绝密·启用前
2022年湖南省永州市中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
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一、选择题 |
1.如图，数轴上点
对应的实数是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2.下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
① ② ③ ④
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
4.水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如图，在
中，
，
，点
为边
的中点，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
10.学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为
米，离校的时间为
分钟，则下列图象能大致反映
与
关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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二、填空题 |
11.若单项式
的与
是同类项，则
______．
12.请写出一个比
大且比10小的无理数：______．
13.“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是______．
14.解分式方程
去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
15.已知一次函数
的图象经过点
，则
______．
16.如图，
是
的直径，点
、
在
上，
，则
______度．
17.如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点
为网格线的交点.若线段
绕原点
顺时针旋转90°后，端点
的坐标变为______．
18.我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则
______．
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三、解答题 |
19.解关于
的不等式组：
20.先化简，再求值：
，其中
．
21.“风华中学”计则在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程 |
人数 |
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20 |
|
|
|
20 |
|
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请根据上述统计数据解决下列问题：
(1)扇形统计图中
______．
(2)厅抽取样本的样本容量是______.频数统计表中
______．
(3)若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．
22.受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道
端以平均
米/秒的速度滑到
端，用了24秒；第二次从滑雪道
端以平均
米/秒的速度滑到
端，用了20秒．
(1)求
的值；
(2)设小勇从滑雪道
端滑到
瑞的平均速度为
米/秒，所用时间为
秒，请用含
的代数式表示
（不要求写出
的取值范围）．
23.如图，
是平行四边形
的对角线，
平分
，交
于点
．
(1)请用尺规作
的角平分线
，交
于点
（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；
(2)根据图形猜想四边形
为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
∵
______（两直线平行，内错角相等）
又∵
平分
，
平分
，
∴
，
∴
∴
______（______）（填推理的依据）
又∵四边形
是平行四边形
∴
∴四边形
为平行四边形（______）（填推理的依据）．
24.为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地
、B、C、
四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、
四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形
的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形
的两条对角线铺设水管．
(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足
，
，
、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：
，
）
25.如图，已知
，
是
的直径，
是
的切线，点
在
的延长线上，
，
交于点
，
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)若
的面积
，求四边形
的面积
．
26.已知关于
的函数
．
(1)若
，函数的图象经过点
和点
，求该函数的表达式和最小值；
(2)若
，
，
时，函数的图象与
轴有交点，求
的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设
，函数图象与
轴有两个不同的交点
，
，若
，
两点均在原点左侧，探究系数
，
，
应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与
轴有两个不同的交点，所以
；
②因为
，
两点在原点左侧，所以
对应图象上的点在
轴上方，即
；
③上述两个条件还不能确保
，
两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需
．
综上所述，系数
，
，
应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数
的图象在直线
的右侧与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．
参考答案
1.A
【解析】
根据数轴上点E所在位置，判断出点E所对应的值即可；
解：根据数轴上点E所在位置可知，点E在-1到-3之间，符合题意的只有-2；
故选：A．
2.D
【解析】
利用三角形具有稳定性直接得出答案．
解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
3.A
【解析】
根据中心对称图形的定义判断即可；
解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
∴是中心对称图形的是：①②③；
故选：A．
4.C
【解析】
根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a、n的值即可．
解：由题意知：7791000=
，
故选：C．
5.D
【解析】
利用二次根式性质化简、零指数幂、合并同类项、有理数减法运算即可判断。
解：A.
，选项错误，不符合题意；
B.
，选项错误，不符合题意；
C.
，选项错误，不符合题意；
D.
，选项正确，符合题意．
故选：D．
6.B
【解析】
根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、
，选项计算错误；
D、
不能进行因式分解，选项计算错误；
故选：B．
7.B
【解析】
根据题目描述，判断几何体的俯视图即可；
解：根据长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，可知俯视图中空，两端鼓口为圆形可知俯视图是圆形，鼓腰也是圆形，且是不能直接看见，所以中间是虚圆；
故选：B．
8.C
【解析】
利用概率公式求解即可求得答案．
解：
班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，
“心理”专题讲座被安排在第一场的概率
．
故选：C．
9.C
【解析】
根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=
，
故选：C．
10.A
【解析】
利用排除法，根据开始、结束时y均为0排除C，D，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B．
解：队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y均为0，由此排除C，D，
因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y值不变，因此排除B，
故选A．
11.6
【解析】
由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．
解：∵单项式
与
是同类项，
∴
．
故答案为：
．
12.
