【327707】2022年湖南省长沙市中考数学真题

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2022年湖南省长沙市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（       ）
A．
B．
C．
D．6

2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

3.下列说法中，正确的是（       ）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

4.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（       ）
A．3，4
B．4，3
C．3，3
D．4，4

7.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（       ）
A． 元
B． 元
C． 元
D． 元

8.如图， ，则 的度数为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，PA，PB是 的切线，A、B为切点，若 ，则 的度数为（       ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，在 中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若 ，则AM的长为（       ）

A．4
B．2
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.若式子 在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．

12.分式方程 的解是_____________ .

13.如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为OC的中点，若 ，则BC的长为___________．

14.关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．

15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．

16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为 的斜坡，坡角 于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 ．

(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）

20.2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

成绩x/分	频数	频率
	15	0.1
	a	0.2
	45	b
	60	c

(1)表中 ___________， ___________， ___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

21.如图，AC平分 ，垂足分别为B，D．

(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形ABCD的面积．

22.电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（       ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（       ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（       ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．

23.如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O， ．

(1)求证： ；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF， ，求BD的长及四边形ABCD的周长．

24.如图，四边形ABCD内接于 ，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

(1)求证： ；
(2)当 时，则 ___________； ___________； ___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形ABCD， 的面积依次为 ，若满足 ，试判断， 的形状，并说明理由．
②当 ， 时，试用含m，n，p的式子表示 ．

25.若关于x的函数y，当 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数 ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数 ，当 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数 （ ，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数 ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数 ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.D

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解： 的相反数是6．
故选D．

2.B

【解析】
根据从正面看的图形是主视图即可求解．
解：该几何体的主视图是

故选B．

3.A

【解析】
根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解．
解：A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；
B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意；
故选A

4.A

【解析】
根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；       
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A

5.D

【解析】
根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
解：点 关于原点对称的点的坐标是 ．
故选D．

6.A

【解析】
根据众数及中位数的概念进行判断即可．
3出现次数最多，
众数是3；
把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位数为4；
故选：A．

7.C

【解析】
根据题意列求得购买乙种读本 本，根据单价乘以数量即可求解．
解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本 本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为 元
故选C

8.C

【解析】
根据平行线的性质即可求解．
如图，设 交于点 ，

， ，



故选：C．

9.B

【解析】
根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．
解：∵PA，PB是 的切线，
∴ ，
，
，
则 ，
故选B．

10.B

【解析】
根据作图可知 垂直平分 ， ， 是等腰直角三角形，据此即可求解．
解：由作图可得 垂直平分 ，
则 是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：
故选：B．

11.

【解析】
根据二次根式有意义的条件可得 ，求解即可．
式子 在实数范围内有意义，
，
解得 ，
故答案为： ．

12.x=2

【解析】
解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故答案为：x=2．

13.7

【解析】
根据垂径定理可得 垂直平分 ，根据题意可得 平方 ，可得四边形 是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，连接 ，

A、B、C是 上的点， ，
，
D为OC的中点，
，
四边形 是菱形， ，
．
故答案为：7．

14.

【解析】
根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得 ，求解即可．
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
，
故答案为： ．

15.

【解析】
用 即可求解．
解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 （名）
故答案为：

16.DDDD

【解析】
根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将 化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
， ，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．

17.6

【解析】
原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可．
解：
=
=6

18.

【解析】
分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可．
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以，不等式组的解集为 ．

19.(1)10m
(2)20m

【解析】
（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
（2）根据 ，可得 ，根据等腰三角形的性质即可求解．
（1） ，
（2） C，A，D三点共线，

20.(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为

【解析】
（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
(1)
，
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
(2)
频数分布直方图如图所示：

(3)
用 分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：

	A	B	C	d
A		BA	CA	dA
B	AB		CB	dB
C	AC	BC		dC
d	Ad	Bd	Cd

共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生） ，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 ．

21.(1)见解析
(2)12

【解析】
（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出 ，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；
（2）由全等三角形的性质得 ，根据三角形的面积公式求出 ，再根据四边形ABCD的面积 求解即可．
(1)
AC平分 ，
，
，
；
(2)
， ，
，
，
，
四边形ABCD的面积 ．

22.(1)√，×，×
(2)数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只

【解析】
（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；
（2）设数量少的狗群的数量为 只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为 只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可．
(1)
根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√，②×，③×，
故答案为：√，×，×；
(2)
设数量少的狗群的数量为 只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为 只，由题意得：
，
解得 ，
（只），
所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．

23.(1)见解析
(2) ，四边形ABCD的周长为

【解析】
（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据三角形中位线的性质可得 ，进而可得 的长， 中，勾股定理求得 ，根据菱形的性质即可求解．
(1)
证明： 四边形 是平行四边， ，
四边形 是菱形，
；
(2)
解： 点E，F分别为AD，AO的中点，
是 的中位线，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
在 中， ， ，
，
菱形形 的周长为 ．

24.(1)见解析
(2)0，1，0
(3)①等腰三角形，理由见解析，②

【解析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；
（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得 ，即可得出 0，根据已知条件可得 ， ，即可得出 根据相似三角形的性质可得 ，根据恒等式变形，进而即可求解．
（3）①记 的面积为 ，则 ， ，根据已知条件可得 ，进而可得 ，得出 ，结合同弧所对的圆周角相等即可证明 是等腰三角形；
②证明 ， ，根据相似三角形的性质，得出 ，则 ， ，计算 即可求解．
(1)
证明： ，
，
即 ，
又 ，
；
(2)
，
，
，
，
，
，
，
，
，


，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0
(3)
①记 的面积为 ，
则 ，
，
①
，
即 ，
②
由①②可得 ，
即 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
② ，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
则 ，
，
．

25.(1)① ；② 时， ， 时，
(2)
(3) 时，存在

【解析】
（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；
②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出 ，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解．
(1)
解：①当 时，则 ，即 ，
， ， 随 的增大而增大，
，
②若函数 ，当 时， ，
，
，
当 时，则 ，
，
综上所述， 时， ， 时， ，
(2)
解：对于函数 ，
， ，函数在第一象限内， 随 的增大而减小，
，
解得 ，
当 时，
，
，
∵当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，此时 取得最大值，
最大值为 ；
(3)
对于函数 ，
，抛物线开口向下，
时， 随 的增大而增大，
时， 随 的增大而减小，
当 时，函数y的最大值等于 ，
在 时，
①当 时，即 时， ， ，
，
的最小值为 （当 时），
若 ，
解得 ，
但 ，故 不合题意，故舍去；
②当 时，即 时， ， ，
，
的最小值为 （当 时），
若 ，
解得 ，
但 ，故 不合题意，故舍去
③当 时，即 时， ，
i)当 时，即 时


对称轴为 ， ，抛物线开口向上，在 上，
当 2时， 有最小值 ，

解得
i i)当 时，即 时， ，
，
，
对称轴为 ， ，抛物线开口向上，在 上，
当 2时， 有最小值 ，

解得
综上所述， 时，存在 ．