专题10分式方程及分式方程的应用压轴题五种模型全攻略
【类型一分式方程的定义】
例题：（山东济宁·八年级期末）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案．
【详解】
解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，
观察可知，选项ABD均满足上述三个条件，故都是分式方程，
选项C分母中没有未知量，不属于分式方程，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键．
【变式训练1】（江苏·八年级专题练习）下列关于
的方程，是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】
解：
．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中不含表示未知数的字母，
是常数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中含未知数
，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【变式训练2】（河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：①
；②
；③
；④
（
为已知数），其中分式方程有（ ）
A．
个 B．
个 C．
个 D．
个
【答案】B
【解析】
【分析】
等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】
解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
【变式训练3】（山东威海·八年级期中）已知方程：①
；②
；③
；④
．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】
解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C．
【点睛】
此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
【类型二解分式方程】
例题：（山东济宁·八年级期末）解方程
(1)
．(2)
．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
根据分式方程的求解步骤解分式方程即可；去分母、去括号、合并同类项、系数化为1.
(1)
解：
将
代入x-1中得-3≠0
所以
是方程的解；
(2)
解：
将
代入
中得-8≠0
所以
是方程的解.
【点睛】
本题主要考查分式方程的求解，掌握分式方程的求解步骤（去分母、去括号、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．
【变式训练1】（湖南邵阳·八年级期末）解下列分式方程：
(1)
；
(2)
【答案】(1)x＝0
(2)无解
【解析】
【分析】
（1）方程两边同时乘（x﹣1）化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；
（2）方程两边同时乘（x＋2）（x﹣2）化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；
(1)
解：∵
＋
＝1，
∴
﹣
＝1，
方程两边同时乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，
解得：x＝0，
经检验：x＝0是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝0．
(2)
解：∵
﹣1＝
，
∴
﹣1＝
，
方程两边同时乘（x＋2）（x﹣2），
可得：x（x＋2）﹣（x＋2）（x﹣2）＝8，
整理得：2x﹣4＝0，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，（x＋2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是把方程两边同时乘以方程分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程并检验，即可确定分式方程的根．
【变式训练2】（吉林大学附属中学八年级阶段练习）解方程：
(1)
＝
；
(2)
﹣3
【答案】(1)x=3
(2)分式方程无解
【解析】
【分析】
（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
(1)
解：去分母得：x+2（x-2）=x+2，
去括号得：x+2x-4=x+2，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：（x+2）（x-2）≠0，
∴分式方程的解为x=3；
(2)
解：去分母得：1=x-1-3（x-2），
去括号得：1=x-1-3x+6，
解得：x=2，
检验：把x=2代入得：x-2=0，
∴x=2是增根，分式方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式训练3】（山东泰安·八年级期末）解分式方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)x=4
(2)无解
(3)无解
(4)x=--5
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程先乘最简公分母，化分式方程为整式方程，再求解；
（3）方程先乘最简公分母，化分式方程为整式方程，再求解；
（4）方程先乘最简公分母，化分式方程为整式方程，再求解．
(1)
，
解：方程两边同时乘以
得：
，
解得：
，
检验：当
时，
．
所以原方程的解为
．
(2)
解：方程两边同时乘以
得：
，
解得：
，
检验：当
时，
．
所以原方程无解．
(3)
解：方程两边同时乘以
得：
，
解得：
，
检验：当
时，
．
所以原方程无解．
(4)
解：方程两边同时乘以
得：
，
解得：
，
检验：当
时，
．
所以原方程的解为
．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【类型三列分式方程】
例题：（四川眉山·八年级期中）“绿水青山就是金山银山”，为改善环境，某村计划在荒山上种植960棵树苗，实际比原计划每天多种20棵树苗，结果提前4天完成任务，原计划每天种树苗多少棵？设原计划每天种树苗x棵，根据题意可列出方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，找出等量关系式：原计划所用天数-实际所用天数=4，进而列出方程．
【详解】
解：由题意，得
