【327801】2023年甘肃省武威平凉天水白银定西张掖陇南金昌酒泉庆阳中考数学真题

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2023年甘肃省武威、平凉、天水、白银、定西、张掖、陇南、金昌、酒泉、庆阳中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.9的算术平方根是（       ）
A．
B．
C．3
D．

2.若 ，则 （       ）
A．6
B．
C．1
D．

3.计算： （       ）
A．2
B．
C．
D．

4.若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（       ）
A．
B．
C．
D．2

5.如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.方程 的解为（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ．若 ， ，则四边形 的面积为（       ）
   
A．2
B．4
C．5
D．6

8.据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约 位数学家的《数学家传略辞典》中部分 岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（       ）

   
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中 的值为5
C．长寿数学家年龄在 岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有110人

9.如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图1，正方形 的边长为4， 为 边的中点．动点 从点 出发沿 匀速运动，运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则点 的坐标为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

11.因式分解： ________．

12.关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ________（写出一个满足条件的值）．

13.近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．

14.如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则 ________ ．
   

15.如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，则 ________ ．
      

16.如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋转 上升至轮子上方 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 处（舀水）转动到 处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留 ）
   

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.化简： ．

20.1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
   
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的圆周四等分．

21.为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 ， ， ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小亮从中随机抽到卡片 的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 的概率．

22.如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：

请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离．（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ， ， ， ）

23.某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用 表示，分成6个等级： ． ； ． ； ． ； ． ； ． ； ． ）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
   
b．八年级学生上学期期末地理成绩在 ． 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ________；
(2)若 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；
(3)你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．

24.如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ．
   
(1)求点 的坐标；
(2)用 的代数式表示 ；
(3)当 的面积为9时，求一次函数 的表达式．

25.如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上的一点， 平分 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 的半径为 ， 时，求 的长．

26.(模型建立)
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
(模型应用)
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
(模型迁移)
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
   

27.如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止．

(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
(3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．

参考答案

1.C

【解析】
由 ，可得9的算术平方根．
解：9的算术平方根是3，
故选C

2.A

【解析】
根据等式的性质即可得出结果．
解：等式两边乘以 ，得 ，
故选：A．

3.B

【解析】
先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
解： ，
故选：B

4.D

【解析】
通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
∵直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，
∴ ，
∴ 的值可为2，
故选：D．

5.C

【解析】
由等边三角形的性质求解 ，再利用等腰三角形的性质可得 ，从而可得答案．
解：∵ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C

6.A

【解析】
把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
去分母得 ，
解方程得 ，
检验: 是原方程的解，
故选A．

7.B

【解析】
由题意可得四边形 是菱形， ， ，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
解：∵将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ，
∴ ， 与 互相平分，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴菱形 的面积为 ．
故选：B

8.D

【解析】
利用年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，即可判断A选项；由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，根据 即可判断B选项；由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即可判断C选项；用 乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在 岁的百分比，即可判断D选项．
解：A．年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，则可得 （人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；
B．由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则 ，故选项正确，不符合题意；
C．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在 岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有 人，故选项错误，符合题意．
故选：D．

9.B

【解析】
如图，过 作 平面镜 ，可得 ， ，而 ，再建立方程 ，可得 ，从而可得答案．
解：如图，过 作 平面镜 ，
   
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．

10.C

【解析】
证明 ， ， ，则当P与A，B重合时， 最长，此时 ，而运动路程为0或4，从而可得答案．
解：∵正方形 的边长为4， 为 边的中点，
∴ ， ， ，
当P与A，B重合时， 最长，
此时 ，
运动路程为0或4，
结合函数图象可得 ，
故选C

11.

【解析】
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
解： ，
故答案为：

12. （答案不唯一，合理即可）

【解析】
先根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根得到 ，解得 ，根据 的取值范围，选取合适的值即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
当 时，满足题意，
故答案为： （答案不唯一，合理即可）

13.

【解析】
根据正负数表示相反的意义解答即可．
解：把海平面以上9050米记作“ 米”，则海平面以下10907米记作 米，
故答案为： ．

14.35

【解析】
由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，得 ，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
解： 是 所对的圆周角，

是 的直径，
，
在 中， ，
故答案为: ．

15.

【解析】
根据菱形的性质，含 直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
解：在菱形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，



同理， ，
，
，
在 中，
．
故答案为： ．

16.

【解析】
把半径和圆心角代入弧长公式即可；

故填： ．

17.

【解析】
利用二次根式的混合运算法则计算即可．
解：


．

18.

【解析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
解：解不等式组： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
因此，原不等式组的解集为 ．

19.

【解析】
先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．
解：原式

．

20.见解析

【解析】
根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
解：如图，
   
即点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接 ，
   
由作图可得： ，且 ，
∴ 为等边三角形， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴A，O，D三点共线， 为直径，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由作图可得： ，而 ，
∴ ， ，
∴由作图可得 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴点 ， ， ， 把 的圆周四等分．

21.(1)
(2)

【解析】
（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．
（1） （小亮抽到卡片 ） ．
（2）列表如下：

或画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片 的结果有1种，
所以， （两人都抽到卡片 ） ．

22.新生物 处到皮肤的距离约为

【解析】
过点 作 ，垂足为 ，在 ，用 与 的正切值表示出 ，在 中，用 和 的正切值表示出 ，由 ，联立求解 即可．
解：过点 作 ，垂足为 ．
由题意得， ， ，
在 中， ．
在 中， ．
       
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：新生物 处到皮肤的距离约为 ．

23.(1)16
(2)35
(3)八年级，理由见解析

【解析】
（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）根据平均成绩或中位数即可判断．
（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，
由统计图知A组4人，B组10人，C组10人，则中位数在C组，第20、21位的成绩分别是16，16，
则中位数是 ；
故答案为：16；
（2）解： (人)，
这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，
故答案为：35；
（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．

24.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）把点 代入 ，从而可得答案；
（2）把点 代入 ，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解 ，可得 的坐标，可得 ，代入再解决 的值即可．
（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
（2）∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
即 ．
（3）如图，连接 ．
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为： ．

25.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，根据 得出 ，角平分线的定义得出 ，等量代换得出 ，进而得出 ，即 ，即可得证；
（2）连接 ，得 ，则 ，进而证明 ，得出 ，解 ，得出 ，则 ，进而根据 即可求解．
（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
   
（2）连接 ，得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

26.（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）

【解析】
（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和 关于 对称，可得 ．证明 ，从而可得结论；
（2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ， ．可得 ，证明 ， ，可得 ，则 ，可得 ，从而可得结论；
（3）由 ，可得 ，结合 ，求解 ， ，如图，过点 作 于点 ．可得 ， ，可得 ，再利用余弦的定义可得答案．
（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
   
② ．理由如下：
∵ 和 关于 对称，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 ．
       
∵ 和 关于 对称，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图，过点 作 于点 ．
   
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
∴ ．

27.(1)
(2)四边形 是平行四边形，理由见解析
(3)

【解析】
（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ，由点 在 上，可知 ， ，连接 ，得出 ，则 ，当 时， ，进而得出 ，然后证明 ，即可得出结论；
（3）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明 ，根据 得出 的最小值为 ，利用勾股定理求得 ，即可得解．
（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是平行四边形．
理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ．

∵点 在 上，
∴ ， ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）如图2，由题意得， ，连接 ．

在 上方作 ，使得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短），
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．