绝密·启用前

2022年福建省中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.－11的相反数是（       ）
A．－11
B．
C．
D．11

2.如图所示的圆柱，其俯视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

3.5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（       ）

A．
B．
C．
D．π

6.不等式组 的解集是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.化简 的结果是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， ，BC＝44cm，则高AD约为（       ）（参考数据： ， ， ）

A．9.90cm
B．11.22cm
C．19.58cm
D．22.44cm

10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 ，点 对应直尺的刻度为0，则四边形 的面积是（       ）

A．96
B．
C．192
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.四边形的外角和等于_______.

12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．

13.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．

14.已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）

15.推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令 ，
等式两边都乘以x，得 ．①
等式两边都减 ，得 ．②
等式两边分别分解因式，得 ．③
等式两边都除以 ，得 ．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

16.已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

19.先化简，再求值： ，其中 ．

20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为 ，B组为 ，C组为 ，D组为 ，E组为 ，F组为 ．

(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
(2)该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

21.如图，△ABC内接于⊙O， 交⊙O于点D， 交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长（结果保留π）．

22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

23.如图，BD是矩形ABCD的对角线．

(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求 的值．

24.已知 ，AB＝AC，AB＞BC．

(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 ，求∠ADB的度数．

25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C， 交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 ， ， ．判断 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.D

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：－11的相反数是11
故选：D.

2.A

【解析】
圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆．
∵圆柱体的顶部是一个圆
∴圆柱体的俯视图应为一个圆
A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图
B选项是长方形，不符合题意
C选项是长方形，不符合题意
D选项不是圆，不符合题意
故选：A．

3.C

【解析】
在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．
在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积
A选项13976不是一个1与10之间的实数
B选项1397.6不是一个1与10之间的实数
C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合
D选项0.13976不是一个1与10之间的实数．
故选：C．

4.A

【解析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．

5.B

【解析】
先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．
解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：B

6.C

【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．
解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选：C．

7.C

【解析】
根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．
，
故选：C．

8.D

【解析】
根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．
解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到 的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是 ，
故选：D．

9.B

【解析】
根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得 cm，根据等腰三角形的性质及 ，可得 ，在 中，由 ，求得AD的长度．
解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴ ，
∵BC＝44cm，
∴ cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC， ，
∴ ．
∵AD为BC边上的高， ，
∴在 中，
，
∵ ， cm，
∴ cm．
故选：B．

10.B

【解析】
根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形 的面积为 ，即可求解．
解：依题意 为平行四边形，
∵ ， ，AB＝8， ．

∴平行四边形 的面积=
故选B

11.360°．

【解析】
解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°．

12.6

【解析】
利用中位线的性质计算即可．
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴ ，
故答案为：6．

13.

【解析】
先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，
任意摸出1个，摸到红球的概率是 ．
故答案为： ．

14.-5（答案不唯一）

【解析】
根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．
解：由反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；
故答案为-5（答案不唯一）．

15.④

【解析】
根据等式的性质2即可得到结论．
等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以 ，得 ，前提必须为 ，因此错误；
故答案为：④．

16.8

【解析】
先求出抛物线 与x轴的交点，抛物线 与x轴的交点，然后根据 ，得出 ，列出关于n的方程，解方程即可。
解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8．

17.

【解析】
分别化简 、 、 ，再进行加减运算即可．
解：原式 ．

18.见解析

【解析】
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
证明：∵BF＝EC，
∴ ，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴∠A＝∠D．

19. ， ．

【解析】
根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
解：原式

．
当 时，原式 ．

20.(1)活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组
(2)1400人

【解析】
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）该校学生一周的课外劳动时间不小于3h为D、E、F组，用该校总人数乘以所占百分比即可．
(1)
活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，
∴活动前调查数据的中位数落在C组；
活动后，A、B、C三组的人数为 （名），
D组人数为： （名），15+15=30（名）
活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，
∴活动后调查数据的中位数落在D组；
(2)
一周的课外劳动时间不小于3h的比例为 ， （人）；
答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．

21.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明 即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出 ，由圆周角定理可得 最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵ ， ，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴ ，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴ ，
∴ ．
∴ 的长 ．

22.(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)369元

【解析】
（1）设购买绿萝 盆，购买吊兰 盆，根据题意建立方程组 ，解方程组即可得到答案；
（2）设购买绿萝 盆，购买吊兰 盆，总费用为 ，得到关于 的一次函数 ，再建立关于 的不等式组，解出 的取值范围，从而求得 的最小值．
(1)
设购买绿萝 盆，购买吊兰 盆
∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆
∴
∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元
∴
得方程组
解方程组得
∵38＞2×8，符合题意
∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；
(2)
设购买绿萝 盆，购买吊兰吊 盆，总费用为
∴ ，
∴
∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍
∴
将 代入不等式组得
∴
∴ 的最大值为15
∵ 为一次函数，随 值增大而减小
∴ 时， 最小
∴
∴ 元
故购买两种绿植最少花费为 元．

23.(1)作图见解析
(2)

【解析】
（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设 ，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解 ，再判定 ，根据 ， ，在Rt△ADE中，利用 ，得到 ，求解得到tan∠ADB的值为 ．
(1)
解：如图所示，⊙A即为所求作：

(2)
解：根据题意，作出图形如下：

设 ，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又 ，
∴四边形AEFG是正方形，
∴ ，
在Rt△AEB和Rt△DAB中， ， ，
∴ ，
在Rt△ABE中， ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，AB＝CD，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADE中， ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即tan∠ADB的值为 ．

24.(1)见解析
(2) ，见解析
(3)30°

【解析】
（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出 ，再根据三角形内角和 ，得到 ，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得 ，得到 ，设 ， ，则 ，得到α+β的关系即可．
（1）∵ ，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴ ，∴ ，∴ ，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；
（2）结论： ．证明：∵ ，∴ ，∵AB＝AC，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ；
（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，
∵AB＝CD， ，∴ ，∴BM＝BD， ，∴ ，∵ ，∴ ，设 ， ，则 ，∵CA＝CD，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，   ∴ ，∴ ，即∠ADB＝30°．

25.(1)
(2)存在， 或（3，4）
(3)存在，

【解析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为 ，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设 ，则 ．由 ，解方程求得 的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得 ，进而可得 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别 ， 交 于点 ，过 作 的平行线，交 于点 ，可得 ，设 ， ，则 ，根据 可得 ，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值．
(1)
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入 ，
得 ，
解得 ．
所以抛物线的解析式为 ．
(2)
设直线AB的解析式为 ，
将A（4，0），B（1，4）代入 ，
得 ，
解得 ．
所以直线AB的解析式为 ．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以 ．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以 ， ．
设 ，则 ．
所以 ，
即 ，
解得 ， ．
所以点P的坐标为 或（3，4）．
(3)



记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 ， ， ．则
如图，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别 ， 交 于点 ，过 作 的平行线，交 于点

，




，
设
直线AB的解析式为 ．
设 ，则




整理得






时， 取得最大值，最大值为