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际问题，找到等量关系式是解决问题的关键．
【变式训练1】（辽宁鞍山·一模）某高科技企业要完成6000个零件的生产任务，按原计划工作一天后，为了尽快完成该项任务，延长了工作时间，之后每天生产的零件数量是原计划的
倍，结果提前3天完成任务，求原计划每天生产零件多少个？设原计划每天生产零件x个，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为
个，根据提前3天完成任务，列方程即可．
【详解】
解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为
个，
由题意得，
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
【变式训练2】（云南·云大附中模拟预测）疫情无情人有情，某制药厂要为抗击疫情第一线捐赠一种急救药品，有两种包装，大瓶比小瓶可多装20克该药品，已知120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍．设小瓶每个可装这一药品x克，则可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，根据“120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍”即可列出方程．
【详解】
解：设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，
由题意得：
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到合适的等量关系列方程是解决问题的关键．
【变式训练3】（浙江湖州·模拟预测）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，列方程为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，则走路线二时的平均速度为
，根据走路线一用的时间-走线路二用的时间=10分钟，可列出方程．
【详解】
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，则走路线二时的平均速度为
，根据题意得：
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了列分式方程解解应用题，根据条件找到等量关系是解题的关键．
【类型四分式方程中含参数问题】
例题：（河南周口·八年级期末）若关于x的分式方程
无解，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
或2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根．
【详解】
解：
，
去分母得：kx+2k-1=2（x-1），
整理得：（2-k）x=2k+1，
∵关于x的分式方程
无解，
∴分两种情况：
当2-k=0时，k=2；
当x-1=0时，x=1，
把x=1代入kx+2k-1=2（x-1）中可得：
k+2k-1=0，
∴k=
，
综上所述：k的值为：2或
，
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
【变式训练1】（江苏南通·一模）若关于x的方程
的解为正数，则m的取值范图是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得方程的解，再把x＞0转化成关于m的不等式，求得m的取值范围，注意x≠2．
【详解】
方程两边同乘以
，得
，
解得
，
∵方程的解为正数，
且
，
解得
且
，
故选：D
【点睛】
本题考查了分式方程的解，利用方程的解得出不等式是解题关键，注意方程的解要使方程有意义．
【变式训练2】（重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组
的解集为
，且关于x的分式方程
有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据关于x的一元一次不等式组
的解集为
，求得
的范围，再根据分式方程有正整数解，求得
的范围，综合即可求得
的范围，再求整数和即可．
【详解】
解：关于x的一元一次不等式组
解的
∵解集为x≤-5．
∴2a+3＞-5．
∴a＞-4．
关于x的分式方程
解得：x
∵有正整数数解，且x≠3．
∴a-2=-12或-6或-3或-2或-1．
∴a=-10或-4或-1或0或1
综上：符合条件的所有整数a为：-1、0、1．
∴符合条件的所有整数a的和为：-1+0+1=0．
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．关于参数考查不等式，参数分式方程的知识，一般先将参数看成已知，解出不等式的解集或分式方程的解，然后利用数轴进行分析，或者已知条件分析从而，找到参数的的取值范围．
【变式训练3】（山东·广饶县英才中学一模）已知关于x的分式方程
的解为非正数，则k的取值范围是______．
【答案】
且
【解析】
【分析】
先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为
，再根据方程的解为非正数确定k的取值范围，要注意分式分母不为零的情况．
【详解】
解：去分母得：
，
整理得：
，
解得：
，
由分式方程的解为非正数，得到
，且
，
解得：
且
．
故答案为：
且
【点睛】
本题考查了分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含k的代数式将方程的解表示出来，注意分式方程有意义的条件．
【类型五分式方程的应用】
例题：（湖南常德·一模）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一个甲种排球的价格与一个乙种排球的价格的和为
元，用
元购进甲种排球的个数与用
元购进乙种排球的个数相同．
(1)求每个甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
(2)该校计划用
元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的个数互换了，结果需
元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少个？
【答案】(1)每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元
(2)原计划购进甲种排球150个、乙种排球
个
【解析】
【分析】
（1）设每个甲种排球进价
元，则每个乙种排球进价为
元．根据题意列出分式方程并求解即可．
（2）设购进甲种排球
个，购进乙种排球
个．根据题意列出二元一次方程组并求解即可．
(1)
