绝密·启用前

2023年甘肃省兰州市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.－5的相反数是(        )
A．
B．
C．5
D．-5

2.如图，直线 与 相交于点O，则 （       ）

A．
B．
C．
D．

3.计算： （       ）
A．
B．
C．5
D．a

4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （       ）
       
A．
B．
C．
D．

5.方程 的解是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 ，圆弧的半径 ，圆心角 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

7.已知二次函数 ，下列说法正确的是（       ）
A．对称轴为
B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3
D．函数的最小值是－3

8.关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （       ）
A．－2
B．2
C．－4
D．4

9.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度 ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（       ）
      
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低

10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

11.一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y的值可以是（       ）
A．2
B．1
C．－1
D．－2

12.如图，在矩形 中，点E为 延长线上一点，F为 的中点，以B为圆心， 长为半径的圆弧过 与 的交点G，连接 ．若 ， ，则 （       ）
   
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5

评卷人 得分

二、填空题

13.因式分解： ______．

14.如图，在 中， ， 于点E，若 ，则 ______ ．
   

15.如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形 分别绕原点O顺时针旋转，使 ， 落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ______．
   

16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：

累计抛掷次数	50	100	200	300	500	1000	2000	3000	5000
盖面朝上次数	28	54	106	158	264	527	1056	1587	2850
盖面朝上频率

下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是______．（填序号）

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.计算： ．

19.解不等式组： ．

20.如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ， 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
   
(1)求反比例函数 与一次函数 的表达式；
(2)当 时，求线段 的长．

21.综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是 的平分线．
       
请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
   

22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得 、 ， ．求“龙”字雕塑 的高度．（B，C，D三点共线， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ）
       

23.一名运动员在 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 的高度 与离起跳点A的水平距离 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 时离水面的距离为 ．
   
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长．

24.如图，矩形 的对角线 与 相交于点O， ，直线 是线段 的垂直平分线， 分别交 于点F，G，连接 ．
   
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)当 时，求 的长．

25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）．
   
信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：

分组
人数	2	m	10	9	6	2

信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：

学生	学生1	学生2	学生3	学生4	学生5	学生6
排球垫球	26	25	23	22	22	15
掷实心球	▲	7．8	7．8	▲	8．8	9．2

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)下列结论正确的是_____；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则 ；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
(3)若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．

26.如图， 内接于 ， 是 的直径， ， 于点 ， 交 于点 ，交 于点 ， ，连接 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)当 时，求 的长．

27.在平面直角坐标系中，给出如下定义： 为图形 上任意一点，如果点 到直线 的距离等于图形 上任意两点距离的最大值时，那么点 称为直线 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 ， ， 在线段 上，则点 是直线 ： 轴的“伴随点”．
   


(1)如图2，已知点 ， ， 是线段 上一点，直线 过 ， 两点，当点 是直线 的“伴随点”时，求点 的坐标；
(2)如图3， 轴上方有一等边三角形 ， 轴，顶点A在 轴上且在 上方， ，点 是 上一点，且点 是直线 ： 轴的“伴随点”．当点 到 轴的距离最小时，求等边三角形 的边长；
(3)如图4，以 ， ， 为顶点的正方形 上始终存在点 ，使得点 是直线 ： 的“伴随点”．请直接写出 的取值范围．

28.综合与实践
(思考尝试)
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 上一点， 于点F， ， ， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
(实践探究)
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 中，E是边 上一点， 于点F， 于点H， 交 于点G，可以用等式表示线段 ， ， 的数量关系，请你思考并解答这个问题；
(拓展迁移)
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E是边 上一点， 于点H，点M在 上，且 ，连接 ， ，可以用等式表示线段 ， 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
   

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数的定义解答即可．
-5的相反数是5．
故选C．

2.B

【解析】
利用对顶角相等得到 ，即可求解．
解：读取量角器可知： ，
∴ ，
故选：B．

3.D

【解析】
分子分解因式，再约分得到结果．
解：

，
故选：D．

4.A

【解析】
由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A

5.B

【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
解：去分母得： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解．
故选：B．

6.B

【解析】
根据弧长公式求解即可．
解：弧的半径 ，圆心角 ，
∴ ，
故选：B．

7.C

【解析】
根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C

8.A

【解析】
由一元二次方程根的情况可得 ，再代入式子即可求解．
∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
∴
∴ ，
故选：A.

9.D

【解析】
根据折线图逐项分析即可得出答案．
解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；
B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；
C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了 ，推断合理，本选项不符合题意；
D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；
故选：D．

10.A

【解析】
证明 ，可得 ，结合 ，C为 的中点，可得 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C为 的中点，
∴ ，
故选A．

11.D

【解析】
根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把 代入函数 ，从而判断函数值y的取值．
∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当 时，
故选：D

12.C

【解析】
利用直角三角形斜边中线的性质求得 ，在 中，利用勾股定理即可求解.
解：∵矩形 中，
∴ ，
∵F为 的中点， ，
∴ ，
在 中， ，
故选：C.

13.

【解析】
直接利用平方差分解即可．
解： ．
故答案为： ．

14.

【解析】
证明 ， ，由 ，可得 ，结合 ，可得 ．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：

15.

【解析】
分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
∵正方形 的面积为7，正方形 的面积为9
∴ ，
即 ，
∴
故答案为：

16.①③

【解析】
根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
故答案为：①③．

17.

