绝密·启用前
2022年湖南省张家界市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.
的倒数是（ ）
A．2022
B．
C．
D．
2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1
800 000 000亩耕地红线．将数据1
800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.把不等式组
的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：
|
甲 |
乙 |
丙 |
丁 |
平均分 |
95 |
93 |
95 |
94 |
方差 |
3.2 |
3.2 |
4.8 |
5.2 |
根据表中数据，应该选择（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7.在同一平面直角坐标系中，函数
和
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，点
是等边三角形
内一点，
，
，
，则
与
的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题 |
9.因式分解：
__．
10.从
，
，
，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
11.如图，已知直线
，
，
，则
__．
12.分式方程
的解是_______．
13.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形
的面积是100，小正方形
的面积是4，那么
__．
14.有一组数据：
，
，
，
，
．记
，则
__．
|
三、解答题 |
15.计算：
．
16.先化简
，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
17.如图所示的方格纸
格长为一个单位长度）中，
的顶点坐标分别为
，
，
．
(1)将
沿
轴向左平移5个单位，画出平移后的△
（不写作法，但要标出顶点字母）；
(2)将
绕点
顺时针旋转
，画出旋转后的△
（不写作法，但要标出顶点字母）；
(3)在（2）的条件下，求点
绕点
旋转到点
所经过的路径长（结果保留
．
18.中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
19.如图，菱形
的对角线
、
相交于点
，点
是
的中点，连接
，过点
作
交
的延长线于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)试判断四边形
的形状，并写出证明过程．
20.为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 |
时间 |
频数 |
|
|
6 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的
，
；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
(4)若
组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
21.阅读下列材料：
在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、
，求证：
．
证明：如图1，过点
作
于点
，则：
在
中，
CD=asinB
在
中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、
，求证：
；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知
，
，
米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
，
22.如图，四边形
内接于圆
，
是直径，点
是
的中点，延长
交
的延长线于点
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的长．
23.如图，已知抛物线
的图像与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，点
为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及点
的坐标；
(2)若四边形
为矩形，
．点
以每秒1个单位的速度从点
沿
向点
运动，同时点
以每秒2个单位的速度从点
沿
向点
运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以
、
、
为顶点的三角形与
相似时，求运动时间
的值；
(3)抛物线的对称轴与
轴交于点
，点
是点
关于点
的对称点，点
是
轴下方抛物线图像上的动点．若过点
的直线
与抛物线只有一个公共点，且分别与线段
、
相交于点
、
，求证：
为定值．
参考答案
1.D
【解析】
根据倒数定义解答．
解：-2022的倒数是
，
故选：D．
2.B
【解析】
直接利用科学记数法的表示形式求解即可．
解：1
800 000
，
故选：
．
3.D
【解析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：
．
4.C
【解析】
分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．
A．
，因此该选项不符合题意；
B．
与
不是同类项，因此不能合并，所以该选项不符合题意；
C．
，因此该选项符合题意；
D．
，因此该选项不符合题意；
故选：C．
5.D
【解析】
求出不等式组的解集，即可得
解：
，
由①得：
，
由②得：
，
不等式组的解集为
，
在数轴上表示该不等式组的解集只有D选项符合题意；
故选D．
(点晴)
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．
6.A
【解析】
从平均数和方差进行判断，即可得
解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
(点晴)
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
7.D
【解析】
分
或
，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
解：当
时，一次函数
经过第一、二、三象限，反比例函数
位于第一、三象限；
当
时，一次函数
经过第一、二、四象限，反比例函数
位于第二、四象限；
故选：D．
8.C
【解析】
将
绕点B顺时针旋转
得
，连接
，得到
是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得
，从而求解．
解：将
绕点
顺时针旋转
得
，连接
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵
，
，
，
，
与
的面积之和为
．
故选：C．
9.
【解析】
直接利用平方差公式分解即可得．
解：原式
．
故答案为：
．
(点晴)
本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.
##0.4
【解析】
先确定无理数的个数，再除以总个数．
解：
，
是无理数，
（恰好是无理数）
．
故答案为：
．
11.
##35度
【解析】
由平行线的性质可得
，再由对顶角相等得
，
，再由三角形的内角和即可求解．
解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
．
12.x=-3
【解析】
方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
解：方程两边都乘x（x-2），得
5x=3（x-2），
解得：x=-3，
检验：当x=-3时x（x-2）≠0，
所以x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．
13.
