2022年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题。（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）﹣3的相反数是（ ）
A．3
B．﹣3
C．
D．
【答案】A
【考点】相反数
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．
【难度】1
2．（2分）化简（a2）3的结果为（ ）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
【答案】B
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数），求出即可．
【解答】解：（a2）3＝a6．故选：B．
【难度】1
3．（2分）估计12的算术平方根介于 （ ）
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
【答案】C
【考点】估算无理数的大小
【分析】运用算术平方根的知识进行估算．
【解答】解：∵
，∴3
4，故选：C．
【难度】1
4．（2分）反比例函数
为常数，k≠0）的图象位于（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
【答案】A
【考点】反比例函数的图象
【分析】首先判断比例系数的符号，然后根据其性质确定其图象所处的位置即可．
【解答】解：∵k为常数，k≠0，∴k2＞0，∴反比例函数
为常数，k≠0）的图象位于第一、三象限，故选：A．
【难度】3
5．（2分）已知实数a，b，a＞b，下列结论中一定正确的是（ ）
A．|a|＞|b|
B．
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【答案】D
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系解决此题．
【解答】解：A．由a＞b，如1＞﹣2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不正确，故A不符合题意．B．由a＞b，如2＞1，但
，那么
不正确，故B不符合题意．C．由a＞b，如1＞﹣2，但12＜（﹣2）2，那么a2＞b2不正确，故C不符合题意．D．由a＞b，则a3＞b3，那么C正确，故D符合题意．故选：D．
【难度】3
6．（2分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【答案】B
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；展开图折叠成几何体
【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴折叠成直三棱柱后CM
，折叠成直三棱柱后CP
，折叠成直三棱柱后CN
，∵
5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．
【难度】5
二、填空题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）地球与月球的平均距离约为384000km，用科学记数法表示384000是 ．
【答案】3.84×105．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：384000＝3.84×105．故答案为：3.84×105．
【难度】1
8．（2分）若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
【答案】x≠3
【考点】分式有意义的条件
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案．
【解答】解：
在实数范围内有意义，故x﹣3≠0，解得：x≠3．故答案为：x≠3．
【难度】1
9．（2分）计算
的结果是 
．
【答案】
【考点】二次根式的加减法
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3
2
．故答案为：
．
【难度】1
10．（2分）方程x2﹣4x+3＝0的解是 ．
【答案】x1＝1，x2＝3
【考点】高次方程
【分析】把原方程的左边进行因式分解，求出方程的解．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0，x1＝1，x2＝3，故答案为：x1＝1，x2＝3．
【难度】1
11．（2分）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝ °．
【答案】32．
【考点】平行四边形的性质
【分析】过D作DE∥直线l1，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠1＝33°，根据平行四边形的性质得到∠ADC＝∠B＝65°，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DE∥直线l1，∴∠ADE＝∠1＝33°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝65°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝65°﹣33°＝62°，∵l1∥l2，∴DE∥l2，∴∠2＝∠CDE＝32°，故答案为：32．
【难度】1
12．（2分）若24+24＝2a，35+35+35＝3b，则a+b＝ ．
【答案】11．
【考点】有理数的乘方
【分析】根据乘方的定义（求几个相同因数或因式的积的一种运算）解决此题．
【解答】解：∵24+24＝2a，35+35+35＝3b，∴2a＝2×24＝25，3b＝3×35＝36．∴a＝5，b＝6．∴a+b＝5+6＝11．故答案为：11．
【难度】1
13．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值： ．
【答案】a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）．
【考点】二次函数的最值
【分析】根据最值公式得到
2，即可得到c﹣a＝2，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）的最大值为2，∴
2，a＜0，∴c﹣a＝2，故a＝﹣2时，c＝0，故答案为：a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）．
【难度】3
14．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），则点C的坐标是 ．
【答案】（2，5）．
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质
【分析】由“AAS”可证△CDE≌△DAF，可得CE＝DF＝4，DE＝AF＝1，即可求解．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴，DF⊥x轴于点F，CE与FD交于点E，∵点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），∴OF＝2，AF＝2﹣1＝1，DF＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠ADC＝90°，∵∠DEC＝∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°＝∠ADF+∠CDE，∴∠CDE＝∠DAF，在△CDE和△DAF中，
，∴△CDE≌△DAF（AAS），∴CE＝DF＝4，DE＝AF＝1，∴EF＝1+4＝5，∴点C（2，5）．故答案为：（2，5）．
【难度】5
15．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝ °．
【答案】72．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出∠CDH，再根据平角的定义求出答案．
【解答】解：如图，延长ED到H，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝∠BAD+∠BCD＝180°，又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1：2：4：3，∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH＝360°，∴∠CDH＝360°
