【327705】2022年湖南省岳阳市中考数学真题

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2022年湖南省岳阳市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.8的相反数是（       ）
A．
B．
C．8
D．

2.某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（       ）

A．圆柱
B．圆锥
C．三棱柱
D．四棱柱

3.下列运算结果正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（       ）
A．105，108
B．105，105
C．108，105
D．108，108

5.如图，已知 ， 于点 ，若 ，则 的度数是（       ）

A．
B．
C．
D．

6.下列命题是真命题的是（       ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形

7.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（       ）
A．25
B．75
C．81
D．90

8.已知二次函数 （ 为常数， ），点 是该函数图象上一点，当 时， ，则 的取值范围是（       ）
A． 或
B．
C． 或
D．

评卷人 得分

二、填空题

9.使 有意义的 的取值范围是_______．

10.2022年5月14日，编号为B-001J的 大飞机首飞成功．数据显示， 大飞机的单价约为65300000元，数据653000000用科学记数法表示为______．

11.如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则 ______．

12.分式方程 的解为 ______．

13.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．

14.聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇）， （安全防疫篇）， （劳动实践篇）， （冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则 类作业有______份．

15.喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道 为东西方向，赛道起点 位于点 的北偏西 方向上，终点 位于点 的北偏东 方向上， 米，则点 到赛道 的距离约为______米（结果保留整数，参考数据： ）．

16.如图，在 中， 为直径， ， 为弦，过点 的切线与 的延长线交于点 ， 为线段 上一点（不与点 重合），且 ．

（1）若 ，则 的长为______（结果保留 ）；
（2）若 ，则 ______．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.已知 ，求代数式 的值．

19.如图，点 ， 分别在 的边 ， 上， ，连接 ， ．请从以下三个条件：① ；② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 为菱形．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明 为菱形．

20.守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．

21.如图，反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ．

(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．

22.为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A， 两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根 种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根 种跳绳共需300元．
(1)求 ， 两种跳绳的单价各是多少元？
(2)若该班准备购买 ， 两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买 种跳绳多少根？

23.如图， 和 的顶点 重合， ， ， ， ．

(1)特例发现：如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，可以得出结论： ______，直线 与直线 的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在线段 上，连接 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的 绕点 顺时针旋转 ，连接 、 ，它们的延长线交于点 ，当 时，求 的值．

24.如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 经过点 和点 ．

(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点 的左侧）．
①求点 和点 的坐标；
②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重合），试求四边形 面积的最大值．

参考答案

1.D

【解析】
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
解：8的相反数是-8．
故选：D．

2.C

【解析】
根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．

3.A

【解析】
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
解：A选项，原式 ，故该选项符合题意；
B选项，原式 ，故该选项不符合题意；
C选项，原式 ，故该选项不符合题意；
D选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选：A．

4.B

【解析】
根据众数和中位数的定义求解即可．
解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选：B．

5.C

【解析】
根据直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
解：在 中， ， ，

则 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．

6.A

【解析】
根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D．
A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；
故选：A．

7.B

【解析】
设城中有 户人家，利用鹿的数量 城中人均户数 城中人均户数，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设城中有 户人家，
依题意得： ，
解得： ，
∴城中有75户人家．
故选：B．

8.A

【解析】
先求出抛物线的对称轴及抛物线与 轴的交点坐标，再分两种情况： 或 ，根据二次函数的性质求得 的不同取值范围便可．
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为 ，抛物线与 轴的交点为 ，
∵点 是该函数图象上一点，当 时， ，
∴①当 时，对称轴 ，
此时，当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时，对称轴 ，
当 时， 随 增大而减小，
则当 时， 恒成立；
综上， 的取值范围是： 或 ．
故选：A．

9.

【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 ，解不等式即可求得 的取值范围．
解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．

10.

【解析】
利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解： ．
故答案为： ．

11.3

【解析】
根据等腰三角形的性质可知 是 的中点，即可求出 的长．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3．

12.2

【解析】
去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解．
解： ，
，
，
经检验 是方程的解．
故答案为：2．

13.

【解析】
根据判别式的意义得到 ，然后解不等式求出 的取值即可．
解：根据题意得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．

14.20

【解析】
由条形统计图可得A， ， 类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得 类作业份数占总份数的 ，可得总份数为 份，减去A， ， 类作业的份数即可求解．
解：∵ 类作业有30份，且 类作业份数占总份数的 ，
∴总份数为： （份），
∵A， 类作业分别有25份，25份，
∴ 类作业的份数为： （份）．
故答案为：20．

15.87

【解析】
过点 作 ，垂足为 ，设 米，然后分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 ， 的长，再根据 米，列出关于 的方程，进行计算即可解答．
解：过点 作 ，垂足为 ，
设 米，
在 中， ，
∴ （米），
在 中， ，
∴ （米），
∵ 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∴点 到赛道 的距离约为87米，
故答案为：87．

16.         

【解析】
（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
解：（1）∵ ，
∴ 的长 ；
故答案为： ；
（2）连接 ，

∵ 是切线， 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．

17.1

【解析】
根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．
解：


．

18.-2

【解析】
先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
解：


，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．

19.(1)①
(2)见解析

【解析】
（1）添加合适的条件即可；
（2）证 ，得 ，再由菱形的判定即可得出结论．
(1)
解：添加的条件是 ．
故答案为：①．
(2)
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为菱形．

20.(1)
(2)

【解析】
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
(1)
将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 ，
故答案为： ；
(2)
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：

	①	②	③
①
②
③

由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为 ．

21.(1)
(2)4
(3) 或

【解析】
（1）把点 代入 可得 的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得 、 的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式 的解集即可．
(1)
解：把点 代入 得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
(2)
∵反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，
∴ ，
∵点 是点 关于 轴的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(3)
根据图象得：不等式 的解集为 或 ．

22.(1)A种跳绳的单价为30元， 种跳绳的单价为50元
(2)至多可以购买 种跳绳20根

【解析】
（1）设 种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．由题意：若购买3根 种跳绳和1根 种跳绳共需 元；若购买5根A种跳绳和3根 种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买 种跳绳 根，则购买A种跳绳 根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
(1)
解：设A种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种跳绳的单价为30元， 种跳绳的单价为50元．
(2)
设购买 种跳绳 根，则购买A种跳绳 根，
由题意得： ，
解得： ，
答：至多可以购买 种跳绳20根．

23.(1)  ，垂直
(2)成立，理由见解析
(3)

【解析】
（1）解直角三角形求出 ， ，可得结论；
（2）结论不变，证明 ，推出 ， ，可得结论；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 求出 ， ，可得结论．
(1)
解：在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，此时 ，
故答案为： ，垂直；
(2)
结论成立．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 ．

∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
当 时，四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

24.(1)
(2)
(3)① 或 ；②12

【解析】
（1）将点 和点 代入 ，即可求解；
（2）利用对称性求出函数 顶点 关于原点的对称点为 ，即可求函数 的解析式；
（3）①通过联立方程组 ，求出 点和 点坐标即可；
②求出直线 的解析式，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，设 ， ，则 ， ，可求 ， ，由 ，分别求出 的最大值4， 的最大值2，即可求解．
(1)
解：将点 和点 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
(2)
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
∵顶点 关于原点的对称点为 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴ ．
(3)
由题意可得，抛物线 的解析式为 ，
①联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
②设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，如图所示：

设 ， ，
则 ， ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最大值 ，
∵ ，
∴当 最大时，四边形 面积的最大值为12．