【327688】2022年湖北省荆门市中考数学真题

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2022年湖北省荆门市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.如果|x|＝2，那么x＝(     )
A．2
B．﹣2
C．2或﹣2
D．2或

2.纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为(       )
A．
B．
C．
D．

3.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(     )

A．20
B．60
C．30
D．30

4.若函数y＝ax²﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     )
A．a＝
B．a≤
C．a＝0或a＝﹣
D．a＝0或a＝

5.对于任意实数a，b，a³+b³＝（a+b）（a²﹣ab+b²）恒成立，则下列关系式正确的是(     )
A．a³﹣b³＝（a﹣b）（a²+ab+b²）
B．a³﹣b³＝（a+b）（a²+ab+b²）
C．a³﹣b³＝（a﹣b）（a²﹣ab+b²）
D．a³﹣b³＝（a+b）（a²+ab﹣b²）

6.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(     )

A．120m
B．60 m
C．60 m
D．120 m

7.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(     )

A．36
B．24
C．18
D．72

8.抛物线y＝x²+3上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若y₁＜y₂，则下列结论正确的是(     )
A．0≤x₁＜x₂
B．x₂＜x₁≤0
C．x₂＜x₁≤0或0≤x₁＜x₂
D．以上都不对

9.如图，点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为 时，k的值为(     )

A．﹣1
B．﹣2
C．﹣3
D．﹣4

10.抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x₀，y₀），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am²+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若 ＞﹣4，则 ＞c．其中正确结论的个数为(     )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11.计算： +cos60°﹣（﹣2022）⁰＝_____．

12.八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45．则这组数据的众数为 _____．

13.如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．

14.1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50 海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝_____小时．

15.如图，过原点的两条直线分别为l₁：y＝2x，l₂：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l₁交于点A₁，过点A₁作y轴的垂线与l₂交于点A₂，过点A₂作x轴的垂线与l₁交于点A₃，过点A₃作y轴的垂线与l₂交于点A₄，过点A₄作x轴的垂线与l₁交于点A₅，⋯，依次进行下去，则点A₂₀的坐标为 _____．

16.如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜x₂＜x₃）．设t＝ ，则t的取值范围是 _____．

17.已知x+ ＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣ ）²；
(2)x⁴+ ．

18.如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．

(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S_阴；
(2)在扇形AOB的内部，⊙O₁与OA，OB都相切，且与弧 只有一个交点C，此时我们称⊙O₁为扇形AOB的内切圆，试求⊙O₁的面积S₁．

19.如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．

(1)求证：△CEF≌△ADF；
(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．

20.为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：

数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．

(1)试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；
(2)记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值：
(3)从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．

21.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．

(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．

22.已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）．
(1)当a＝ 时，解此不等式组；
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．

23.某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣ x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？

24.已知抛物线y＝ax²+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．

(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)如图，抛物线y＝ax²+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M₁，N₁．
①求证：△PMM₁∽△NPN₁；
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．

参考答案

1.C

【解析】
根据绝对值的意义即可求解．
∵|±2|＝2，
∴x＝±2．
故选：C．

2.B

【解析】
科学记数法的表现形式为 ，（ 且n为整数），确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
0.000000001变成1，小数点向左移动了9位，且 ，所以 ， ，即 ．
故选：B．

3.C

【解析】
根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝30，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝30，
∴AB＝ ，
故选：C

4.D

【解析】
由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax²-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
解：①函数为二次函数，y=ax²﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a= ；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为 或0；
故选：D．

5.A

【解析】
根据立方差公式即可求解．
解：∵a³+b³＝（a+b）（a²﹣ab+b²）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a³﹣b³＝（a﹣b）（a²+ab+b²），
故选：A．

6.B

【解析】
根据题意作出图形，即求 的长，求得∠BAC＝30°，进而解 即可求解．
如图，

∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝ ×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝ ＝120m，
∴AC＝ ＝ m．
答：这个金字塔原来有 米高．
故选：B．

7.A

【解析】
连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中， ，
∴CD＝2CE＝6 ，
∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．

8.D

【解析】
根据二次函数图象及性质，即可判定．
∵抛物线y＝x²+3开口向上，在其图象上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁＜y₂，
∴|x₁|＜|x₂|，
∴0≤x₁＜x₂，或x₂＜x₁≤0，或x₂＞0，x₁≤0且x₂+x₁＞0，或x₂＜0，x₁＞0且x₂+x₁＜0，
故选：D．

9.B

【解析】
根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S_△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
∵点E为OC的中点，
∴ ，
∵点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，
∴S_△ABO＝S_△CDO，
∴S_{四边形CDBE}＝S_△AEO＝ ，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴ ，
∴S_△OCD＝1，
则 xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．

10.B

【解析】
根据抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
∵抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am²+bm+c≤4a﹣2b+c，即am²+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若-4＜ ＜0，则 ＞c．若 ≥0，则 ≤c，故④错误；
故选：B

11.﹣1

【解析】
先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．
解： +cos60°﹣（﹣2022）⁰
＝﹣ + ﹣1
＝0﹣1
＝﹣1
故答案为：﹣1．