108°，∴∠ADC＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72．
【难度】5
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 个点．
【答案】99
【考点】规律型：点的坐标
【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【解答】解：横纵坐标和是0的有1个点，横纵坐标和是1的有2个点，横纵坐标和是2的有3个点，横纵坐标和是3的有4个点，……，横纵坐标和是n的有（n+1）个点，∴6+7＝13，∵1+2+……+12+13
13×（13+1）＝91，∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：（13，0）、（12，1）、（11，2）、（10，3）、（9，4）、（8，5）、（7，6）、（6，7）、（5，8）、（4，9）、（3，10）、（2，11）、（1，12）、（0，13）、∴（6，7）是第91+8＝99个点，故答案为：99．
【难度】3
三、解答题。（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：
，其中a＝3，b＝2．
【答案】
，1．
【考点】分式的化简求值
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
•
，当a＝3，b＝2时，原式
1．
【难度】1
18．（7分）解不等式组：
．
【答案】x≤1．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜4，故不等式组的解集为x≤1．
【难度】1
19．（8分）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱．求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数．
【答案】购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用
【分析】设购买的白色复印纸的箱数为x箱，彩色复印纸的箱数为y箱，由题意：用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设购买的白色复印纸的箱数为x箱，彩色复印纸的箱数为y箱，由题意得：
，解得：
，答：购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱．
【难度】3
20．（8分）某企业订餐，有A，B两家公司可选择．该企业先连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择B公司，记录送餐用时（单位：min）如下表：
序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
A公司送餐用时 |
26 |
26 |
30 |
25 |
27 |
29 |
24 |
28 |
30 |
25 |
B公司送餐用时 |
20 |
18 |
21 |
16 |
34 |
32 |
15 |
14 |
35 |
15 |
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．
（1）根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；
（2）如果某工作日该企业希望送餐用时不超过20min，应选择哪家公司？请简述理由．
【答案】（1）选择A公司订餐，理由见解答；（2）选择B公司订餐，理由见解答．
【考点】折线统计图
【分析】（1）根据方差的定义判断即可；
（2）根据平均数的意义解答即可．
【解答】解：（1）选择A公司订餐，理由如下：A公司送餐用时在25分钟和30分钟内波动，波动较小；B公司送餐用时在15分钟和35分钟内波动，波动较大；（2）选择B公司订餐，理由如下：A公司10个工作日送餐用时都超过20分钟，故送餐用时超过20分钟；B公司10个工作日送餐用时平均数为
（20+18+21+16+34+32+15+14+35+15）＝22（min），接近20分钟．
【难度】1
21．（8分）甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E．从中随机选取景点游览，求下列事件的概率．
（1）选取1个景点，恰好在甲城市；
（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．
【答案】（1）
；（2）
．
【考点】概率公式；随机事件
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）选取1个景点，恰好在甲城市的概率为
；（2）列表如下：
|
A |
B |
C |
D |
E |
A |
|
（B，A） |
（C，A） |
（D，A） |
（E，A） |
B |
（A，B） |
|
（C，B） |
（D，B） |
（E，B） |
C |
（A，C） |
（B，C） |
|
（D，C） |
（E，C） |
D |
（A，D） |
（B，D） |
（C，D） |
|
（E，D） |
E |
（A，E） |
（B，E） |
（C，E） |
（D，E） |
|
由表知共有20种等可能结果，其中选取2个景点，恰好在同一个城市有8种结果，所以选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为
．
【难度】1
22．（8分）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】证明：∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAM，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形
【考点】菱形的判定
【分析】由平行线的性质和角平分线定义得∠BCA＝∠BAC，则BA＝BC，再证∠ABO＝∠ADO，则AB＝AD，然后证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAM，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形．
【难度】3
23．（8分）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】D处距离港口A约有31km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，延长CB交DA的延长线于E，由题意得，∠E＝90°，∵∠BAE＝58°，AB＝30km，∴BE＝AB•sin58°≈30×0.85＝25.5（km），AE＝AB•cos58°≈30×0.53＝15.9（km），∵BC＝10km，∴CE＝BE+BC＝35.5（km），∴DE＝CE÷tan37°≈35.5÷0.75≈47.33（km），∴AD＝DE﹣AE＝47.33﹣15.9≈31（km），答：D处距离港口A约有31km．
【难度】3
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径长为5．
【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；圆周角定理
【分析】（1）连接AD，AE，根据等腰三角形的性质∠B＝∠C，根据全等三角形的性质得到AD＝AE，根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质于是得到AF⊥BC；
（2）根据等腰三角形的性质得到BF＝CF
BC＝6，根据勾股定理得到AF
8，连接OD，设DO＝AO＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD，AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，
，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，连接OD，OE，则OD＝OE，∵AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（SSS），∴∠DAF＝∠EAF，∴AF⊥BC；（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF
BC＝6，∴AF
