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2023年甘肃省武威、平凉、天水、白银、定西、张掖、陇南、金昌、酒泉、庆阳中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.9的算术平方根是（       ）
A．
B．
C．3
D．

2.若 ，则 （       ）
A．6
B．
C．1
D．

3.计算： （       ）
A．2
B．
C．
D．

4.若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（       ）
A．
B．
C．
D．2

5.如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.方程 的解为（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ．若 ， ，则四边形 的面积为（       ）
   
A．2
B．4
C．5
D．6

8.据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约 位数学家的《数学家传略辞典》中部分 岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（       ）

年龄范围（岁）	人数（人）
	25
	11
	10

   
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中 的值为5
C．长寿数学家年龄在 岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有110人

9.如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图1，正方形 的边长为4， 为 边的中点．动点 从点 出发沿 匀速运动，运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则点 的坐标为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.因式分解： ________．

12.关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ________（写出一个满足条件的值）．

13.近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．

14.如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则 ________ ．
   

15.如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，则 ________ ．
      

16.如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋转 上升至轮子上方 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 处（舀水）转动到 处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留 ）
   

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.化简： ．

20.1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
   
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的圆周四等分．

21.为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 ， ， ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小亮从中随机抽到卡片 的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 的概率．

22.如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：

课题	检测新生物到皮肤的距离
工具	医疗仪器等
示意图
说明	如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处 的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ．
测量数据	， ，

请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离．（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ， ， ， ）

23.某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用 表示，分成6个等级： ． ； ． ； ． ； ． ； ． ； ． ）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
   
b．八年级学生上学期期末地理成绩在 ． 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：

学期	平均数	众数	中位数
八年级上学期		15
八年级下学期		19

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ________；
(2)若 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；
(3)你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．

24.如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ．
   
(1)求点 的坐标；
(2)用 的代数式表示 ；
(3)当 的面积为9时，求一次函数 的表达式．

25.如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上的一点， 平分 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 的半径为 ， 时，求 的长．

26.(模型建立)
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
(模型应用)
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
(模型迁移)
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
   

27.如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止．

(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
(3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．

参考答案

1.C

【解析】
由 ，可得9的算术平方根．
解：9的算术平方根是3，
故选C

2.A

【解析】
根据等式的性质即可得出结果．
解：等式两边乘以 ，得 ，
故选：A．

3.B

【解析】
先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
解： ，
故选：B

4.D

【解析】
通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
∵直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，
∴ ，
∴ 的值可为2，
故选：D．

5.C

【解析】
由等边三角形的性质求解 ，再利用等腰三角形的性质可得 ，从而可得答案．
解：∵ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C

6.A

【解析】
把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
去分母得 ，
解方程得 ，
检验: 是原方程的解，
故选A．

7.B

【解析】
由题意可得四边形 是菱形， ， ，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
解：∵将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ，
∴ ， 与 互相平分，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴菱形 的面积为 ．
故选：B

8.D

【解析】
利用年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，即可判断A选项；由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，根据 即可判断B选项；由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即可判断C选项；用 乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在 岁的百分比，即可判断D选项．
解：A．年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，则可得 （人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；
B．由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则 ，故选项正确，不符合题意；
C．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在 岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有 人，故选项错误，符合题意．
故选：D．

9.B

【解析】
如图，过 作 平面镜 ，可得 ， ，而 ，再建立方程 ，可得 ，从而可得答案．
解：如图，过 作 平面镜 ，
   
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．

10.C

【解析】
证明 ， ， ，则当P与A，B重合时， 最长，此时 ，而运动路程为0或4，从而可得答案．
解：∵正方形 的边长为4， 为 边的中点，
∴ ， ， ，
当P与A，B重合时， 最长，
此时 ，
运动路程为0或4，
结合函数图象可得 ，
故选C

11.

【解析】
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
解： ，
故答案为：

12. （答案不唯一，合理即可）

【解析】
先根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根得到 ，解得 ，根据 的取值范围，选取合适的值即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
当 时，满足题意，
故答案为： （答案不唯一，合理即可）

13.

【解析】
根据正负数表示相反的意义解答即可．
解：把海平面以上9050米记作“ 米”，则海平面以下10907米记作 米，
故答案为： ．

14.35

【解析】
由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，得 ，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
解： 是 所对的圆周角，

是 的直径，
，
在 中， ，
故答案为: ．

15.

【解析】
根据菱形的性质，含 直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
解：在菱形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，



同理， ，
，
，
在 中，
．
故答案为： ．

16.

【解析】
把半径和圆心角代入弧长公式即可；

故填： ．

17.

【解析】
利用二次根式的混合运算法则计算即可．
解：


．

18.

【解析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
解：解不等式组： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
因此，原不等式组的解集为 ．

19.

【解析】
先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．
解：原式

．

20.见解析

【解析】
根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
解：如图，
   
即点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接 ，
   
由作图可得： ，且 ，
∴ 为等边三角形， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴A，O，D三点共线， 为直径，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由作图可得： ，而 ，
∴ ， ，
∴由作图可得 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴点 ， ， ， 把 的圆周四等分．

21.(1)
(2)

【解析】
（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．
（1） （小亮抽到卡片 ） ．
（2）列表如下：

小刚 小亮

或画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片 的结果有1种，
所以， （两人都抽到卡片 ） ．

22.新生物 处到皮肤的距离约为

【解析】
过点 作 ，垂足为 ，在 ，用 与 的正切值表示出 ，在 中，用 和 的正切值表示出 ，由 ，联立求解 即可．
解：过点 作 ，垂足为 ．
由题意得， ， ，
在 中， ．
在 中， ．
       
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：新生物 处到皮肤的距离约为 ．

23.(1)16
(2)35
(3)八年级，理由见解析

【解析】
（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）根据平均成绩或中位数即可判断．
（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，
由统计图知A组4人，B组10人，C组10人，则中位数在C组，第20、21位的成绩分别是16，16，
则中位数是 ；
故答案为：16；
（2）解： (人)，
这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，
故答案为：35；
（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．

24.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）把点 代入 ，从而可得答案；
（2）把点 代入 ，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解 ，可得 的坐标，可得 ，代入再解决 的值即可．
（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
（2）∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
即 ．
（3）如图，连接 ．
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为： ．

25.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，根据 得出 ，角平分线的定义得出 ，等量代换得出 ，进而得出 ，即 ，即可得证；
（2）连接 ，得 ，则 ，进而证明 ，得出 ，解 ，得出 ，则 ，进而根据 即可求解．
（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
   
（2）连接 ，得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

26.（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）

【解析】
（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和 关于 对称，可得 ．证明 ，从而可得结论；
（2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ， ．可得 ，证明 ， ，可得 ，则 ，可得 ，从而可得结论；
（3）由 ，可得 ，结合 ，求解 ， ，如图，过点 作 于点 ．可得 ， ，可得 ，再利用余弦的定义可得答案．
（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
   
② ．理由如下：
∵ 和 关于 对称，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 ．
       
∵ 和 关于 对称，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图，过点 作 于点 ．
   
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
∴ ．

27.(1)
(2)四边形 是平行四边形，理由见解析
(3)

【解析】
（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ，由点 在 上，可知 ， ，连接 ，得出 ，则 ，当 时， ，进而得出 ，然后证明 ，即可得出结论；
（3）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明 ，根据 得出 的最小值为 ，利用勾股定理求得 ，即可得解．
（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是平行四边形．
理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ．

∵点 在 上，
∴ ， ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）如图2，由题意得， ，连接 ．

在 上方作 ，使得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短），
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．