【324511】2024春七年级数学下册专题11 分式方程（含解析）（新版）浙教版

时间：2025-01-15 19:43:18 作者：字数：30832字

专题11 分式方程

姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人	得分

一、选择题(每题2分，共18分)

1．(本题2分)（全国·七年级专题练习）如果方程，那么（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【思路点拨】根据，可得出，再代入中，整理可得，最后等式两边同时除以n，即可得．

【规范解答】∵ ，

∴ ．

将代入，得：，

∴

整理，得：，

等式两边同时除以n，得．

故选B．

【考点评析】本题主要考查代数式求值，等式的性质．利用整体代入得思想是解题关键．

2．(本题2分)（河南信阳·七年级统考期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【思路点拨】先求出有人生产螺母，再根据恰好使每天生产的螺栓与螺母配套、一个螺栓套两个螺母列出方程即可得．

【规范解答】解：由题意得：有人生产螺母，

则可列方程为或或，

故选：B．

【考点评析】本题考查了列分式方程、列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．

3．(本题2分)（安徽六安·七年级统考期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（）

A．或 B． C．且 D．且

【答案】A

【思路点拨】首先求得分式方程的解为x=4-m,再根据解为正数得4-m>0且4-m 1,从而求得m的取值范围即可．

【规范解答】解：，

去分母，得1-m-(x-1)=-2，

去括号，得1-m-x+1=-2，

移项，合并得x=4-m，

∵方程的解为正数，

∴4-m>0且4-m 1，

解得m<4且，

故选：A．

【考点评析】本题考查分式方程的特殊解,难度适中，解题的关键是注意要排除分式方程无解情况．

4．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（）

A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3

【答案】D

【思路点拨】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．

【规范解答】解：∵ ，

∴ ，，

∴原方程为：，

去分母得：

ax=12+3x-9，

移项，合并同类项得：

（a-3）x=3，

解得：，

∵关于x的方程无解，

∴原方程有增根3或a-3=0，

∴ 或a-3=0，

解得：解得：a=4或a=3，

故选：D．

【考点评析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．

5．(本题2分)（浙江温州·七年级校联考期中）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：

如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（　　）小时．

A．20 B．21 C．19 D．19

【答案】D

【思路点拨】设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时；根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．

【规范解答】解：设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时，

由题意得：，

解得：，

经检验是原方程的根，且符合题意，

丙的工作效率是乙的工作效率的，

丙的工作效率是，

一轮的工作量为：，

轮后剩余的工作量为：，

还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，

乙还需要工作（小时），

（小时）．

故共需小时．

故选：D．

【考点评析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．

6．(本题2分)（广西崇左·七年级统考期末）若分式方程无解，则的值为（）

A．0 B．6 C．0或6 D．0或

【答案】C

【思路点拨】存在两种情况会无解：

（1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根；

（2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解

【规范解答】情况一：解是方程的增根

分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18

移项并合并同类项得：(6－m)x=18

解得：

∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根

要想是分式方程的增根，则x=3或x=0

显然不可能为0，则

解得：m=0

情况二：转化的一元一次方程无解

由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18

要使上述一元一次方程无解，则6－m=0

解得：m=6

故选：C

【考点评析】本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解．

7．(本题2分)（安徽安庆·七年级统考期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组 Shape86 的解集为 ,则符合条件的所有整数a的和为( )

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】A

【思路点拨】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．

【规范解答】解：分式方程的解为x= 且x≠1，

∵关于x的分式方程的解为正数，

∴ ＞0且 ≠1，即a<6且a≠2

Shape93

解不等式①得：y＜-2；

解不等式②得：y≤a．

∵关于y的不等式组 Shape94 的解集为 ,

∴a≥-2．

∴-2≤a＜6且a≠2．

∵a为整数，

∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，

（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．

故符合条件的所有整数a的和是10．

故选A.

【考点评析】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式、一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．

8．(本题2分)（浙江宁波·七年级校考期中）某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【思路点拨】设原计划每天修建管道x米,则原计划修建天数为天.实际前面400米,每天修建管道x米,需要天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x (1+25％)米,需要天. 根据实际天数比原计划提前4天完成任务即可得出数量关系.

【规范解答】设原计划每天修建管道x米,

根据题意的 – =4,

- - =4,

- =4,

选项B正确.

【考点评析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；难点是得到实际修建的天数.

