
∴点 ．
∴ 的面积 ．

22.(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元

【解析】
（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有 人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有 人，
根据题意可得 ，
解得： ，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则 ，
∵ ，
∴当 时，w有最小值，最小值为 （元）．
此时， （套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．

23.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ，推出 ，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出 ， 的长，勾股定理求出 ，连接 ，过O作 于点H，利用面积法求出 ，勾股定理求出 ，即可根据等腰三角形的性质求出 的长．
（1）证明：连接 ，过点O作 于点P，

∵ 与 相切于点D．
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∵
∴ ，
在 中，
连接 ，过O作 于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
   

24.(1) ；
(2) ； 或 , ；
(3) ， 或 ，

【解析】
（1）根据 ，抛物线的对称轴为 ，待定系数法求解析式即可求解；当 时，求得 的范围，进而结合函数图象即可求解；
（2）①连接 ， ， 交对称轴于点D，由 四点共圆，得 ，证明 ，求出点D的坐标，确定直线 的解析式，进而求得 点的坐标，设 ， ，勾股定理即可求解；②由①可得 ，则当 与 重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
（3）根据抛物线 经过点 ， ， ，可得抛物线对称为直线 ， 则 ，则 ，进而令 ，求得 的范围，进而根据函数图象可知 或 ，进而分别讨论求得 的值，即可求解．
（1）解：∵ ，抛物线的对称轴为 ．
∴
解得：
∴抛物线解析式为 ，
当 时，即
解得： ，
∴当 时，
（2）解：①如图所示，连接 ， ， 交对称轴于点D，
   
∵ ，
∴ ，
则
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为
则
解得：
所以直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ ，
∵ ，设 ，
∵
∴
解得：
∴ ；
②由①可得 ，当 与点 重合时， 为等边三角形
则 与 对称，此时 ， ，
综上所述； ； 或 ， ；
（3）解：∵抛物线 经过点 ， ， ，
∴抛物线对称为直线 ，
则 ，则
∴抛物线解析式为
∴顶点坐标为
当 时，
解得： 或
∵ ，且 为正整数，过点 ，则当 时 ，
∴ 或 ，
当 时，将点 代入解析式 ，
解得：
∵
则 ，
当 时，将点 代入解析式
解得：
∵
则 ，
综上所述， ， 或 ， ．