绝密·启用前
2022年江苏省苏州市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5
B．1
C．0
D．－2
2.2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（ ）
A．60人
B．100人
C．160人
D．400人
5.如图，直线AB与CD相交于点O，
，
，则
的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
6.如图，在
的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，点A的坐标为
，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为
，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题 |
9.计算：
_______．
10.已知
，
，则
______．
11.化简
的结果是______．
12.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
13.如图，AB是
的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若
，则
______°
14.如图，在平行四边形ABCD中，
，
，
，分别以A，C为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
15.一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
16.如图，在矩形ABCD中
．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为
，点N运动的速度为
，且
．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形
．若在某一时刻，点B的对应点
恰好在CD的中点重合，则
的值为______．
|
三、解答题 |
17.计算：
．
18.解方程：
．
19.已知
，求
的值．
20.一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的度数．
22.某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如下表格：
培训前 |
成绩（分） |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
划记 |
正正 |
|
正 |
正 |
|
|
人数（人） |
12 |
4 |
7 |
5 |
4 |
|
培训后 |
成绩（分） |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
划记 |
|
一 |
|
正 |
正正正 |
|
人数（人） |
4 |
1 |
3 |
9 |
15 |
(1)这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m______n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
(2)这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
(3)估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
23.如图，一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于点
，与y轴交于点B，与x轴交于点
．
(1)求k与m的值；
(2)
为x轴上的一动点，当△APB的面积为
时，求a的值．
24.如图，AB是
的直径，AC是弦，D是
的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且
．
(1)求证：
为
的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若
，
，求AG的长．
25.某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 |
甲种水果质量 （单位：千克） |
乙种水果质量 （单位：千克） |
总费用 （单位：元） |
第一次 |
60 |
40 |
1520 |
第二次 |
30 |
50 |
1360 |
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
26.如图，在二次函数
（m是常数，且
）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求
的度数；
(2)若
，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数
（m是常数，且
）的图像上，始终存在一点P，使得
，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
27.（1）如图1，在△ABC中，
，CD平分
，交AB于点D，
//
，交BC于点E．
①若
，
，求BC的长；
②试探究
是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，
和
是△ABC的2个外角，
，CD平分
，交AB的延长线于点D，
//
，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为
，△CDE的面积为
，△BDE的面积为
．若
，求
的值．
参考答案
1.A
【解析】
根据有理数的大小比较法则比较即可．
解：因为－2＜0＜1＜3＜5，
所以比3大的数是5，
故选：A．
2.C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：141260＝
，
故选：C．
3.B
【解析】
通过
，判断A选项不正确；C选项中
、
不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．
A.
，故A不正确；
B.
，故B正确；
C.
，故C不正确；
D.
，故D不正确；
故选B．
4.C
【解析】
根据参加“书法”的人数为80人，占比为
，可得总人数，根据总人数乘以
即可求解．
解：总人数为
．
则参加“大合唱”的人数为
人．
故选C．
5.D
【解析】
根据对顶角相等可得
，之后根据
，即可求出
．
解：由题可知
，
，
．
故选：D．
6.A
【解析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
解：由图可知，总面积为：5×6=30，
，
∴阴影部分面积为：
，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是
，
故选：A．
7.B
【解析】
根据题意，先令在相同时间
内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度
，走路慢的人的速度
，再根据题意设未知数，列方程即可
解：令在相同时间
内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度
，走路慢的人的速度
，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得
，
根据题意可列出的方程是
，
故选：B．
8.C
【解析】
过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得
，可得
，
，从而
，即可解得
．
解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴
，
在Rt△BCD中，
，
在Rt△AOB中，
，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴
，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得：
或
（舍去），
∴
，故C正确．
故选：C．
9.a4
【解析】
本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
解：a3•a，
=a3+1，
=a4．
故答案为：a4．
10.24
【解析】
根据平方差公式计算即可．
解：∵
，
，
∴
，
故答案为：24．
11.x
【解析】
根据分式的减法进行计算即可求解．
解：原式＝
．
故答案为：
．
12.6
【解析】
分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
13.62
【解析】
连接
，根据直径所对的圆周角是90°，可得
，由
，可得
，进而可得
．
解：连接
，
∵AB是
的直径，
∴
，
，
，
故答案为：62
14.10
【解析】
根据作图可得
，且平分
，设
与
的交点为
，证明四边形
为菱形，根据平行线分线段成比例可得
为
的中线，然后勾股定理求得
，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得
的长，进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，设
与
的交点为
，
根据作图可得
，且平分
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
又
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
垂直平分
，
，
四边形
是菱形，
，
，
，
，
为
的中点，
中，
，
，
，
，
四边形AECF的周长为
．
故答案为：
．
15.
【解析】
根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为
升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为
升/分钟，
，
解得
．
故答案为：
．
16.