9．(本题2分)（安徽合肥·七年级校考阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路点拨】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．

【规范解答】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得

，

故选：D．

【考点评析】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．

评卷人	得分

二、填空题(共20分)

10．(本题2分)（浙江宁波·七年级校考期中）若关于的方程无解，则的值是______．

【答案】2或

【思路点拨】根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根分类讨论即可．

【规范解答】

去分母得：

∵关于的方程无解，

∴原分式方程分母为或无解，

当分式方程分母为时，则

，

∴ ，

将代入中可得，

当无解时，

即无解，

∴ ，

综上所述：的值是2或

故答案为：2或

【考点评析】本题主要考查分式方程根的情况，熟练掌握分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根是解题的关键．

11．(本题2分)（北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是______．

【答案】，且

【思路点拨】先解方程，再利用方程的解大于1，且求解即可．

【规范解答】解：方程两边乘得：，

移项得：，

系数化为1得：，

方程的解大于1，

，且，

解得，且．

故答案为：，且．

【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件．

12．(本题2分)（广东惠州·七年级校考阶段练习）已知满足．现有一个正方体容器和一个长方体容器，正方体容器的边长为厘米，长方体容器长宽高分别为厘米、厘米、厘米，现用两个容器装水，正方体容器装了，长方体容器装了，则两个容器共装了____立方厘米的水．

【答案】

【思路点拨】已知正方体容器的边长为厘米，长方体容器长宽高分别为厘米、厘米、厘米，则正方体容积为，长方体容积为，正方体容器装了，长方体容器装了，则正方体的装水量是，长方体的装水量是，所以两个容器的装水量为，且已知满足，则，由此即可求解．

【规范解答】解：根据题意得，正方体容积为，长方体容积为，正方体容器装了，长方体容器装了，

∴正方体的装水量是，长方体的装水量是，

∴两个容器的装水量为，

∵ 满足，等式两边同时除以，

∴ ，两边同时平方得，则，

∴ ，则，

∴ ，

∵ ，

∴原式，

故答案为：．

【考点评析】本题主要考查一元二次方程转分式方程的方法，及分式方程的降幂运算，掌握降幂运算方法是解题的关键．

13．(本题2分)（浙江舟山·七年级统考期末）已知，，，…，若的值为2022，则的值为______．

【答案】

【思路点拨】把a₁代入a₂中计算得到结果，把a₂代入a₃中计算得到结果，依次类推得到一般性规律，根据题意确定出x的值即可．

【规范解答】解：把a₁=x+1代入得；，

把代入得： Shape208 ，

把代入得： Shape210 ，

依次类推，结果以x+1，，循环，

∵2022÷3=674，

∴a₂₀₂₂= =2022，

去分母得：x=2022（x+1），

去括号得：x=2022x+2022，

解得：．

经检验，是方程的解且符合题意，

故答案为：．

【考点评析】此题考查了分式的混合运算，解分式方程，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

14．(本题2分)（浙江湖州·七年级统考期末）若关于x的方程有增根，则a的值是______．

【答案】5

【思路点拨】先将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值，然后代入计算即可求得a的值．

【规范解答】解：将两边乘以得：

∵分式方程有增根，

∴ ，

解得，

∴将代入，

解得．

故答案为：5．

【考点评析】此题主要考查了分式方程的增根，解题关键是掌握增根的求解方法．

15．(本题2分)（安徽合肥·七年级统考期末）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒．

【答案】7.5

【思路点拨】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和．等量关系为：乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间=甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，列方程求解即可．

【规范解答】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒

由题意知，

解得

经检验，是原方程的解

∴乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒

故答案为：7.5．

【考点评析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．

16．(本题2分)（广东梅州·七年级校考阶段练习）阅读材料：方程的解为，方程的解为，方程的解为，根据你发现的方程的规律，写出解是的对应方程为____________________.

【答案】

【思路点拨】观察方程左边第二项的分母分别是x，x-1，x-2，可知解是的对应方程左边第二项的分母是x-（n-1），其它分母的情况对照与此分母的关系可分别写出.

【规范解答】解：解是的对应方程为 .

【考点评析】本题考查根据分式方程解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．

17．(本题2分)（重庆·七年级重庆一中校考期末）2019年11月1日是重庆城市花博会在重庆江北嘴中央商务区举行，商务区附近的某花店抓住商机，从11月1日开始销售A、B两种花束，A花束每束利润率是40%，B种花束每束利润率是20%，当日，A种花束的销量是B种花束销量的，这两种花束的总利润率是30%；11月2日在A、B两种花束利润率保持不变的情况下，若要想当日的总利润率达到35%，则A花束的销量与B花束的销量之比是____________.

【答案】3:2.

【思路点拨】首先设A进价为a元，则售出价为1.4a元，则每件的利润为0.4a元；B的进价为b元，则售出价为1.2b元，则每一束的利润为0.2b元；若售出B：x束，则售出A： x束，可表示出两种花的利润和进价，根据利润率=利润÷成本可列出 Shape243 ，整理可得a=2b，再设11月2日A的数量为m束，B的数量为n束，表示出利润率为，再把a=2b代入即可得到答案．

【规范解答】设A进价为a元，则售出价为1.4a元；B的进价为b元，则售出价为1.2b元；

若售出B：x束，则售出A： x件．

∴ Shape246 ，

解得a=2b，

设11月2日售出A的数量为m束，B的数量为n束，则有

∵a=2b，代入上式得，

解得，，即m:n=3:2.

