第2章一元二次方程（基础30题专练）

一．选择题（共15小题）

1．（宁阳县期末）把一元二次方程y²+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（　　）

A．y²﹣y﹣2＝0 B．y²+5y﹣2＝0 C．y²﹣y﹣1＝0 D．y²﹣2y﹣1＝0

【分析】一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．

【解答】解：y²+2（y﹣1）＝3y，

∴y²+2y﹣2﹣3y＝0，

∴y²﹣y﹣2＝0．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于简单题，注意一元二次方程的二次项系数不能为0．

2．（海陵区期末）方程x²＝4的解是（　　）

A．x₁＝4，x₂＝﹣4 B．x₁＝x₂＝2 C．x₁＝2，x₂＝﹣2 D．x₁＝1，x₂＝4

【分析】直接开平方法求解可得．

【解答】解：∵x²＝4，

∴x＝2或x＝﹣2，

故选：C．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

3．（武昌区校级期末）已知实数a，b分别满足a²﹣6a+4＝0，b²﹣6b+4＝0，且a≠b，则a²+b²的值为（　　）

A．36 B．50 C．28 D．25

【分析】根据题意，a、b可看作方程x²﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：∵a²﹣6a+4＝0，b²﹣6b+4＝0，且a≠b，

∴a，b可看作方程x²﹣6x+4＝0的两根，

∴a+b＝6，ab＝4，

∴原式＝（a+b）²﹣2ab＝6²﹣2×4＝28，

故选：C．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

4．（仙居县期末）用配方法解方程x²+1＝8x，变形后的结果正确的是（　　）

A．（x+4）²＝15 B．（x+4）²＝17 C．（x﹣4）²＝15 D．（x﹣4）²＝17

【分析】先移项得到x²﹣8x＝﹣1，然后进行配方得到（x﹣4）²＝15，据此选项正确选项．

【解答】解：∵x²+1＝8x，

∴x²﹣8x＝﹣1，

∴x²﹣8x+16﹣16＝﹣1，

∴（x﹣4）²＝15，

故选：C．

【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤，此题难度一般．

5．（营口期末）用配方法解方程x²﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（　　）

A．（x﹣1）²＝4 B．（x﹣1）²＝﹣4 C．（x+1）²＝4 D．（x+1）²＝﹣4

【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

【解答】解：把方程x²﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣2x＝3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣2x+1＝4，

配方得（x﹣1）²＝4．

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

6．（荔湾区期末）某超市销售一种饮料．平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（　　）

A．（12﹣x）（100+20x）＝1400 B．（12+x）（100+20x）＝1400

C．（12﹣x）（100﹣20x）＝1400 D．（12+x）（100﹣20x）＝1400

【分析】设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12﹣x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，根据每天销售饮料获得的利润＝每箱的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12﹣x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，

依题意，得（12﹣x）（100+20x）＝1400．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7．（上城区自主招生）方程x³﹣2x²＝1的实数根的情况是（　　）

A．仅有一正根 B．仅有一负根

C．一正根一负根 D．无实数根

【分析】将方程移项可得x³＝2x²+1，根据非负数的性质可得，方程右边一定大于等于1，再根据立方根的定义即可解答．

【解答】解：移项得x³＝2x²+1，

∵2x²≥0，

∴2x²+1≥1，

即x³≥1，

∴x≥1，

函数y＝x³与函数y＝2x²+1只有一个交点，

∴方程x³﹣2x²＝1只有一个正实数根．

故选：A．

【点评】本题主要考查非负数的性质与立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．

8．（拱墅区校级月考）方程 ＝5﹣x的解是（　　）

A．x＝3 B．x＝8 C．x₁＝3，x₂＝8 D．x₁＝3，x₂＝﹣8

【分析】方程两边进行平方即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验即可．

【解答】解：两边平方，得x+1＝x²﹣10x+25，

即x²﹣11x+24＝0，

（x﹣3）（x﹣8）＝0，

则x﹣3＝0，x﹣8＝0，

解得：x＝3或8．

检验：当x＝3时，左边＝2，右边＝2，则左边＝右边，则x＝3是方程的解；

当x＝8时，左边＝3，右边＝﹣3，则x＝8不是方程的解．

所以原方程方程的解是x＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．

9．（仙居县校级月考）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．2x+5y＝3 B．ax²+bx+c＝0 C．2x²+3x＝0 D．x²+3x﹣2＝x²

【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．

【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；

B．xy+1＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；

C．是一元二次方程，故此选项符合题意；

D．整理后得3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c＝0（a≠0）．

10．（黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x²+m²x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）

