【327715】2022年江苏省南通市中考数学真题

绝密·启用前

2022年江苏省南通市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.若气温零上 记作 ，则气温零下 记作（       ）
A．
B．
C．
D．

2.下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.用一根小木棒与两根长分别为 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图是中5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（       ）

A．
B．
C．
D．

6.李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（       ）
A．10.5%
B．10%
C．20%
D．21%

7.如图， ，则 的度数是（       ）

A．
B．
C．
D．

8.根据图像，可得关于x的不等式 的解集是（       ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，在 中，对角线 相交于点O， ，若 过点O且与边 分别相交于点E，F，设 ，则y关于x的函数图像大致为（       ）

A．
B．
C．
D．

10.已知实数m，n满足 ，则 的最大值为（       ）
A．24
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是___________（填“全面调查”或“抽样调查”）．

12.分式 有意义，则x应满足的条件是___________．

13.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．

14.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是________．（只需添一个）

15.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．

16.如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为 ，在B处放置 高的测角仪 ，测得树顶A的仰角为 ，则树高 为___________m（结果保留根号）．

17.平面直角坐标系 中，已知点 是函数 图象上的三点.若 ，则k的值为___________．

18.如图，点O是正方形 的中心， ． 中， 过点D， 分别交 于点G，M，连接 ．若 ，则 的周长为___________．

评卷人 得分

三、解答题

19.
(1)计算： ；
(2)解不等式组：

20.为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生．根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：

A，B两个县区的统计表

	平均数	众数	中位数
A县区	3.85	3	3
B县区	3.85	4	2.5

(1)若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为___________名；
(2)请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由．

21.(阅读材料)

老师的问题： 已知：如图， ． 求作：菱形 ，使点C，D分别在 上．

小明的作法： （1）以A为圆心， 长为半径画弧，交 于点D； （2）以B为圆心， 长为半经画弧，交 于点C； （3）连接 ． 四边形 就是所求作的菱形，

(解答问题)
请根据材料中的信息，证明四边形 是菱形．

22.不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
(1)从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是___________；
(2)从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．

23.如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 平分 ，点E在 的延长线上，连接 ．

(1)求直径 的长；
(2)若 ，计算图中阴影部分的面积．

24.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/ 、12元/ ，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的关系如图所示．

(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为1500元．求a的值．

25.如图，矩形 中， ，点E在折线 上运动，将 绕点A顺时针旋转得到 ，旋转角等于 ，连接 ．

(1)当点E在 上时，作 ，垂足为M，求证 ；
(2)当 时，求 的长；
(3)连接 ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 的最小值．

26.定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点 是函数 图像的“ 阶方点”；点 是函数 图像的“2阶方点”．
(1)在① ；② ；③ 三点中，是反比例函数 图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数 图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

参考答案

1.A

【解析】
根据气温是零上2 记作＋2 ，则可以表示出气温是零下3 ，从而可以解答本题．
解：∵气温是零上2 记作＋2 ，
∴气温是零下3 记作−3 ．
故选：A．

2.D

【解析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．

3.C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数．
解：由题意可知：
，
故选：C

4.D

【解析】
设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可．
解：设第三根木棒的长为xcm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．

5.A

【解析】
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．

6.B

【解析】
设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：3000（1＋x）²＝3630，
解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝−2.1（不合题意，舍去）．
故选：B．

7.C

【解析】
根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠1＋∠2＝80°，结合 ，两式相加即可求出 ．
解：如图，∵ ，
∴∠4＝∠1，
∴∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

8.D

【解析】
写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．

9.C

【解析】
过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设 ，则 ，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M，

∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ,
当 时， ．
且图像是二次函数的一部分
故选：C．

10.B

【解析】
先将所求式子化简为 ，然后根据 及 求出 ，进而可得答案．
解：



；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．

11.抽样调查

【解析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．

12.

【解析】
根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
解：分式 有意义，即 ，
∴ ，
故答案为： ．

13.5x+45=7x-3

【解析】
根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．

14.BC=EF或AB=DE或AC=DF（填一个）

【解析】
根据全等三角形的判定定理进行添加即可.
解：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴任意添加一组对应边相等即可证明△ABC≌△DEF，
故可添加BC=EF或AB=DE或AC=DF，
故答案为BC=EF或 AB=DE或AC=DF（填一个）.

15.2

【解析】
将函数关系式转化为顶点式即可求解．
根据题意，有 ，
当 时， 有最大值．
故答案为：2．

16. ##

【解析】
在 中，利用 ，求出 ，再加上1m即为AC的长．
解：过点D作 交于点E，如图：

则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知： ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：

17. ##0.75

【解析】
由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据 列式求出 ，进而可得k的值．
解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入 得： ，
∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，
故答案为： ．

18.