故答案为3:2.

【考点评析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是表示出两种商品的利润和进价，表示出利润率．

18．(本题2分)（七年级单元测试）方程的解为y=____________.

【答案】5

【思路点拨】此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.

【规范解答】移项，得：

方程两边通分，得：

即，

方程的两边同乘以，得：

，

即

解得：y=5，

经检验，y=5是原方程的根.

∴原方程的解为：y=5.

【考点评析】在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大.若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使解分式方程的过程大大简化.总之，要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验.检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验.

19．(本题2分)（七年级单元测试）已知关于的方程的两根为，那么关于的方程的根为_______________________

【答案】x₁=m，x₂= .

【思路点拨】先把方程两边同时减去1可化为，这个方程的结构形式与一样，然后仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可．

【规范解答】 ,

解：方程两边同时减去1可化为

∵关于x的方程的两根为x₁=m，

∴关于x的方程的解为x-1=m-1，x-1= ，

∴x₁=m，x₂= ，

故答案为x₁=m，x₂=

【考点评析】此题考查了根据特殊形式的分式方程的已知解来解类似形式的分式方程，读懂特殊形式的结构然后把待解方程化为同一种形式结构是是解本题的关键．这类题要仔细观察思考，找到规律，不能以常规方法去解题.

评卷人	得分

三、解答题(共62分)

20．(本题6分)（上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）解方程：

【答案】无解

【思路点拨】通过去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．

【规范解答】解：

两边同乘得：，

去括号得：，

移项合并得：，解得：．

检验：经检验是方程的增根，原方程无解．

【考点评析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．

21．(本题6分)（浙江宁波·七年级校考期中）某工厂计划在规定时间内生产27000个零件，若每天比原计划多生产60个零件，则在规定时间内可以多生产600个零件．

(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．

(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比10个工人原计划每天生产的零件总数还多，按此测算，恰好提前一天完成27000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．

【答案】(1)原计划每天生产的零件为2700个，规定的天数是10天

(2)原计划安排的工人人数为540人

【思路点拨】（1）可设原计划每天生产的零件为个，由题意：某工厂计划在规定时间内生产27000个零件，若每天比原计划多生产60个零件，则在规定时间内可以多生产600个零件，列出分式方程，解方程即可；

（2）可设原计划安排的工人人数为人，根据等量关系：恰好提前一天完成27000个零件的生产任务，列出分式方程，求解即可．

【规范解答】（1）设原计划每天生产零件个，

根据题意得：

解得：

经检验：是原方程的根，且符合题意．

则规定的天数为（天）

答：原计划每天生产的零件为2700个，规定的天数是10天．

（2）设原计划安排的工人人数为人，

根据题意得：

，

解得：，

经检验：是原方程的根，且符合题意．

答：原计划安排的工人人数为540人．

【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22．(本题6分)（上海浦东新·七年级校考期末）甲乙两地间的一条公路全长为千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地.已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度．

【答案】公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时

【思路点拨】设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时，根据时间列方程即可得到答案．

【规范解答】解：设公共汽车的速度为x，则小汽车的速度为，由题意可得，

，

解得：，，

答：公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时．

【考点评析】本题考查分式方程解决行程问题，解题的关键是找到等量关系式．

23．(本题6分)（北京海淀·七年级清华附中校考期末）列分式方程解应用题：为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？

【答案】甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52元

【思路点拨】设乙种跳绳的单价为元，则甲种跳绳的单价为元，根据题意列出方程求解即可．

【规范解答】解：设乙种跳绳的单价为元，则甲种跳绳的单价为元，

依据题意，有：，

解得，，

经检验，是所列方程的解，且符合题意，

，

答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52元．

【考点评析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键．

24．(本题6分)（上海·七年级校考阶段练习）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类桶，学校先用4050元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用5400元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少60个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？

【答案】每个小号垃圾桶的价格是45元

【思路点拨】设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少60个列出方程解答即可．

【规范解答】解：设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

答：每个小号垃圾桶的价格是45元．

【考点评析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解．

25．(本题8分)（浙江湖州·七年级统考期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．

（1）扶梯露在外面的部分有多少级？

（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？

【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级

【思路点拨】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；

（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．

【规范解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级，

由题意得： Shape321 ，

①÷②得：，

整理得：，

代入②得．

答：扶梯露在外面的部分有48级；

（2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍．

由题意得：，

整理得：，

这里，中必有一个是整数，且．

①若为整数，则．

∴ （不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）

（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）

②若n为整数，，

∴ ，，，…，这些均不符合要求，

∴ ，此时，甲在楼梯上．

∴ （级）．

【考点评析】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．

26．(本题8分)（全国·七年级专题练习）探索发现：

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