8，∵BD＝2，∴DF＝4，连接OD，设DO＝AO＝x，∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，∵OD2＝OF2+DF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半径长为5．
【难度】3
25．（8分）某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000m3，原有水量分别为1200m3，300m3，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100m3，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．设注水第x min时，甲、乙水池中的水量分别为y1 m3，y2m3．
（1）若每分钟向甲注水40m3，分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水50m3，画出y2与x之间的函数图象；
（3）若每分钟向甲注水a m3，则甲比乙提前3min注满，求a的值．
【答案】（1）y1＝1200+40x（0≤x≤45），y2＝300+60x（0≤x≤45）；（2）图象见解答；（3）
．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）本题通过计算，可以算出，甲乙同时注满，则函数表达式均没有改变，则按照题目给出的数据求得即可；
（2）根据给出的甲注水速度为50m3/分，可计算出，甲36分钟注满，而乙需要54分钟，所以在甲注满后，乙的注水速度将改变，则函数图象分为0～36和36～45两个阶段，按照数据，画出函数图象；
（3）根据甲注水的时间＝乙注水的时间（乙多注水3分钟的量减掉），来列分式方程，从而求得结果．
【解答】解：（1）若每分钟向甲注水40m3，则注满甲需要（3000﹣1200）÷40＝45（分），若每分钟向乙注水100﹣40＝60（m3），则注满乙需要（3000﹣300）÷60＝45（分），则按照每分钟向甲注水40m3，甲乙同时注满，∴y1＝1200+40x（0≤x≤45），y2＝300+60x（0≤x≤45）；（2）若每分钟向甲注水50m3，则注满甲需要（3000﹣1200）÷50＝36（分），若每分钟向乙注水100﹣50＝50（m3），则注满乙需要（3000﹣300）÷50＝54（分），则按照每分钟向甲注水50m3，甲在36分时注满，之后乙注水的量为每分钟100m3，（3000﹣300﹣36×50）÷100＝9（分），36+9＝45（分），
y2＝300+50x（0≤x≤36），y2＝100x﹣1500（36≤x≤45）；（3）
，解得a
，则a的值为
．
【难度】5
26．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且
为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若
，则y的值是
；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．
【答案】（1）5；（2）y
kx2+2k．（3）
．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据∠AEF＝∠PFG，得cos∠PFG＝cos∠AEF，则
，代入计算即可；
（2）利用△PGF∽△FAE，得
，再由
，得GF＝kFE，即可证明结论；
（3）根据点P在CD上，可得k
，再由点G在EF上，可得k≤1，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵PF⊥AF，∴∠AFP＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠A+∠AFP＝180°，∴AD∥FP，∴∠AEF＝∠PFG，∵AE＝2，AF＝x＝4，∴EF
2
，∵k
，∴FG
EF
，∵cos∠PFG＝cos∠AEF，∴
，∴
，∴PF＝5，故答案为：5；（2）∵PF⊥AB，∴∠PFA＝90°，∴∠PFG+∠AFE＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝90°，在Rt△EAF中，∠A＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵PG⊥EF，∴∠PGF＝90°，∴∠A＝∠PGF，∴△PGF∽△FAE，∴
，∴GF•EF＝PF•AE，在Rt△EAF中，∵AE＝2，AF＝x，∴EF2＝AE2+AF2＝22+x2＝4+x2，∵
，∴GF＝kFE，∴kEF2＝PF•AE，∴y
kx2+2k．（3）∵线段CD上存在点P，∴y＝6，6
，则k
，∵0≤x≤10，4≤x2+4≤104，∴
，∵
，点G在EF上，∴k≤1，∴
．
【难度】5
27．（9分）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 ；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
【答案】（1）解：如图1，
故答案为：①②；（2）解：（方法一）如图3﹣1，
（Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′，（Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′，（Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO，（Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P，则点P就是Q点变换前的对应点，（方法二）如图3﹣2，
以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P，则点P就是求作的点；（3）证明：如图4，
（方法一）延长BE，交AC于F，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴
，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，∴△EAF∽△DAB，∴
，∴
，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD，∴BE＝EF，∴DE∥AC，
（方法二）∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴
，∵∠BAF＝∠BAC，∴△ABF∽△ACB，∴
，∴
，∵BD＝CD，∴
，∴DE∥AC．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）作出图形，进而得出结果；
（2）先作出△ABC关于对称轴的对称△AB′C′，进而作出点P的对称点P′，进一步得出结果；
（3）延长BE，交AC于F，可证得△ABE∽△ACD，从而
，证明△EAF∽△DAB，从而
，进而得出
，进而得出BE＝EF，进一步得出结论．
【解答】（1）解：如图1，
故答案为：①②；（2）解：（方法一）如图3﹣1，
（Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′，（Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′，（Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO，（Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P，则点P就是Q点变换前的对应点，（方法二）如图3﹣2，
以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P，则点P就是求作的点；（3）证明：如图4，
（方法一）延长BE，交AC于F，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴
，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，∴△EAF∽△DAB，∴
，∴
，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD，∴BE＝EF，∴DE∥AC，
（方法二）∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴
，∵∠BAF＝∠BAC，∴△ABF∽△ACB，∴
，∴
，∵BD＝CD，∴
，∴DE∥AC．
【难度】5