【327699】2022年湖南省娄底市中考数学真题

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2022年湖南省娄底市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.2022的倒数是（       ）
A．2022
B．
C．
D．

2.下列式子正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
月份	2	6	8	6	10	4	7	8	8	7

这组数据（月份）的众数是（       ）
A．10
B．8
C．7
D．6

4.下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学记数法表示为（       ）

A．
B．
C．
D．

6.一条古称在称物时的状态如图所示，已知 ，则 （       ）

A．
B．
C．
D．

7.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.将直线 向上平移2个单位，相当于（       ）
A．向左平移2个单位
B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位
D．向右平移1个单位

9.在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（       ）

A．1335天
B．516天
C．435天
D．54天

10.如图，等边 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面积之比是（       ）

A．
B．
C．
D．

11.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 、 （ 且 ），过点 、 的直线与两坐标轴相交于 、 两点，连接 、 ，则下列结论中成立的是（       ）
①点 、 在反比例函数 的图象上；② 成等腰直角三角形；③ ；④ 的值随 的增大而增大．
A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③

12.若 ，则称 是以10为底 的对数．记作： ．例如： ，则 ； ，则 ．对数运算满足：当 ， 时， ，例如： ，则 的值为（       ）
A．5
B．2
C．1
D．0

评卷人 得分

二、填空题

13.函数 的自变量 的取值范围是_______．

14.已知实数 是方程 的两根，则 ______．

15.黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_______．

16.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点 是 的黄金分割点，即 ．延长 与 相交于点 ，则 ________ .（精确到0.001）
   

17.菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点， 的最小值为______．

18.如图，已知等腰 的顶角 的大小为 ，点D为边 上的动点（与 、 不重合），将 绕点A沿顺时针方向旋转 角度时点 落在 处，连接 ．给出下列结论：① ；② ；③当 时， 的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简，再求值： ，其中 是满足条件 的合适的非负整数．

21.按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（ ：10h以上， ：8h~10h， ：6h~8h， ：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生共_______名；
(2) ________， ________；
(3)补全条形统计图．

22.“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点 处，在无外力作用下，弹簧的长度为 ，即 ．开始训练时，将弹簧的端点 调在点 处，此时弹簧长 ，弹力大小是 ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点 调到点 处，使弹力大小变为 ，已知 ，求 的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即 ， 是劲度系数， 是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为 ，在外力作用下，弹簧的长度为 ，则 ．

23.“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 ．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？

24.如图，以 为边分别作菱形 和菱形 （点 ， ， 共线），动点 在以 为直径且处于菱形 内的圆弧上，连接 交 于点 ．设 ．

(1)求证：无论 为何值， 与 相互平分；并请直接写出使 成立的 值．
(2)当 时，试给出 的值，使得 垂直平分 ，请说明理由．

25.如图，已知 是 的角平分线，点 是斜边 上的动点，以点 为圆心， 长为半径的 经过点 ，与 相交于点 ．

(1)判定 与 的位置关系，为什么？
(2)若 ， ，
①求 、 的值；
②试用 和 表示 ，猜测 与 ， 的关系，并用 给予验证．

26.如图，抛物线 与 轴相交于点 、点 ，与 轴相交于点 ．

(1)请直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)点 在抛物线上，当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值．
(3)点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 ，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据倒数的定义作答即可．
2022的倒数是 ，
故选：C．

2.A

【解析】
根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据合并同类项可判断D，从而可得答案．
解： ，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
不是同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选A

3.B

【解析】
根据众数的定义判断得出答案．
因为8月份出现了3次，次数最多，所以众数是8．
故选：B．

4.D

【解析】
中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．
解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，
故选：D．

5.B

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．
解：5000亿 ，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为 ，
故选：B．

6.C

【解析】
如图，由平行线的性质可得 从而可得答案．
解：如图，由题意可得： ，



故选C

7.C

【解析】
先求出不等式组的解集，再根据解集中是否含有等号确定圆圈的虚实，方向，表示即可．
∵ 不等式组 中，
解①得，x≤2，
解②得，x＞-1，
∴不等式组 的解集为-1＜x≤2，
数轴表示如下：

故选C．

8.B

【解析】
函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．
解：将直线 向上平移2个单位，可得函数解析式为：
直线 向左平移2个单位，可得 故A不符合题意；
直线 向左平移1个单位，可得 故B符合题意；
直线 向右平移2个单位，可得 故C不符合题意；
直线 向右平移1个单位，可得 故D不符合题意；
故选B

9.B

【解析】
根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
解：绳结表示的数为
故选B

10.A

【解析】
由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD= ，同时在Rt△BOD中，OD= ，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD= ∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD= ，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD= ，
∴圆中的黑色部分的面积与 的面积之比为 ．
故选：A．

11.D

【解析】
由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ的解析式，得到A，B的坐标可判断②，由P，Q的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案．
解： 点 、 的横纵坐标的积为
点 、 在反比例函数 的图象上；故①符合题意；
设过点 、 的直线为：
解得：
直线PQ为：
当 时， 当 时，
所以：

所以 是等腰直角三角形，故②符合题意；
点 、 （ 且 ），
点 、 在第一象限，且P，Q不重合，
故③符合题意；
，而PQ在直线 上，
如图，

显然 是随 的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意；
故选D

12.C

【解析】
通过阅读自定义运算规则： ，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
解： ，






故选C

13.

