【327706】2022年湖南省张家界市中考数学真题

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2022年湖南省张家界市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的倒数是（       ）
A．2022
B．
C．
D．

2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（     ）
A．
B．
C．
D．

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ）
A．
B．
C．
D．

4.下列计算正确的是（     ）
A．
B．
C．
D．

5.把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（     ）
A．
B．
C．
D．

6.某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：

根据表中数据，应该选择（     ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

7.在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是（     ）
A．
B．
C．
D．

8.如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（     ）

A．
B．
C．
D．

9.因式分解： __．

10.从 ， ， ，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．

11.如图，已知直线 ， ， ，则 __．

12.分式方程 的解是_______．

13.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 的面积是100，小正方形 的面积是4，那么 __．

14.有一组数据： ， ， ， ， ．记 ，则 __．

15.计算： ．

16.先化简 ，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．

17.如图所示的方格纸 格长为一个单位长度）中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．

(1)将 沿 轴向左平移5个单位，画出平移后的△ （不写作法，但要标出顶点字母）；
(2)将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的△ （不写作法，但要标出顶点字母）；
(3)在（2）的条件下，求点 绕点 旋转到点 所经过的路径长（结果保留 ．

18.中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

19.如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．

(1)求证： ；
(2)试判断四边形 的形状，并写出证明过程．

20.为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表

根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的 　　， 　　；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
(4)若 组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．

21.阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，


根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： ，

22.如图，四边形 内接于圆 ， 是直径，点 是 的中点，延长 交 的延长线于点 ．

(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．

23.如图，已知抛物线 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点 的坐标；
(2)若四边形 为矩形， ．点 以每秒1个单位的速度从点 沿 向点 运动，同时点 以每秒2个单位的速度从点 沿 向点 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时，求运动时间 的值；
(3)抛物线的对称轴与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，点 是 轴下方抛物线图像上的动点．若过点 的直线 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 、 相交于点 、 ，求证： 为定值．

参考答案

1.D

【解析】
根据倒数定义解答．
解：-2022的倒数是 ，
故选：D．

2.B

【解析】
直接利用科学记数法的表示形式求解即可．
解：1 800 000 ，
故选： ．

3.D

【解析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解： ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选： ．

4.C

【解析】
分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．
A． ，因此该选项不符合题意；
B． 与 不是同类项，因此不能合并，所以该选项不符合题意；
C． ，因此该选项符合题意；
D． ，因此该选项不符合题意；
故选：C．

5.D

【解析】
求出不等式组的解集，即可得
解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ，
在数轴上表示该不等式组的解集只有D选项符合题意；
故选D．
(点晴)
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．

6.A

【解析】
从平均数和方差进行判断，即可得
解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
(点晴)
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．

7.D

【解析】
分 或 ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，反比例函数 位于第一、三象限；
当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 位于第二、四象限；
故选：D．

8.C

【解析】
将 绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得 ，从而求解．

解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，

， ， ，
是等边三角形，
，
∵ ， ，
，
，
与 的面积之和为
．
故选：C．

9.

【解析】
直接利用平方差公式分解即可得．

解：原式 ．
故答案为： ．
(点晴)
本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10. ##0.4

【解析】
先确定无理数的个数，再除以总个数．
解： ， 是无理数，
（恰好是无理数） ．
故答案为： ．

11. ##35度

【解析】
由平行线的性质可得 ，再由对顶角相等得 ， ，再由三角形的内角和即可求解．
解：如图，

， ，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．

12.x=-3

【解析】
方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
解：方程两边都乘x（x-2），得
5x=3（x-2），
解得：x=-3，
检验：当x=-3时x（x-2）≠0，
所以x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．

13. ##0.75

【解析】
根据两个正方形的面积可得 ， ，设 ，得到 ，由勾股定理得 ，解方程可得x的值，从而解决问题．
解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴ ．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴ ，
设 ，
则 ，
由勾股定理得， ，
解得 或 （负值舍去），
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．

14.

【解析】
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
解： ；
；
；
，
，
当 时，
原式
，
故答案为： ．

15.

【解析】
先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
解：原式
．
(点晴)
本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．

16. ，

【解析】
先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定 的值，代入计算即可．
解：原式
   
；
因为 ， 时分式无意义，所以 ，
当 时，原式 ．

17.(1)见解析
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）利用平移变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
(1)
解：如图， 即为所求；

(2)
解：如图， (即△A₂OB₂）即为所求；

(3)
解：在 中， ，
．

18.296km/h

【解析】
设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．
解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，
由题意得：x+40=3.5(x-200)，
解得：x=296.
答：高铁的平均速度为296 km/h．

19.(1)见解析
(2)矩形，见解析

【解析】
（1）由题意得 ，根据平行线的性质得 ，用ASA即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得 ，即可得四边形 为平行四边形，根据菱形的性质得 ，即 ，即可得．
(1)
证明： 点 是 的中点，
，
又
，
在 和 中，
，
；
(2)
四边形 为矩形，证明如下：
证明： ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
又 四边形 为菱形，
，
即 ，
四边形 为矩形．

20.(1)18；8
(2)见解析
(3)240人
(4)

【解析】
（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；
（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1)
抽取的总人数为： （人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
(2)
数分布直方图补全如下：

(3)
（人 ，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
(4)
列表如下：

由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率 ．

21.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
（1）证明：如图2，过点 作 于点 ，在 中， ，在 中， ， ， ；
（2）解：如图3，过点 作 于点 ， ， ， ，在 中， 又 ，即 ， ， ．

22.(1)见解析
(2)1

【解析】
（1）连接 ，根据圆周角推论得 ，根据点 是 的中点得 ， ，用ASA证明 ，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得 ，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得 ，即可得 ，根据相似三角形的性质得 ，即可得
(1)
证明：如图所示，连接 ，

为直径，
，
又 点 是 的中点
， ，
在 和 中，

，
，
；
(2)
解： ， ，
，
又 四边形 内接于圆 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即： ，
解得： ，
．

23.(1) ；顶点为
(2) 或
(3)见解析

【解析】
（1）设二次函数表达式为： ，将 、 代入 ，进行计算即可得 ，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意， 秒后点 的运动距离为 ，则 ，点 的运动距离为 ，分情况讨论：①当 时，②当 时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得 ，根据直线 与抛物线图像只有一个公共点，即可得 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，联立 ，结合已知 ，解得： ，同理可得： ，运用三角函数求出GH，GK即可得．
(1)
解：设二次函数表达式为： ，
将 、 代入 得：
，
解得， ，
抛物线的函数表达式为： ，
又 ， ，
顶点为 ；
(2)
解：依题意， 秒后点 的运动距离为 ，则 ，点 的运动距离为 ．
①当 时，
，
解得 ；
②当 时，
，
解得 ；
综上得，当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
(3)
解： 点 关于点 的对称点为点 ，
，
直线 与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△ ，
即： ，
解得： ，
利用待定系数法可得直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，
联立 ，结合已知 ，
解得： ，
同理可得： ，
则： ， ，
，
的值为 ．