解：设每个甲种排球进价
元，则每个乙种排球进价为
元．
根据题意得
．
解得
．
经检验
是原方程的解．
所以
．
答：每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元．
(2)
解：设购进甲种排球
个，购进乙种排球
个
根据题意得
解得
答：原计划购进甲种排球150个、乙种排球
个．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
【变式训练1】（山东泰安·一模）疫情期间，蔬菜成为人们抢购的生活物资．某蔬菜超市第一次用1200元购进某种蔬菜若干千克，以每千克8元价格很快被抢购一空．该超市第二次购买时，受疫情影响，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．第二次购进的该种蔬菜以每千克9元售出100千克后，因政府调控，蔬菜供应充足，为防滞销，该超市便降价50%售完剩余的蔬菜．该蔬菜超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】总体上是盈利，盈利388元．
【解析】
【分析】
设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，根据数量=总价÷单价结合用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，由数量=总价÷单价及第二次比第一次多购进20千克，可求出第一次及第二次购进的数量，再利用利润=销售单价×销售数量-进货总成本，即可求出结论．
【详解】
解：设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，
依题意得：
，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解且符合题意．
第一次购进的数量为1200÷6=200（千克），
第二次购进的数量为200+20=220（千克）．
8×200+9×100+9×（1-50%）×（220-100）-1200-1452=388（元）．
答：总体上是盈利，盈利388元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式训练2】（辽宁·黑山县教师进修学校一模）2022年春季的疫情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生1800万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少万个口罩？
【答案】原计划每天生产200万个口罩
【解析】
【分析】
设原计划每天生产x万个口罩，根据工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，利用时间做为等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：设原计划每天生产x万个口罩，
则依据题意，得：
，
解得：x=200，
把x代入原方程，成立，
∴x=200是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产200万个口罩．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键读懂题意，找出列方程利用的等量关系，注意解分式方程需要检验．
【变式训练3】（山东青岛·一模）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：
(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？
(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
【答案】(1)A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)a的值为20．
【解析】
【分析】
（1）设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据等量关系，列关于a的方程求解即可．
(1)
解：解：设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元.
依题意得
解得
，
，
∴A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)
解：由题意得：
，
解得
，
经检验：
是所列方程的解，
∴a的值为20
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是找出等量关系，根据等量关系列方程（组）．
【课后训练】
一、选择题
1．（甘肃庆阳·八年级期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义判断选择即可．
【详解】
A.
，是一元一次方程，不符合题意；
B.
，是一元一次方程，不符合题意；
C.
，是分式方程，符合题意；
D.
，是一元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的定义．掌握分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程是解答本题的关键．
2．（广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）方程
的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．x＝﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x（x－2），将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后验根．
【详解】
解：方程两边同乘以x（x－2），得
3（x－2）＝2x，
去括号，得3x－6＝2x，
移项，得x＝6，
检验：当x＝6时，x（x－2）＝24≠0，
∴x＝6是原方程的解，
故选：B
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的方法以及最后要验根是解题的关键．
3．（山东烟台·八年级期末）若关于x的分式方程
有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
【详解】
解：去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故选：D．
【点睛】
考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．（河北保定外国语学校一模）京张高铁连接北京市和张家口，是北京冬奥会的重要交通保障设施．全长