（答案不唯一）
【解析】
根据实数的大小比较即可求出答案．
解：∵5＜7＜100，
∴
＜
＜10
∴比
大且比10小的无理数为
，
故答案为：
（答案不唯一）．
13.2
【解析】
根据众数的定义（数据中出现的次数最多的数据）求解即可．
解：2，0，1，2，3这组数据中2出现的次数最多为2次，
∴众数为2，
故答案为：2．
14.
【解析】
根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．
解：分式方程
的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，
故答案为：x(x+1)．
15.1
【解析】
把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．
解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2）
∴把点（m，2）代入一次函数，得
m+1=2
解得：m=1
故答案为：1．
16.120
【解析】
利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出
，则
．
解：∵
，
是弧AC所对的圆周角，
是弧AC所对的圆心角，
∴
，
∴
，
故答案为：120．
17.
【解析】
根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可．
解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°后的位置如图所示，
∴旋转后的点A的坐标为（2，-2），
故答案为：（2，-2）．
18.3
【解析】
根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即
，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
19.
【解析】
分别解不等式，取不等式组的解集即可；
解：解不等式
得，
；
解不等式
得，
；
所以，原不等式组的解集是
．
20.
；
【解析】
先将括号内的分式进行合并，将分式的分子分母进行因式分解，并约分即可，再代入求值即可．
解：原式
当
时，
原式
21.(1)20
(2)200 50
(3)400
【解析】
（1）根据扇形统计图的数据求解即可；
（2）先求出样本总量，再计算a的值；
（3）用2000乘以选择“养殖”学生人数所占比即可；
(1)
解：
，
∴m=20
故答案案为：20
(2)
抽取样本的样本容量是：
（人）；
；
故答案为：200，50
(3)
（人）
答：若该校有2000名学生，则全校有意向选择“养殖”技能课程的人数为400人．
22.(1)
(2)
【解析】
（1）根据第一次他从滑雪道
端以平均
米/秒的速度滑到
端，用了24秒；第二次从滑雪道
端以平均
米/秒的速度滑到
端，用了20秒同，列出方程求解即可；
（2）称算出路程，再列出用含
的代数式表示
即可．
(1)
根据题意，得
解这个方程，得
(2)
23.(1)详见解析
(2)∠DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【解析】
（1）根据作角平分线的步骤作
平分
即可；
（2）结合图形和已有步骤合理填写即可；
(1)
解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到DE，即为所求；
(2)
证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
∵
．（两直线平行，内错角相等）.
又∵
平分
，
平分
，
∴
，
∴
．
∴
（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）
又∵四边形
是平行四边形．
∴
，
∴四边形
为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
24.(1)方案二
(2)小明，理由见解析
【解析】
（1）根据方案铺设管道路线求解即可；
（2）证
，求出小明铺设方案的水管的总长度，进行比较即可得结果；
(1)
解：方案一：
（米）
方案二：
（米）
所以方案二总长度更短．
(2)
如图，作
，
，垂足分别为
和
．
∵
∴
，
，
∴
∵
，
∴
（米），
，
总长度：
（米）
∵
∴
所以小明的方案总长度最短．
25.(1)详见解析
(2)详见解析
(3)18
【解析】
（1）根据圆切线的性质即可求解；
（2）根据圆的性质证
，即可证明；
（3）由
得
，进而得
，所以
，由
即可求解；
(1)
证明∵
是
的直径，
是
的切线，
∴
，
，
∴
，
∴
．
(2)
证明∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
是直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
(3)
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，
∴
．
26.(1)
或
，0
(2)
(3)
或
【解析】
（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与
轴有交点△≥0，即可得出结论；
（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．
（1）根据题意，得
解之，得
，所以
函数的表达式
或
，当
时，
的最小值是-8．
（2）根据题意，得
而函数的图象与
轴有交点，所以
所以
．
（3）函数
的图象
图1：
即
，所以，
的值不存在．图2：
即
的值
.图3：
即
所以
的值不存在图4：
即
所以
的值不存在．图5：
即
所以
的值为
图6：
函数与
轴的交点为
所以
的值为0成立．综上所述，
的取值范围是
或
．