【解析】
由 有意义可得： 再解不等式可得答案．
解：由 有意义可得：
即
解得：
故答案为：

14.

【解析】
由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
解： 实数 是方程 的两根，

故答案为：

15.

【解析】
根据概率公式求解即可．
解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个，
∴摸出的球编号为偶数的概率 ，
故答案为： ．

16.0.618

【解析】
设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由 得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得 ，即可得到答案．
解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵ ，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴ ，
∴EG≈0.618DE．
故答案为：0.618．

17.

【解析】
过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，

菱形 的边长为2， ，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：

18.①②③

【解析】
依题意知， 和 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明 ， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为 ，故最小时 面积最小，即 ，等腰三角形三线合一，D为中点时 .
∵ 绕点A沿顺时针方向旋转 角度得到
∴ ，
∴
即
∴
∵
得： （SAS）
故①对
∵ 和 是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时 最小
当 时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③

19.2

【解析】
分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．
解：


．

20. ，

【解析】
先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将 代入求解
解：原式＝

；
的非负整数，
当 时，原式＝

21.(1)200
(2)30，50
(3)画图见解析

【解析】
（1）由D组有10人，占比 ，从而可得总人数；
（2）由A，B组各自的人数除以总人数即可；
（3）先求解C组的人数，再补全图形即可．
(1)
解： （人），
所以本次调查的学生共200人，
故答案为：200
(2)

所以
故答案为：30，50
(3)
C组有 （人），
所以补全图形如下：

22.

【解析】
利用物理知识先求解 再求解 再求解 再利用勾股定理求解MC，从而可得答案．
解：由题意可得：当 时，
即
当 时，则

如图，记直角顶点为M，


而

23.(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg．
(2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．

【解析】
（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 mg，由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 列方程，再解方程即可；
（2）列式 进行计算，再把单位化为kg即可．
(1)
解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 mg，则

解得：

答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg．
(2)
50000 （mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．

24.(1)见解析，
(2)2，理由见解析

【解析】
（1）①连接BF、CE，证明四边形BFCE为平行四边形即可，②由题意可知四边形BFCE为菱形，进而可证明 为等边三角形，即可求解；
（2）连接AF，AO ，由垂直平分线的性质易证 ，从而可知 ，再由正方形的以及圆的相关性质可证得 ，设正方形边长为x，在 中，由正切的定义即可求解．
(1)
证明：如图所示：连接BF、CE，

∵菱形 和菱形 （点 ， ， 共线），
∴点G、B、E共线，
，
，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴ 与 相互平分，
即：无论 为何值， 与 相互平分；
又∵ ，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形 和菱形 ，
，
为等边三角形，
；
(2)
如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，

∵ 垂直平分
，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点 在以O为圆心， 为直径且处于菱形 内的圆弧上，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
∵ ，菱形 ，
∴四边形BCFG为正方形，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
，
．

25.(1)相切，原因见解析
(2)① ， ；② ，验证见解析

【解析】
（1）连接OD，根据角之间的关系可推断出 ，即可求得 的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；
（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出 ， 的值；②先表示出来 、 和 的关系，进而猜测 与 ， 的关系，然后将 代入进去加以验证．
(1)
解：连接OD，如图所示

∵BD为 的角平分线
∴
又∵ 过点B、D，设 半径为r
∴OB=OD=r
∴
∴ （内错角相等，两直线平行）
∵
∴AC与 的位置关系为相切．
(2)
①∵BC=3，
∴
∴
过点D作 交于一点F，如图所示

∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，
∴ 即
∴
∵
∴
∴
∴ ；
②
∴
∴
猜测
当 时
∴


∴
∴ ．

26.(1) ， ， ；
(2) ， 面积的最大值 ；
(3)存在， 或 或 ．

【解析】
（1）令 得到 ，求出x即可求得点A和点B的坐标，令 ，则 即可求点C的坐标；
（2）过P作 轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时， 的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 得到 ，设 ，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点 ，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
(1)
解：令 ，
则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ；
(2)
解：过P作 轴交BC于Q，如下图．

设直线BC为 ，将 、 代入得
，
解得 ，
∴直线BC为 ，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时， 的面积最大，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时，PQ最大为 ，
而 ，
∴ 的面积最大为 ；
(3)
解：存在．
∵点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 ，如下图．

∴ ，设 ．
当点F在x轴下方时，
∵ ，
即 ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ．
当点F在x轴的上方时，令 ，
则 ，
解得 ， ，
∴ 或 ．
综上所述，满足条件的点F的坐标为 或 或 ．