【327701】2022年湖南省湘潭市中考数学真题

绝密·启用前

2022年湖南省湘潭市中考数学真题

题号	一	二	三	四	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图，点 、 表示的实数互为相反数，则点 表示的实数是（       ）

A．2
B．－2
C．
D．

2.下列整式与 为同类项的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：

	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
玩具数量（件）	35	47	50	48	42	60	68

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（       ）
A．48，47
B．50，47
C．50，48
D．48，50

4.下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有 张桌子，有 条凳子，根据题意所列方程组正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.在 中（如图），连接 ，已知 ， ，则 （       ）

A．
B．
C．
D．

7.在 中（如图），点 、 分别为 、 的中点，则 （       ）

A．
B．
C．
D．

8.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则 （       ）

A．2
B．
C．
D．

9.若 ，则下列四个选项中一定成立的是（       ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、多选题

10.依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数直方图：（数据分成3组： ， ， ）．则下列说法正确的是（       ）

A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数占全班人数的

11.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

12.如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段 ，分别以点 、 为圆心，以 长为半径画弧，两弧相交于点 、 ；②连接 、 ，作直线 ，且 与 相交于点 ．则下列说法正确的是（       ）

A． 是等边三角形
B．
C．
D．

评卷人 得分

三、填空题

13.四个数－1，0， ， 中，为无理数的是_________．

14.请写出一个 随 增大而增大的一次函数表达式_________．

15.2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为_________米．

16.如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反射后，沿 方向射出，已知 ， ，则 _________．

评卷人 得分

四、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．将 绕原点 顺时针旋转 后得到 ．

(1)请写出 、 、 三点的坐标： _________， _________， _________
(2)求点 旋转到点 的弧长．

18.先化简，再求值： ，其中 ．

19.如图，在⊙ 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 、 ．

(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ， ，求⊙ 的半径．

20.5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由 、 、 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若 、 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由 随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

A“杂交水稻之父”袁隆平

B“天眼之父”南仁东

C“航天之父”钱学森

21.湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 ）：伞柄 始终平分 ， ，当 时，伞完全打开，此时 ．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据： ）

22.百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与
数据收集： 2     5     3     5     4     6     1     5     3     4     3     6     7     5     8     3     4     7     3     4
数据整理：

本数
组别
频数	2		6	3

数据绘制成不完整的扇形统计图：

依据统计信息回答问题
(1)在统计表中， _________；
(2)在扇形统计图中， 部分对应的圆心角的度数为_________；
(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．

23.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长 ）和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池且需保证总种植面积为 ，试分别确定 、 的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时最大面积为多少？

24.已知 、 是平面直角坐标系中两点，连接 ．

(1)如图①，点 在线段 上，以点 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点 的反比例函数表达式；
(2)如图②，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿 翻折，使得点 与线段 上的点 重合，求经过 、 两点的一次函数表达式．

25.在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别作 的垂线，垂足分别为点 、 ．

(1)特例体验：
如图①，若直线 ， ，分别求出线段 、 和 的长；
(2)规律探究：
①如图②，若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ，请探究线段 、 和 的数量关系并说明理由；
②如图③，若直线 从图①状态开始绕点A顺时针旋转 ，与线段 相交于点 ，请再探线段 、 和 的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图③中，延长线段 交线段 于点 ，若 ， ，求 ．

26.已知抛物线 ．

(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交点，求 的取值范围．

参考答案

1.A

【解析】
根据互为相反数的两个数的和为0即可求解．
解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，
故选：A．

2.B

【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与 是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．

3.C

【解析】
根据平均数和中位数的定义解答即可．
这组数据的平均数是：（35+42+47+48+50+60+68）÷7＝50；
将数据按照从小到大依次排列：35，42，47，48，50，60，68
处在中间位置的数是48，即中位数是48；
故选：C．

4.A

【解析】
分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可
A、主视图是三角形，故此选项正确；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是圆，故此选项错误；
D、主视图是矩形，故此选项错误；
故选A．

5.B

【解析】
根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+y=12，根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40，组成方程组即可．
解：根据题意可列方程组，

故选：B．

6.C

【解析】
根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB CD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵ ∠DCA+∠ACB， ，
∴ 40º+80º=120º，
故选：C．

7.D

【解析】
证出 是 的中位线，由三角形中位线定理得出 ， ，证出 ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
解： 点 、 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
．
故选：D．

8.A

【解析】
首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出 的值即可．
∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为 ，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a＞0，
∴a²+(a+1)²=5，其中a＞0，
解得：a₁=1，a₂=-2(不符合题意，舍去)，
= = =2，
故选：A．

9.A

【解析】
根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
解：A．因为 ，不等边两边同时加上2得到 ，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为 ，不等边两边同时乘-3得到 ，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为 ，不等边两边同时除以4得到 ，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为 ，不等边两边同时减1得到 ，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．

10.AB

【解析】
根据频数直方图逐一判断各个选项即可.
解：因为10+25+5=40，故A选项正确，符合题意；
因为该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数是25人，最多，故B选项正确，符合题意；
该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是10，故C选项错误，不符合题意；
该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数为10+25=35，占全班人数的百分比为： ，故D选项错误，不符合题意；
故选：AB．

11.BD

【解析】
根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，同底数幂相除法则计算判断即可．
解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项正确，符合题意；
故选：BD．

12.ABC

【解析】
根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，
由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，
∴ ，故B选项正确，
∴ ， ，故C选项正确，D选项错误．
故选：ABC．

13.