【解析】
连接BD，则BD过正方形 的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝ ，AG＝ AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝ AB＝ CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝ CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝ ，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
解：如图，连接BD，则BD过正方形 的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵ ， ，
∴
∴AG＝ AB＝ ，
∴BG＝ ，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中， ，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形 中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝ AB＝ CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中， ，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝ CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝ ，
∴BF＝ ，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝ ，EM＝ ，
∵BD＝ ，△BED是直角三角形，
∴EO＝ ，
∴ 的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋ ＋ ，
故答案为： ．

19.(1)1
(2)

【解析】
(1)首先利用平方差公式进行因式分解，再进行约分和加法运算，即可求得结果；
(2)首先解每一个不等式，再据此即可求得不等式组的解集．
（1）解：
（2）解： 由①解得 ，由②解得 ，所以，原不等式组的解集为 ．

20.(1)3750
(2)见详解

【解析】
（1）根据A县区统计图得不小于三天的比例，根据总数乘以比例即可得到答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行比较即可．
（1）
解：根据A县区统计图得，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的比例为：
，
∴该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为： 名，
故答案为：3750；
（2）
∵A县区和B县区的平均活动天数均为3.85天，
∴A县区和B县区的平均活动天数相同；
∵A县区的中位数是3，B县区的中位数是2.5，
∴B县区参加社会实践活动小于3天的人数比A县区多，从中位数看，A县区要好；
∵A县区的众数是3，B县区的众数是4，
∴A县区参加社会实践人数最多的是3天，B县区参加社会实践人数最多的是4天，从众数看，B县区要好．

21.见解析

【解析】
由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据 可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论．
解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵ ，即 ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到“一红一黄”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
（1）解：∵不透明的袋子中共有3个球，其中1个蓝球，∴随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ，故答案为： ；
（2）根据题意画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况数，其中摸到“一红一黄”的情况有2种，则两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率是 ．

23.(1)4
(2)6

【解析】
（1）设 辅助线，利用直径、角平分线的性质得出 的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出 的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知 ， 得出 的度数，根据圆周角的性质结合 得出 ，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出 的值，进而利用直角三角形面积公式求出 ，由阴影部分面积 可知 即为所求．
（1）解：如图所示，连接 ， 为 的直径， 平分 ， ， ， ． ． ， ， ，即 ． ． ．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为 ，大阴影面积为 ，弦 与劣弧 所形成的面积为 ， 由（1）已知 ， ， ， ， ． ， 弦 弦 ，劣弧 劣弧 ． ． 为 的直径， ， ， ． ， ． ． ．

24.(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2) ，
(3)80

【解析】
（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
（1）解：由图可知：B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知： 过 ， ，设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，∴ ，解得： ，∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ；当 时，乙函数图象过 ， ，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，利用待定系数法得： ，解得： ，∴ ；当 时，乙函数图象过 ， ，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为： ，利用待定系数法得： ，解得： ，∴ ；综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位： ）之间的函数解析式为 ；
（3）解：甲的利润为： ，乙的利润为： ∴当 时，甲乙的利润和为： ，解得 （舍去）；当 时，甲乙的利润和为： ，解得 ；∴当甲、乙两种苹果的销售量均为 时，它们的利润和为1500元．

25.(1)见详解
(2) 或
(3)

【解析】
（1）证明 即可得证．
（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助 ，在 中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助 并利用勾股定理求解即可．
（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．
（1）
如图所示，
由题意可知， ， ，
，
由旋转性质知：AE=AF，
在 和 中，
，
，
．

（2）
当点E在BC上时，
在 中， ， ，
则 ，
在 中， ， ，
则 ，
由（1）可得， ，
在 中， ， ，
则 ，
当点E在CD上时，如图，

过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
同（1）可得 ，
，
由勾股定理得 ；
故CF的长为 或 ．
（3）
如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作 于点H，
由（1）知， ，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．
在 与 中，
，
，
，
即 ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
即 ，
，
故 的最小值 ；

如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转 的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作 ， ，
由题意可知， ，
在 与 中，
，
，
，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；
由于 ， ， ，
故四边形DQRK是矩形；
，
，
，
，
故此时DF的最小值为 ；
由于 ，故DF的最小值为 ．

26.(1)②③
(2)3或 ；
(3)

【解析】
（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
（1）解：∵点 到x轴的距离为2，大于1，∴不是反比例函数 图象的“1阶方点”，∵点 和点 都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，∴ 和 是反比例函数 图象的“1阶方点”，故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，则 过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入 得： ，解得： （舍去）；把（2，－2）代入 得： ，解得： ；当a＜0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，则 过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入 得： ，解得： ；把（－2，－2）代入 得： ，解得： （舍去）；综上，a的值为3或 ；
（3）∵二次函数 图象的顶点坐标为（n， ），∴二次函数 图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，∴二次函数 的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当 过点（n，－n）时，将（n，－n）代入 得： ，解得： ，当 过点（－n，n）时，将（－n，n）代入 得： ，解得： 或 （舍去），由图可知，若y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为： ．