12.42

【解析】
根据众数的定义即可求得．
解：在这组数据中42出现了2次，出现的次数最多，
故这组数据的众数是42．
故答案为：42．

13.18

【解析】
根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，
∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，
故答案为：18．

14.(1+ )##（ ＋1）

【解析】
根据题意求出 和 的度数以及AP的长度，然后再 中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程 速度，进行计算即可求解．
由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，
在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100× ＝50 （海里），
PC＝AP•sin45°＝100× ＝50 （海里），
在Rt△BCP中，BC＝ ＝ ＝50 （海里），
∴AB＝AC+BC＝（50 +50 ）海里，
∴t＝ ＝（1+ ）小时，
故答案为：（1+ ）．

15.（2¹⁰，﹣2¹⁰）

【解析】
首先把x＝1代入l₁：y＝2x，可得点A₁的坐标为（1，2），把y=2代入l₂：y＝﹣x，可得点A₂的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A₃，A₄，A₅，A₆，A₇，A₈，A₉的坐标，即可找到规律，据此即可求得．
解：当x＝1时，y＝2，
∴点A₁的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A₂的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A₃（﹣2，﹣4），A₄（4，﹣4），A₅（4，8），A₆（﹣8，8），A₇（﹣8，﹣16），A₈（16，﹣16），A₉（16，32），…，
∴A_4n+1（2²ⁿ，2²ⁿ⁺¹），A_4n+2（﹣2²ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺¹），
A_4n+3（﹣2²ⁿ⁺¹，﹣2²ⁿ⁺²），A_4n+4（2²ⁿ⁺²，﹣2²ⁿ⁺²）（n为自然数）．
∵20＝4×4+4，
∴点A₂₀的坐标为（2^2×4+2，﹣2^2×4+2），即（2¹⁰，﹣2¹⁰）．
故答案为：（2¹⁰，﹣2¹⁰）．

16. ＜t＜1##0.6＜t＜1

【解析】
根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x₁+x₂＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y₁＝y₂＝y₃＝m，求出x₃的范围，进而求出t的范围．
解：由二次函数y＝x²﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x₁+x₂＝2，
由一次函数y＝﹣ x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝ ，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜x₂＜x₃），
∴y₁＝y₂＝y₃＝m，2＜m＜3，
∴2＜x₃＜ ，
∴t＝ ＝ ，
∴ ＜t＜1．
故填： ＜t＜1

17.(1)5
(2)47

【解析】
（1）由 ＝ 、 ＝ ，进而得到 ﹣4x• 即可解答；
（2）由 ＝ 可得 =7，又 ＝ ，进而得到 ＝ ﹣2即可解答．
（1）解：∵ ＝ ∴ ＝ ＝ ＝ ﹣4x• ＝3²﹣4＝5．
（2）解：∵ ＝ ，∴ ＝ +2＝5+2＝7，∵ ＝ ，∴ ＝ ﹣2＝49﹣2＝47．

18.(1)扇形面积S＝ ，阴影部分面积S＝ ﹣
(2)π

【解析】
（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O₁与OA相切于点E，连接O₁O，O₁E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，∴S＝ ＝ ，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴S_△OAB＝ ，∴阴影部分的面积S_阴＝ ﹣ ．
（2）设⊙O₁与OA相切于点E，连接O₁O，O₁E， ∴∠EOO₁＝ ∠AOB＝30°，∠OEO₁＝90°，在Rt△OO₁E中，∵∠EOO₁＝30°，∴OO₁＝2O₁E，∵OC=OO₁+O₁C，O₁E=O₁C，∴O₁E＝1，∴⊙O₁的半径O₁E＝1．∴S₁＝πr²＝π．

19.(1)证明见解析
(2)tan∠DAF＝

【解析】
（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中， ，∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD²+DF²＝AF²，∴x²+a²＝（8﹣a）²，∴a＝ ，∴tan∠DAF＝ ＝ ．

20.(1)a＝5，平均值为93，补图见解析
(2)m＝15；n＝30
(3)

【解析】
（1）根据题意用20减去其他学生人数求得 的值，根据表格数据求平均数即可求解；
（2）根据题意分别求得80≤x＜90与97≤x≤100的人数所占的百分比，即可求得 的值；
（3）先列表表示出所有可能的情况，然后再找出符合条件的情况数，最后利用概率公式进行求解即可
（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，∴a＝5，测评成绩的平均数＝ （88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，补全的条形统计图如图所示：
（2）m%＝ ×100%＝15%；n%＝ ×100%＝30%；所以m=15，n=30；
（3）根据题意列表得，设97分的用A₁、A₂、A₃表示，98分的用B₁、B₂，表示，99分的用C表示，如图

从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，故概率为： ＝ ．

21.(1)证明见解析
(2)

【解析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD²+AD²＝AB²，∴36+（r+3）²＝（2r）²，∴r₁＝5，r₂＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝ ＝ ＝2 ，∴cos∠ECB＝ ＝ ＝ ，∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝ ，∴cos∠CDA的值为 ．