##0.75
【解析】
根据两个正方形的面积可得
，
，设
，得到
，由勾股定理得
，解方程可得x的值，从而解决问题．
解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴
．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴
，
设
，
则
，
由勾股定理得，
，
解得
或
（负值舍去），
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
14.
【解析】
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
解：
；
；
；
，
，
当
时，
原式
，
故答案为：
．
15.
【解析】
先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
解：原式
．
(点晴)
本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．
16.
，
【解析】
先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定
的值，代入计算即可．
解：原式
；
因为
，
时分式无意义，所以
，
当
时，原式
．
17.(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）利用平移变换的性质分别作出
，
，
的对应点
，
，
即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出
，
，
的对应点
，
，
即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
(1)
解：如图，
即为所求；
(2)
解：如图，
(即△A2OB2）即为所求；
(3)
解：在
中，
，
．
18.296km/h
【解析】
设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．
解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，
由题意得：x+40=3.5(x-200)，
解得：x=296.
答：高铁的平均速度为296
km/h．
19.(1)见解析
(2)矩形，见解析
【解析】
（1）由题意得
，根据平行线的性质得
，用ASA即可证明
；
（2）根据全等三角形的性质得
，即可得四边形
为平行四边形，根据菱形的性质得
，即
，即可得．
(1)
证明：
点
是
的中点，
，
又
，
在
和
中，
，
；
(2)
四边形
为矩形，证明如下：
证明：
，
，
又
，
四边形
为平行四边形，
又
四边形
为菱形，
，
即
，
四边形
为矩形．
20.(1)18；8
(2)见解析
(3)240人
(4)
【解析】
（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；
（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1)
抽取的总人数为：
（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
(2)
数分布直方图补全如下：
(3)
（人
，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
(4)
列表如下：
|
男1 |
男2 |
女1 |
女2 |
男1 |
|
（男1，男 |
（男1，女 |
（男1，女 |
男2 |
（男2，男 |
|
（男2，女 |
（男2，女 |
女1 |
（女1，男 |
（女1，男 |
|
（女1，女 |
女2 |
（女2，男 |
（女2，男 |
（女1，女 |
|
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率
．
21.(1)见解析
(2)
【解析】
（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
（1）证明：如图2，过点
作
于点
，在
中，
，在
中，
，
，
；
（2）解：如图3，过点
作
于点
，
，
，
，在
中，
又
，即
，
，
．
22.(1)见解析
(2)1
【解析】
（1）连接
，根据圆周角推论得
，根据点
是
的中点得
，
，用ASA证明
，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得
，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得
，即可得
，根据相似三角形的性质得
，即可得
(1)
证明：如图所示，连接
，
为直径，
，
又
点
是
的中点
，
，
在
和
中，
，
，
；
(2)
解：
，
，
，
又
四边形
内接于圆
，
，
又
，
，
又
，
，
，
即：
，
解得：
，
．
23.(1)
；顶点为
(2)
或
(3)见解析
【解析】
（1）设二次函数表达式为：
，将
、
代入
，进行计算即可得
，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，
秒后点
的运动距离为
，则
，点
的运动距离为
，分情况讨论：①当
时，②当
时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得
，根据直线
与抛物线图像只有一个公共点，即可得
，利用待定系数法可得直线
的解析式为：
，直线
的解析式为：
，联立
，结合已知
，解得：
，同理可得：
，运用三角函数求出GH，GK即可得．
(1)
解：设二次函数表达式为：
，
将
、
代入
得：
，
解得，
，
抛物线的函数表达式为：
，
又
，
，
顶点为
；
(2)
解：依题意，
秒后点
的运动距离为
，则
，点
的运动距离为
．
①当
时，
，
解得
；
②当
时，
，
解得
；
综上得，当
或
时，以
、
、
为顶点的三角形与
相似；
(3)
解：
点
关于点
的对称点为点
，
，
直线
与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△
，
即：
，
解得：
，
利用待定系数法可得直线
的解析式为：
，直线
的解析式为：
，
联立
，结合已知
，
解得：
，
同理可得：
，
则：
，
，
，
的值为
．