【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：－1，0， 是有理数；
是无理数；
故答案为： ．

14. （答案不唯一）

【解析】
在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．
解：如 ，y随x的增大而增大．
故答案为： （答案不唯一）．

15.4×10⁵

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：400000＝4×10⁵，
故答案为：4×10⁵．

16.40°##40度

【解析】
根据入射角等于反射角，可得 ，根据三角形内角和定理求得 ，进而即可求解．
解：依题意， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
．
故答案为：40．

17.(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）
(2)2π

【解析】
（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A₁B₁C₁，点A₁，B₁，C₁的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．
（2）由图知点 旋转到点 的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．
(1)
解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A₁B₁C₁，点A₁，B₁，C₁的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，
所以A₁（1，1）；B₁（0，4）；C₁（2，2）
(2)
解：由图知点 旋转到点 的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点 旋转到点 的弧长= =2π

18.x+2，4

【解析】
先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项．
解：
=
=x+3-1
=x+2．
当x=2时，
原式=2+2=4．

19.(1)证明见解析
(2)⊙ 的半径为3

【解析】
（1）利用 ，同弧所对的圆周角相等，得到 ，再结合对顶角相等，即可证明；
（2）利用 ，得到 ，根据直径所对的圆周角是直角得到 ，再利用直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙ 的半径．
(1)
证明：在⊙ 中，
∵ ，
∴ ，
又∵ ,
∴ ．
(2)
解：∵ ，
由（1）可知， ，
∵直径 ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即⊙ 的半径为3．

20.(1)在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A₁A₂A₃，②A₁A₃A₂，③A₂A₁A₃，④A₂A₃A₁，⑤A₃A₁A₂，⑥A₃A₂A₁
(2) 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为

【解析】
（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A₁A₂抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
(1)
解：画树状图如下：

∴共有6种等可能的结果，分别是：①A₁A₂A₃，②A₁A₃A₂，③A₂A₁A₃，④A₂A₃A₁，⑤A₃A₁A₂，⑥A₃A₂A₁．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A₁A₂A₃，②A₁A₃A₂，③A₂A₁A₃，④A₂A₃A₁，⑤A₃A₁A₂，⑥A₃A₂A₁．
(2)
解：画树状图如下：

∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P( 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事)= = ，
答： 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为 ．

21.72cm

【解析】
过点 作 于点 ，解 ，分别求得 ，进而求得 ，根据黄金比求得 ，求得 的长，即可求解．
如图，过点 作 于点

， ， 始终平分 ，

，








解得

答：最少需要准备 长的伞柄

22.(1)9
(2)108º
(3)90

【解析】
（1）由随机调查的八年级20名学生读书数量的数据直接得出m的值；
（2）根据读书数量在 对应人数求出百分比再乘以360︒即可得到对应的圆心角；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
(1)
解：满足 的本数有3和4，这样的数据有9个，所以m=9；
故答案为：9．
(2)
解： ，360º×30%=108º，
故答案为：108º．
(3)
解：∵20人中共有6+3=9名学生读书在4本以上，
∴200× ×100%=90（人）
答：该校八年级学生读书在4本以上的人数为90人．

23.(1)CG长为8m，DG长为4m
(2)当BC= m时，围成的两块矩形总种植面积最大= m²

【解析】
（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
(1)
解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
(2)
解：设两块矩形总种植面积为ym²，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x²+21x
=-3(x- )²+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y_最大= m²．

24.(1)
(2)

【解析】
（1）根据 的坐标，可得直线 的解析式，根据题意点 为 与 的交点，求得交点 的坐标，即可求解；
（2）设 ， ，根据题意求得 ，根据轴对称的性质结合图形求得 ，在 中， 即可求得 的值，进而待定系数法求解析式即可求解．
(1)
、
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
以点 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则 ，
点 为 与 的交点，
，
解得 ，
则 ，
设点 的反比例函数表达式为 ，则 ，
；
(2)
设 ，
将 沿 翻折，使得点 与线段 上的点 重合，
，
、

中，
， ，
在 中，
即
解得
则
设直线 的解析式为
则
解得
直线 的解析式为 ．

25.(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2) DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析
(3)

【解析】
（1）先根据得出 ，根据 ，得出 ， ，再根据 ，求出 ， ，
即可得出 ，最后根据三角函数得出 ， ，即可求出 ；
（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明 ，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明 ，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出 ，根据 ，得出 ，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
(2)
DE=CE+BD；理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AC，
∴ ，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，
即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AC，
∴ ，
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=CE+DE．
(3)
根据解析（2）可知，AD=CE=3，
∴ ，
在Rt△AEC中，根据勾股定理可得： ，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∵AB=AC=5，
∴ ．

26.(1)① ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析
(2)b＜ 或b＞

【解析】
（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m²-2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把 ， 代入 ，得
，
解得： ，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m²-2m-3）
若点 是线段 的三等分点，
则 或 ，
即 或 ，
解得：m=2或m= 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（ ，- ）
(2)
解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得n=4，
∴直线 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点 在抛物线 上，
∴（-3）²-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ ，
∵该抛物线与线段 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
5²+5b+3b-9＜4
解得：b＜
当CE在抛物线右侧时，
3b-9＞4
解得：b＞
综上所述，b＜ 或b＞