【解析】
在矩形ABCD中
，设
，运动时间为
，得到
，利用翻折及中点性质，在
中利用勾股定理得到
，然后利用
得到
，在根据判定的
得到
，从而代值求解即可．
解：如图所示：
在矩形ABCD中
，设
，运动时间为
，
，
在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形
，
，
若在某一时刻，点B的对应点
恰好在CD的中点重合，
，
在
中，
，则
，
，
,
,
,
,
，
，
，则
，
，即
，
在
和
中，
，
，即
，
，
故答案为：
．
17.6
18.
【解析】
根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
方程两边同乘以
，得
．
解方程，得
．
经检验，
是原方程的解．
19.
，3
【解析】
先将代数式化简，根据
可得
，整体代入即可求解．
原式
．
∵
，
∴
．
∴原式
．
20.(1)
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【解析】
（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
(1)
解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：
．
故答案为：
；
(2)
解：
画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
．
21.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）由矩形与折叠的性质可得
，
，从而可得结论；
（2）先证明
，再求解
，
结合对折的性质可得答案．
(1)
证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则
，
．
在△DAF和△ECF中，
∴
．
(2)
解：∵
，
∴
．
∵四边形ABCD是矩形，
∴
．
∴
，
∵
，
∴
．
22.(1)＜
(2)测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%
(3)测试成绩为“10分”的学生增加了220人
【解析】
（1）先分别求解培训前与培训后的中位数，从而可得答案；
（2）分别求解培训前与培训后得6分的人数所占的百分比，再作差即可；
（3）分别计算培训前与培训后得满分的人数，再作差即可．
(1)
解：由频数分布表可得：培训前的中位数为：
培训后的中位数为：
所以
故答案为：
；
(2)
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%．
(3)
培训前：
，培训后：
，
．
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
23.(1)k的值为
，
的值为6
(2)
或
【解析】
（1）把
代入
，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解
．由
为x轴上的一动点，可得
．由
，建立方程求解即可．
（1）解：把
代入
，得
．∴
．把
代入
，得
．∴
．把
代入
，得
．∴k的值为
，
的值为6．
（2）当
时，
．∴
．∵
为x轴上的一动点，∴
．∴
，
．∵
，∴
．∴
或
．
24.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由
，
，可得
，由
是
的直径，D是
的中点，
，进而可得
，即可证明CF为
的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设
．同方法一证明
，即可证明CF为
的切线；
（2）方法一：如图3，过G作
，垂足为H．设
的半径为r，则
．在Rt△OCF中，勾股定理求得
，证明
，得出
，根据
，求得
，进而求得
，根据勾股定理即可求得
；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得
．
，D是
的中点，可得
，根据勾股定理即可求得
．
(1)
（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
是
的直径，D是
的中点，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴
．
∴CF为
的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设
．
∵AB是
的直径，D是
的中点，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵AB是
的直径，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴
．
∴CF为
的切线．
(2)
解：方法一：如图3，过G作
，垂足为H．
设
的半径为r，则
．
在Rt△OCF中，
，
解之得
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵G为BD中点，
∴
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得
．
∵AB是
的直径，
∴
．
∵
，D是
的中点，
∴
．
∵G为BD中点，
∴
．
∴
．
25.(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
(2)正整数m的最大值为22
【解析】
（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
(1)
设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)
设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进
千克乙种水果，
根据题意，得
．
解这个不等式，得
．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵
，
∴w随x的增大而减小．
∴当
时，w的最大值为
．
根据题意，得
．
解这个不等式，得
．
∴正整数m的最大值为22．
26.(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
(2)
(3)
【解析】
（1）分别令
等于0，即可求得
的坐标，根据
，即可求得
；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得
，
，
．根据轴对称的性质，可得
，由
，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作
交BC于点H．由方法一，得
，
．证明
，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时
，即
．
(1)
当
时，
．
解方程，得
，
．
∵点A在点B的左侧，且
，
∴
，
．
当
时，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
(2)
方法一：如图1，连接AE．
∵
，
∴
，
．
∴
，
，
．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
，
即
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴解方程，得
．
方法二：如图2，过点D作
交BC于点H．
由方法一，得
，
．
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∵
，
∴解方程，得
．
(3)
．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时
，即
．
∵
，
∴
．
，
，
∴
．
解得
，
又
，
∴
．
27.（1）①
；②
是定值，定值为1；（2）
【解析】
（1）①证明
，根据相似三角形的性质求解即可；
②由
，可得
，由①同理可得
，计算
；
（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得
，又
，则
，可得
，设
，则
．证明
，可得
，过点D作
于H．分别求得
，进而根据余弦的定义即可求解．
（1）①∵CD平分
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
②∵
，
∴
．
由①可得
，
∴
．
∴
．
∴
是定值，定值为1．
（2）∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
设
，则
．
∵CD平分
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
如图，过点D作
于H．
∵
，
∴
．
∴
．