【解析】
根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．
解：原式＝ ＝ ．

18.

【解析】
先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．
解：

．

19.

【解析】
分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．
解： ，
由①得： ，
解得： ，
由②得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ．

20.(1)反比例函数的表达式为 ；一次函数的表达式为 ；
(2) ．

【解析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的表达式为 ，再分别求得 的坐标，据此即可求解．
（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ 时， ，
解得 ，则 ，
∵ 时， ，
解得 ，则 ，
∴ ．

21.（1） ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；

【解析】
（1）先证明 ，可得 ，从而可得答案；
（2）先证明 ，可得 ，可得 是 的角平分线；
（3）先作 的角平分线，再在角平分线上截取 即可．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
故答案为：
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
（3）如图，点 即为所求作的点；
   ．

22.“龙”字雕塑 的高度为 ．

【解析】
在 和 中，分别求得 和 的长，据此求解即可.
解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ,
答：“龙”字雕塑 的高度为 ．

23.(1)y关于x的函数表达式为 ；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长为 ．

【解析】
（1）由题意得抛物线的对称轴为 ，经过点 ， ，利用待定系数法即可求解；
（2）令 ，解方程即可求解．
（1）解：由题意得抛物线的对称轴为 ，经过点 ， ，
设抛物线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 （负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长为 ．

24.(1)四边形 是菱形，理由见解析
(2) ．

【解析】
（1）证明 和 是等边三角形，即可推出四边形 是菱形；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得 和 的长，利用菱形的性质得到 ，在 中，解直角三角形求得 的长，据此求解即可．
（1）证明：四边形 是菱形，理由如下，
∵矩形 的对角线 与 相交于点O，
∴ ，
∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵直线 是线段 的垂直平分线，且 ，
∴ ， ，
由（1）得四边形 是菱形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．

25.(1)
(2)②③
(3) 人

【解析】
（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；
（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；
（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．
（1）解：由题意可得： ；
（2）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为 ，故①不符合题意；
②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在 这一组，
∴掷实心球成绩的中位数记为n，则 ；故②符合题意；
③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．
∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，
∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，
∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；
若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；
学生1，学生4不可能同时为优秀，
∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；
故答案为：②③
（3）排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为 （人）．

26.(1)见解析
(2) 是等腰三角形，理由见解析
(3)

【解析】
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据已知得出 ，根据 得出 ，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得 ，即可得证；
（2）根据题意得出 ，则 ，证明 ，得出 ，等量代换得出 ，即可得出结论；
（3）根据 ， ，设 ，则 ，等边对等角得出 ，则 ．
（1）证明：如图所示，连接 ，
   
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
即 ，又 是 的直径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
（3）∵ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．

27.(1)
(2)
(3) 或

【解析】
（1）过点 作 于点 ，根据新定义得出 ，根据已知得出 ，则 ，即可求解；
（2）当 到 轴的距离最小时，点 在线段 上，设 的边长为 ，以 为圆心 为半径作圆，当 与 轴相切时，如图所示，切点为 ，此时点 是直线 ： 轴的“伴随点”．且点 到 轴的距离最小，则 的纵坐标为 ，即 ， 是等边三角形，且 轴，设 交于点 ，则 ，得出 ，根据 即可求解；
（3）由正方形的边长为1，即可求出P到 的距离为 ，从而可得P既在正方形的边上，也在到 距离为 的直线上，当 时， 向上平移2个单位长度得 ，分别求出 过A、C时b的值；当 时， 向下平移2个单位长度得 ，分别求出 过A、C时b的值，即可求出b的取值范围．
（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
   
∵ ， ，则 ，点 是直线 的“伴随点”时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 到 轴的距离最小时，
∴点 在线段 上，
设 的边长为 ，以 为圆心 为半径作圆，当 与 轴相切时，如图所示，切点为 ，此时点 是直线 ： 轴的“伴随点”．且点 到 轴的距离最小，
       
则 的纵坐标为 ，即 ，
∵ 是等边三角形，且 轴，设 交于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴等边三角形 的边长为 ；
（3）解：由题意知，正方形 的边长为1，所以正方形 上任意两点距离的最大值为 ,即正方形 上始终存在点P，P到 的距离为 .则 向上或者向下平移2个单位长度得到直线
∵ 与 平行，且两直线间的距离为 ，
∴P既在 上，又在正方形 的边上，
∴ 与正方形 有交点.
当 时， 为 ，
当 过A时， ，即 ,
当 过C时， ，即 ;
∴ ；
当 时， 为 ，
当 过A时， ，即 ,
当 过C时， ，即 ;
∴ ；
综上，当 或 时，正方形 上始终存在点 ，使得点 是直线 ： 的“伴随点”．

28.（1）四边形 是正方形，证明见解析；（2） ；（3） ，证明见解析；

【解析】
（1）证明 ，可得 ，从而可得结论；
（2）证明四边形 是矩形，可得 ，同理可得： ，证明 ， ， ，证明四边形 是正方形，可得 ，从而可得结论；
（3）如图，连接 ，证明 ， ， ， ，可得 ，再证明 ，可得 ，证明 ，可得 ，从而可得答案．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形．
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
同理可得： ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，连接 ，
∵ ，正方形 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．