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2023年福建省中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列实数中，最大的数是（　　）
A．
B．0
C．1
D．2

2.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A．
B．
C．
D．

3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1
B．5
C．7
D．9

4.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）
A．
B．
C．
D．

5.下列计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿元， 年的地区生产总值为 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．
B．
C．
D．

7.阅读以下作图步骤：
①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ）
       
A． 且
B． 且
C． 且
D． 且

8.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．
   
根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为70分钟
B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟
D．方差为0

9.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则实数 的值为（　　）
   
A．
B．
C．
D．3

10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（　　）

A．
B．
C．3
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作 ，那么出货5件应记作___________．

12.如图，在 中， 为 的中点， 过点 且分别交 于点 ．若 ，则 的长为___________．
   

13.如图，在菱形 中， ，则 的长为___________．
   

14.某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：

项目 应聘者	综合知识	工作经验	语言表达
甲
乙
丙

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．

15.已知 ，且 ，则 的值为___________．

16.已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是___________．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.如图， ．求证： ．

20.先化简，再求值： ，其中 ．

21.如图，已知 内接于 的延长线交 于点 ，交 于点 ，交 的切线 于点 ，且 ．

(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ．

22.为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由

23.阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如图3．     小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ； （ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程： 由测量知， ， ， ， ， ∴ ，又∵①___________， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ②___________ ． 故小水池的最大宽度为___________ ．

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ，且测量的次数最少，才能得满分）．

24.已知抛物线 交 轴于 两点， 为抛物线的顶点， 为抛物线上不与 重合的相异两点，记 中点为 ，直线 的交点为 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若 ，且 ，求证： 三点共线；
(3)小明研究发现：无论 在抛物线上如何运动，只要 三点共线， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

25.如图1，在 中， 是 边上不与 重合的一个定点． 于点 ，交 于点 ． 是由线段 绕点 顺时针旋转 得到的， 的延长线相交于点 ．
   
(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)若 是 的中点，如图2．求证： ．

参考答案

1.D

【解析】
有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：正数大于0，正数大于负数，且 ，所以 中最大的实数是2．
故选：D

2.D

【解析】
根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．

3.B

【解析】
根据三角形的三边关系求解即可．
解：由题意，得 ，即 ，
故 的值可选5，
故选：B．

4.C

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
解： ，
故选：C．

5.A

【解析】
根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
解：A． ，故A选项计算正确，符合题意；
B． ，故B选项计算错误，不合题意；
C． ，故C选项计算错误，不合题意；
D． 与 不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．

6.B

【解析】
设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．

7.A

【解析】
由作图过程可得： ，再结合 可得 ，由全等三角形的性质可得 即可解答．
解：由作图过程可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴A选项符合题意；
不能确定 ,则 不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定 ,故C选项不符合题意，
不一定成立，则 不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．

8.B

【解析】
分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
解：A．平均数为 （分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为： ，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；
D．平均数为 ，
方差为 ，故选项错误，不符合题意．
故选：B．

9.A

【解析】
如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，点 在 上，
   
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．

10.C

【解析】
根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得 ，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作 交 于点于点 ，

∵ ，
∴ ，
则 ，
故正十二边形的面积为 ，
圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．

11.

【解析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：∵“正”和“负”相对，
∴进货10件记作 ，那么出货5件应记作 ．
故答案为： ．

12.10

【解析】
由平行四边形的性质可得 即 ，再结合 可得 可得 ，最进一步说明 即可解答．
解：∵ 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,即 ．
故答案为：10．

13.10

【解析】
由菱形 中， ，易证得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为：10．

14.乙

【解析】
分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
解： ，
，
，
∵
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．

15.1

【解析】
根据 可得 ，即 ，然后将 整体代入 计算即可．
解：∵
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．

16.

【解析】
根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的右侧，且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．

17.3

【解析】
根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．
解：原式
．

18.