，由于高速列车速度大约是普通快车速度的6.5倍、所以全程时间也相应缩短了
．若设普通快车的速度为
，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设普通快车的速度为
，则高速列车速度大约是6.5xkm/h，根据“全程时间也相应缩短了
”可列方程．
【详解】
解：设普通快车的速度为
，则高速列车速度大约是6.5xkm/h，
根据题意，可得：
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，理解题意抓住相等关系并以此列出方程是关键．
5．（四川德阳·一模）若数
使关于
的方程
无解，且使关于
的不等式组
有整数解且至多有
个整数解，则符合条件的
之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
让最简公分母y（y+1）（y-1）=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，得到m的值，解不等式组，根据题意确定m的范围，即可确定m的值，根据题意计算即可．
【详解】
，
方程两边同乘
，得
，
原分式方程无解，
最简公分母
，
解得
或
或
，
当
时，
，
．
当
时，
，
．
当
时，
，
．
解不等式组
得
，
关于
的不等式组
有整数解且至多有
个整数解，
，
，
则符合条件的所有整数为：
、
，
所有满足条件的整数
的值之和为：
，
故选：
．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
二、填空题
6．（山东滨州·一模）关于x的方程
的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据解分式方程的规则进行求解即可，最后必须检验．
【详解】
解：去分母得：
，
整理得：
，
解得：
，
经检验：
，
是原方程的解．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意一定要对求出来的未知数的值进行检验．
7．（湖北襄阳·八年级期末）若关于
的方程
无解，则
的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
首先去分母转化为整式方程，求得x的值，分式方程无解，则整式方程的解使分式方程的分母等于0，即可求得m的值．
【详解】
解：
，
∴
，
关于
的方程
无解，
，
，
把
代入
中可得：
，
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了分式方程，理解分式方程无解的条件是解题的关键．
8．（江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）关于x的方程
的根为负数，则a的值为__________．
【答案】a＞－1且a≠3
【解析】
【分析】
先将原方程去分母化为整式方程，解整式方程求得x，根据方程的根是负数及分母不为0得到关于a的不等式，解不等式即可得出a的范围，
【详解】
解：去分母，得（x＋1）（x－1）－x（x＋2）＝a，
解得：
，
∵关于x的方程
的根为负数，
∴
＜0，
∴a＞－1，
，
，
∴
，
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，
∴
，
，
∴a的取值范围是a＞－1且a≠3．
故答案为：a＞－1且a≠3．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解的相关运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．（山东潍坊·一模）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟．设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为
千米/小时，根据实行潮汐车道前后的时间关系建立方程即可，注意时间要化成小时．
【详解】
由题意得，实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为
千米/小时，则列出方程：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象成分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
10．（浙江·兰溪市实验中学一模）对于实数a，b定义一种新运算“
”为
，这里等式右边是实数运算．例如
，则方程
的解是__．
【答案】x=10
【解析】
【分析】
根据新定义的运算求出
，即得出关于x的分式方程，再解方程即可．
【详解】
解：
，
∴
，
等式两边同时乘
，得：
，
解得：
．
经检验
是原分式方程的解．
∴方程
的解是
．
故答案为：x=10．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算，解分式方程．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．
三、解答题
11．（北京·东直门中学一模）解方程：
．
【答案】
【解析】
【分析】
直接找出最简公分母进而去分母解方程求解，最后要检验．
【详解】
解：方程两边同乘以3（x-1）得：3x+3（x-1）=2x，
解得
经检验，
是原方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
12．（北京大兴·一模）解分式方程：
．
【答案】
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤，因式分解、去分母、移项、合并同类项、系数化“1”、验根、下结论即可．
【详解】
解：
整理得
，
方程两边同乘最简公分母
得
，
移项得
，
合并同类项得
，
系数化“1”得
，
检验：当
时，
，
是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，不要忘记验根是解决问题的关键．
13．（海南省直辖县级单位·八年级期末）解分式方程.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)5
(2)
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤进行解题，即可求出分式方程的解．
(1)
解：
，
去分母，得：x－2＝3
解得：x＝5
检验：当x＝5时，x－2＝3≠0，
∴原分式方程的解为x＝5；
(2)
解：
，
方程两边乘x－1，得3－x＝2（x－1）
解得：x＝
检验：当x＝
时，x－1≠0，
∴原分式方程的解为x＝
；
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤进行解题．
