【327703】2022年湖南省益阳市中考数学真题

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2022年湖南省益阳市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.四个实数﹣ ，1，2， 中，比0小的数是（　　）
A．﹣
B．1
C．2
D．

2.下列各式中，运算结果等于a²的是（　　）
A．a³﹣a
B．a+a
C．a•a
D．a⁶÷a³

3.若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.若x＝﹣1是方程x²+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2

5.已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　）

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	﹣2	0	2	4	…

A．y＝2x
B．y＝x﹣1
C．y＝
D．y＝x²

6.在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．

7.如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

8.1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）

A．5
B．4
C．3
D．2

9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）

A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等

10.如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

评卷人 得分

二、填空题

11. 的绝对值是________．

12.计算： ﹣ ＝_____．

13.已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m²﹣n²的值是 _____．

14.反比例函数y＝ 的图像分布情况如图所示，则k的值可以是 _____（写出一个符合条件的k值即可）．

15.如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34 ，公路PB的走向是南偏东56 ，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．

16.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟．

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosB＝_____．

18.如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 _____．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算：（﹣2022）⁰+6×（﹣ ）+ ÷ ．

20.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

21.如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．

(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．

22.为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

(1)求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

23.如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

24.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）²+2m²（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax²上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；
(2)将A，B的纵坐标分别记为y_A，y_B，设s＝y_A﹣y_B，若s的最大值为4，则m的值是多少？
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

26.如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

参考答案

1.A

【解析】
利用零大于一切负数来比较即可．
解：根据负数都小于零可得，﹣ ＜0，故A正确．
故选：A．

2.C

【解析】
根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
A、∵a³﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a²，∴选项C符合题意；
D、∵a⁶÷a³＝a³，∴选项D不符合题意．
故选：C．

3.D

【解析】
先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．

4.B

【解析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
设x²+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．

5.A

【解析】
观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．
解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍，
∴y＝2x．
故选：A．

6.C

【解析】
根据抽到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
解：总共有24道题，试题A共有4道，
P（抽到试题A） ，
故选：C．

7.B

【解析】
本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得， ，
解得 ＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．

8.C

【解析】
根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
解：∵在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．

9.D

【解析】
根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．

10.B

【解析】
根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．

11.

【解析】
根据绝对值的几何意义分析即可求解．
解：由绝对值的几何意义可知，在数轴上 这个数到原点的距离为 ，
故 的绝对值是 ，
故答案为 ．

12.2

【解析】
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可．
解： ﹣
＝
＝
＝2．
故答案为：2.

13.3

【解析】
观察已知和所求可知， ，将代数式的值代入即可得出结论．
解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴ ，
故答案为：3．

14.1（答案不唯一）

【解析】
根据反比例函数的图像所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．
由反比例函数y＝ 的图像位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，
∴k＜2，
∴k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．

15.90

【解析】
根据题意可得∠APC＝34 ，∠BPC＝56 ，然后进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
∠APC＝34 ，∠BPC＝56 ，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90 ，
故答案为：90．

16.800

【解析】
在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．

17.

【解析】
根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝ ．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝ ＝ ，
∴cosB＝ ＝ ．
故答案为： ．

18.4

【解析】
由正方形边长为3，可求AC＝3 ，则AA′＝ AC＝ ，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．
解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝3 ，
∴AA′＝ AC＝ ，
∴A′C＝2 ，
由题意可得重叠部分是正方形，
∴重叠部分的正方形的边长为 ，
∴S_重叠部分＝4．
故答案为：4．

19.0

【解析】
先利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简，然后运算即可．
解：（﹣2022）⁰+6×（﹣ ）+ ÷
＝1+（﹣3）+


＝0

20.见解析

【解析】
由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．

21.(1)A′（2，0）
(2)y＝﹣x+2

【解析】
（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
（1）解：令y＝0，则 x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．
（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴ ，解得： ，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．

22.(1)（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
(2)a，b，c的值分别为8，9，8
(3)（1）班成绩更均匀

【解析】
（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知：a＝ ＝8；∵9分占总体的百分比为28%是最大的，∴9分的人数是最多的，∴众数为9分，即b＝9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，∴c＝ ＝8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．

23.(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2

【解析】
（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝ AB＝2，AC＝ BC，即得S_△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S_△ABC即可解题．
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，∴S_△ABC＝ BC•AC＝ ×2×2 ＝2 ，∴阴影部分的面积是 ﹣2 ＝2π﹣2 ，答：阴影部分的面积是2π﹣2 ．

24.(1)甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻
(2)最多安排甲收割4小时

【解析】
（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得： 0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，依题意得：3%×10y＋2%×6× ≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．

25.(1)a＝2
(2)m＝﹣
(3)存在，G（0，﹣ ）

【解析】
（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．
（1）解：由题意可知，抛物线 的顶点 的坐标为 ， 点 在抛物线 上， ， ．
（2）解： 直线 与抛物线 ， 分别交于点 ， ， ， ， ， ， 当 时， 的最大值为 ， 的最大值为4， ，解得 ， ， ．
（3）解：存在，理由如下：设点 的坐标为 ，则 ， ， 点 在 轴正半轴上， 且 ， ， ， ， ， ．如图，过点 作 轴的垂线 ，分别过点 ， 作 轴的平行线，与 分别交于 ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ． ， ， ， 解得 ． ．

26.(1)答案不唯一，如△AFB∽△BCE
(2)CE＝7.5
(3)当CE的长为长为 或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形

【解析】
（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（2）根据△AFB∽△BGC，得 ，即 ，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．
（1）解：（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，即 ，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴ ，即 ，∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2， ∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴ ，即 ，∴ ，∴CE＝ ；②当C'F＝BF时，如图3， 由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝ ＝4a，∵tan∠CBE＝ ，∴ ，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为 或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．