【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集为 ．

19.见解析

【解析】
根据已知条件得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质即可得证．
证明： ，

即 ．
在 和 中，


．

20. ，

【解析】
先根据分式的混合运算法则化简，然后再将 代入计算即可解答．
解：



．
当 时，
原式 ．

21.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）由切线的性质可得 ，由圆周角定理可得 ，即 ，再根据平行线的性质可得 ，则根据角的和差可得 ，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，进而得到 ，再结合 得到 即可证明结论．
（1）证明 是 的切线，
，即 ．
是 的直径，
．
∴ ．
，
，
，即 ，
．
（2）解： 与 都是 所对的圆周角，

．
，
，
．
由（1）知 ，
，
平分 ．

22.(1)
(2)应往袋中加入黄球，见解析

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件 ，则事件 发生的结果只有1种，
所以 ，所以顾客首次摸球中奖的概率为 ．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

第二球 第一球	红	黄①	黄②	黄③	新
红		红，黄①	红，黄②	红，黄③	红，新
黄①	黄①，红		黄①，黄②	黄①，黄③	黄①，新
黄②	黄②，红	黄②，黄①		黄②，黄③	黄②，新
黄③	黄③，红	黄③，黄①	黄③，黄②		黄③，新
新	新，红	新，黄①	新，黄②	新，黄③

共有 种等可能结果．
（ ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有 种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
（ ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有 种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
因为 ，所以 ，所作他应往袋中加入黄球．

23.(1)① ；②
(2)相似三角形的判定与性质
(3)最大宽度为 ，见解析

【解析】
（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；用皮尺测得 ；
求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得 ， ， ，根据 ，即可求得．
（1）∵ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
故小水池的最大宽度为 ．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得 ，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；
   
（ⅱ）用皮尺测得 ．
求解过程：
由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ，
即 ，所以 ．
同理， ．
在 中， ，
即 ，所以 ．
所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．

24.(1)
(2)见解析
(3) 的面积为定值，其面积为2

【解析】
（1）将 代入 ，即可解得；
（2） ， 中点为 ，且 ，可求出过 两点所在直线的一次函数表达式 ， 为抛物线上的一点，所以 ，此点在 ，可证得 三点共线；
（3）设 与 分别关于直线 对称，则 关于直线 对称，且 与 的面积不相等，所以 的面积不为定值；如图，当 分别运动到点 的位置，且保持 三点共线．此时 与 的交点 到直线 的距离小于 到直线 的距离，所以 的面积小于 的面积，故 的面积不为定值；故 的面积为定值，由（2）求出 ，此时 的面积为2．
（1）解：因为抛物线 经过点 ，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：
      
设直线 对应的函数表达式为 ，
因为 为 中点，所以 ．
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 对应的函数表达式为 ．
因为点 在抛物线上，所以 ．
解得， 或 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，即 满足直线 对应的函数表达式，所以点 在直线 上，即 三点共线；
（3）解： 的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当 分别运动到点 的位置时， 与 分别关于直线 对称，此时仍有 三点共线．设 与 的交点为 ，则 关于直线 对称，即 轴．此时， 与 不平行，且 不平分线段 ，故 ， 到直线 的距离不相等，即在此情形下 与 的面积不相等，所以 的面积不为定值．
       
如图2，当 分别运动到点 的位置，且保持 三点共线．此时 与 的交点 到直线 的距离小于 到直线 的距离，所以 的面积小于 的面积，故 的面积不为定值．
又因为 中存在面积为定值的三角形，故 的面积为定值．
在（2）的条件下，直线 对应的函数表达式为 ，直线 对应的函数表达式为 ，求得 ，此时 的面积为2．

25.(1)见解析
(2)
(3)见解析

【解析】
（1）由旋转的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，再证明 、 ，即可证明结论；
（2）如图1：设 与 的交点为 ，先证明 可得 ，再证明 可得 ，最后运用角的和差即可解答；
（3）如图2：延长 交 于点 ，连接 ，先证明 可得 ，再证 可得 ；进而证明 即 ，再说明 则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
（1）解： 是由线段 绕点 顺时针旋转 得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（2）解：如图1：设 与 的交点为 ，
   
，
，
，
．
，
，
．
又 ，
．
，
．
（3）解：如图2：延长 交 于点 ，连接 ，
   
，
，
．
是 的中点，
．
又 ，
，
．
，
，
．
由（2）知， ，
．   
，
，
，
，即 ．
，
，
．