14．（浙江·杭州市建兰中学一模）小明在解一道分式方程
﹣1＝
，过程如下：
方程整理
．
去分母x﹣1﹣1＝2x﹣5，
移项，合并同类项x＝3，
检验，经检验x＝3是原来方程的根．
小明的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】小明的解答有错误，解答过程见解析
【解析】
【分析】
去分母的时候，1没有乘以（x﹣2），所以小明的解答错误，方程的两边同时乘以（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，进而求解即可，最后要进行检验．
【详解】
解：去分母的时候，1没有乘以（x﹣2），所以小明的解答错误，正确解答如下：
方程整理为：，
方程两边都乘以（x﹣2）得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
解得：x＝3．
经检验，x＝3是原方程的根．
【点睛】
本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
15．（浙江衢州·一模）小王和小凌在解答“解分式方程：
”的过程如下框，请你判断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
小王的解法： 解，去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：
|
小凌的解法： 解，去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：
|
①
②
③
④
⑤
①
②
③
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式方程的求解步骤，进行判断求解即可．
【详解】
解：小王和小凌的解法不正确，
小王在去分母的时候，有一项忘记乘
，小凌的解法，去分母的时候后面的
应当加括号，
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
经检验
时，
，
所以
是原分式方程的解．
【点睛】
此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
16．（江西·南城县教育体育事业发展中心一模）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
【答案】每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元
【解析】
【分析】
设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“血橙”进价是（x+8）元，根据题意可以得到关于x的分式方程，解分式方程即可得到问题解答．
【详解】
解：设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“血橙”进价是
元，
根据题意，得
，
解得
，
经检验，
是原方程的解，
答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，熟练地找出题中数量关系并列出方程、熟练地求解分式方程是解题关键．
17．（广西贵港·二模）甲、乙两人在同一个商场购买相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲、乙两人第二次又同时去购买该商品，发现该商品的单价有所变化，如果甲购买该商品的总价与上次相同，乙购买该商品的数量与上次相同，结果两人两次购买该商品的总件数相同，那么该商品的价格是如何变化？请说明理由．
【答案】(1)这种商品的单价60元
(2)第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了20元，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）设商品的单价x元，按题意列出分式方程即可求解；
（2）同理，设商品第二次购买时的价格为
元，按题意列出分式方程即可求出m，即可求解．
(1)
设商品的单价x元，
根据题意，得：
，
解得：
，
经检验可知
是所列分式方程的解，且满足题意，
即：这种商品的单价60元．
(2)
设第二次购买时，该商品的单价为
元，
∵乙两次购买该商品件数相等，
∴乙两次购买的总件数为：
（件），
∵甲第一次购买该商品的件数为
（件），
又∵两人两次购买该商品的总件数相同，
∴甲第二次购买该商品的件数为100-40=60（件），
∴有
，解得
，即现价位：
（元），
故第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了20元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．正确理解题意，列出分式方程是解答本题的关键．
18．（江苏·八年级专题练习）某糕点加工点受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量与总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．
|
第一次 |
第二次 |
第三次 |
面包粉（袋） |
2 |
3 |
5 |
蛋糕粉（袋） |
4 |
5 |
8 |
总金额（元） |
520 |
700 |
912 |
(1)第三次购买的总金额比按原价购买节省了多少钱？
(2)该店第四次购买原料时，按照第三次购买的经验，预算912元，仍需购买5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的过程中，发现优惠方式又发生了变化，相较于原价，每袋蛋糕粉降低的价格是每袋面包粉降低的价格的两倍，这时用576元能够买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的
．预算够吗？
【答案】(1)节省228元
(2)预算不足
【解析】
【分析】
（1）根据第一次和第二次购买的数量和总金额列出方程，分别求出面包粉和蛋糕粉的单价，再计算出不打折的总价减去折后总价即为节省的钱；
（2）根据题意列出方程求出降价后面包粉和蛋糕粉的单价，再计算出买5袋面包粉和8袋蛋糕粉的总价，然后与预算进行比较．
(1)
解：设每袋面包粉x元，每袋蛋糕粉y元．依题意得
，
解得
（元）
答：节省228元．
(2)
解：设每袋面包粉降价m元，则每袋蛋糕粉降价2m元．
.
解得m=4．经检验，m=4符合题意．
故第四次购买时，面包粉每袋96元，蛋糕粉每袋72元．
∵
，
∴预算不足．
答：预算不够．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组与实际问题和分式方程与实际问题，熟练运用二元一次方程组解决实际问题和分式方程解决实际问题是解答本题的关键．