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2022年甘肃省武威中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数为（       ）
A．
B．2
C．
D．

2.若 ，则 的余角的大小是（　　）
A．50°
B．60°
C．140°
D．160°

3.不等式 的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．

4.用配方法解方程x²-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.若 ， ， ，则 （     ）
A．
B．
C．
D．

6.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（     ）

A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%

7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形 ，若对角线 的长约为8mm，则正六边形 的边长为（     ）

A．2mm
B．
C．
D．4mm

8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（     ）
A．
B．
C．
D．

9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（     ）

A．
B．
C．
D．

10.如图1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线 方向匀速运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如图2所示，则 的长为（     ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.计算： _____________．

12.因式分解： _________________．

13.若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写出一个满足条件的值）．

14.如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长为_________cm．

15.如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 ________ ．

16.如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．

17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _________s．

18.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.化简： ．

21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

原文	释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线．	如图2， 为直角． 以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线 ， 分别于点 ， ； 以点 为圆心，以 长为半径画弧与 交于点 ； 再以点 为圆心，仍以 长为半径画弧与 交于点 ； 作射线 ， ．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出 ， ， 的大小关系．

22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
(1)小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
(数据收集)
7       8       6       5       9       10       4       6       7       5       11       12       8       7       6
4       6       3       6       8       9       10       10       13       6       7       8       3       5       10
(数据整理)
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A． ，B． ，C． ，D． ，E． ，其中 表示锻炼时间）；

(数据分析)

统计量	平均数	众数	中位数
锻炼时间（h）	7.3		7

根据以上信息解答下列问题：
(1)填空： ___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．

25.如图，B，C是反比例函数y= （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．

(1)求此反比例函数的表达式；
(2)求△BCE的面积．

26.如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且 ．

(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．

27.已知正方形 ， 为对角线 上一点．

(1)(建立模型)如图1，连接 ， ．求证： ；
(2)(模型应用)如图2， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ．
①判断 的形状并说明理由；
②若 为 的中点，且 ，求 的长．
(3)(模型迁移)如图3， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ， ．求证： ．

28.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ， ， 重合）．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
(3)连接 ．
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反数的概念得出答案．
∵
∴ 的相反数为 ．
故选：B

2.A

【解析】
用90°减去40°即可求解．
解：∵ ，
∴ 的余角= ，
故选A

3.C

【解析】
按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．
解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．
故选：C．

4.C

【解析】
方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：x²-2x=2，
x²-2x+1=2+1，即（x-1）²=3．
故选：C．

5.D

【解析】
根据△ABC∽△DEF，可以得到 然后根据BC=6，EF=4，即可求解．
解：∵
∴
， ，

故选D

6.B

【解析】
根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．
解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；
C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C选项不符合题意；
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：B．

7.D

【解析】
如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD= AD，即可得到答案．
连接CF与AD交于点O，
∵ 为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO= AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 的边长为4mm，
故选：D．

8.A

【解析】
设总路程为1，野鸭每天飞 ，大雁每天飞 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．
解：设经过x天相遇，
根据题意得： x+ x=1，
∴（ + ）x=1，
故选：A．

9.C

【解析】
根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ ）的长度．
解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（ ）的长度为： ，
故选C

10.B

【解析】
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为 解答即可．
解：在菱形ABCD中，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为 ，
∴△ABD的面积
解得：a=
故选B

11.

【解析】
根据单项式的乘法直接计算即可求解．
解：原式＝ ．
故答案为： ．

12.

【解析】
原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=m（m²-4）=m（m+2）（m-2），
故答案为：m（m+2）（m-2）

13.2（答案不唯一）

【解析】
根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可．
解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴k=2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．

14.8

【解析】
利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
解： 菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，AC=4，
， ，AO=OC= AC=2
，
，
，
故答案为：8．

15.80

【解析】
根据圆内接四边形的性质计算出 即可．
解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ．
故答案为 ．

16. （答案不唯一）

【解析】
)先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）．

17.2

【解析】
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵h=-5t²+20t=-5（t-2）²+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．

18.

【解析】
根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG= EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴ ，
∴ ，
∴BF=6，
∴EF= （cm），
∴BG= EF= （cm），
故答案为： ．

19.

【解析】
根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
解：原式
.

20.1

【解析】
将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
解：原式

=1．

21.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和 均为等边三角形， ，进而可得 ．
(1)
解：（1）如图：

(2)
．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即 和 均为等边三角形
∴
∵
∴

22.16.9m

【解析】
设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．

23.(1)
(2)

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
(1)
解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 ；
(2)
解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 ．

24.(1)6
(2)见解析
(3)340名；合理，见解析

【解析】
（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．
(1)
由数据可知，6出现的次数最多，
∴m=6．
故答案为：6．
(2)
补全频数分布直方图如下：

(3)
.
答：估计有340名学生能完成目标；
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．

25.(1)
(2)1

【解析】
（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
(1)
解：当y=0时，即x-1=0，
∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y= ；
(2)
解：方程组 的正数解为 ，
∴点B的坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S_△BCE= ×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．

26.(1)见解析
(2)4

【解析】
（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出 ，根据圆周角定理得到 ，推出 ，即可得出结论；
（2）根据 得出 ，再根据勾股定理得出CE即可．
(1)
证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
(2)
由（1）知 ，
在 和 中，∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得 ．

27.(1)见解析
(2)①等腰三角形，见解析；②
(3)见解析

【解析】
(1)根据正方形的性质，证明 即可．
（2）①根据（1）的证明，证明∠FBG=∠FGB即可．
②过点 作 ，垂足为 .利用三角函数求得FH，AH的长度即可．
(3)证明 即可．
(1)
）证明：∵四边形 为正方形， 为对角线，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ .
(2)
① 为等腰三角形.理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形.
②如图1，过点 作 ，垂足为 .
∵四边形 为正方形，点 为 的中点， ，
∴ ， .
由①知 ，
∴ ，
∴ .
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， .

(3)
如图2，∵ ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
由（1）得 ，
由（2）得 ，
∴ .

28.(1)
(2)
(3)① ；②

【解析】
（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；
（2）根据抛物线 可求出点A的坐标，点C的坐标，根据 ，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①连接 交 于点 ，设 ，则 ，求出 ，得出点 ，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，说明当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，过 作 ，垂足为 ，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．
(1)
解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，即 ；
(2)
在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(3)
①连接 交 于点 ，如图1所示：

∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，如图2所示：

∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴

，
即 的最小值为 ．