A．0 B．±3 C．3 D．﹣3

【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．

【解答】解：（m﹣3）x²+m²x＝9x+5，

（m﹣3）x²+（m²﹣9）x﹣5＝0，

由题意得：m﹣3≠0，m²﹣9＝0，

解得：m＝﹣3，

故选：D．

【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．

11．（慈利县期末）一元二次方程x²﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）

A．（x﹣3）²＝8 B．（x﹣3）²＝10 C．（x+3）²＝8 D．（x+3）²＝10

【分析】根据配方法即可求出答案．

【解答】解：∵x²﹣6x﹣1＝0，

∴x²﹣6x＝1，

∴（x﹣3）²＝10，

故选：B．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

12．（浦江县期末）已知xy≠1，且3x²+2021x+6＝0，6y²+2021y+3＝0，则 ＝（　　）

A． B．2 C．3 D．9

【分析】将方程3x²+2021x+6＝0的两边同时÷x²可得出6（ ）²+2021 +3＝0，由xy≠1，可得出 ，y为一元二次方程6x²+2021x+3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出 的值．

【解答】解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，

∴x≠0．

将方程3x²+2021x+6＝0的两边同时÷x²得6（ ）²+2021 +3＝0．

∵xy≠1，即y≠ ，

∴ ，y为一元二次方程6x²+2021x+3＝0的两个不相等的解，

∴ ＝ ＝ ．

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣ ，两根之积等于 ”是解题的关键．

13．（余姚市期末）已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．方程一定有实数根

B．当m取某些值时，方程没有实数根

C．方程一定有两个实数根

D．方程一定有两个不相等的实数根

【分析】根据定义的公式化简x※（mx）＝﹣1解题即可．

【解答】解：∵a※b＝ab+a+b，

∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx²+（m+1）x＝﹣1，

由mx²+（m+1）x＝﹣1得

mx²+（m+1）x+1＝0，

①若m＝0，解得：x＝﹣1，

②若m≠0，Δ＝b²﹣4ac＝（m+1）²﹣4m＝（m﹣1）²≥0，

∴方程一定有实数根．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别情况，关键是从定义出发得出一元二次方程进行根的判断．

14．（仙居县期末）某服装店在“元旦”期间搞促销活动，一款服装原价400元，连续两次降价a%后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　）

A．400（1+a%）²＝225 B．400（1﹣2a%）＝225

C．400（1﹣a%）²＝225 D．400（1﹣a²⁰%）＝225

【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分数）²，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：400（1﹣a%）²＝225，

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．（南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21

C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21

【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到 x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

x（x﹣1）＝21，

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．

二．填空题（共8小题）

16．（南沙区期末）若方程mx²+3x﹣4＝3x²是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　m≠3　．

【分析】一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．

由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：把方程mx²+3x﹣4＝3x²转化成一般形式，（m﹣3）x²+3x﹣4＝0，（m﹣3）是二次项系数不能为0，即m﹣3≠0，得m≠3．

故答案为：m≠3．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax²+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

17．（嵊州市期末）关于x的一元二次方程x²﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　1（答案不唯一）　．（写出一个即可）

【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）²﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．

【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）²﹣4m＞0，

解得m＜ ，

所以当m取1时，方程有两个不相等的实数根．

故答案为：1（答案不唯一）．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

18．（海曙区期末）已知关于x的一元二次方程x²+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是　﹣3　．

【分析】利用根与系数之间的关系求解

【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，

m×2＝﹣6，

∴m＝﹣3，

故答案为﹣3，

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．

19．（余姚市期末）某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　400（1﹣x）²＝288　．

【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，

依题意得：400（1﹣x）²＝288．

故答案为：400（1﹣x）²＝288．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．（南海区月考）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为　100（1﹣x）²＝81　．

【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：100（1﹣x）²＝81．

故答案为：100（1﹣x）²＝81．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21．（永嘉县校级期中）关于x的一元二次方程kx²﹣4x﹣ ＝0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣6且k≠0　．

【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx²﹣4x﹣ ＝0有实数根，

∴b²﹣4ac＝16﹣4k×（﹣ ）＝16+ k≥0，且k≠0，

解得：k≥﹣6且k≠0，

故答案为：k≥﹣6且k≠0．

【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确解不等式是解题关键．

22．（浦东新区二模）已知关于x的一元二次方程x²﹣2 x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为　3　．

【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2 ）²﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．

【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2 ）²﹣4k＝0，

解得k＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

23．（襄城区模拟）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　8　队参赛．

【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．

【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，

∴共7×4＝28场比赛．

设比赛组织者应邀请x队参赛，

则由题意可列方程为： ＝28．

解得：x₁＝8，x₂＝﹣7（舍去），

所以比赛组织者应邀请8队参赛．

故答案为：8．

【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．

三．解答题（共7小题）

24．（婺城区校级期末）解方程：

（1）x²＝4x（因式分解法）；

（2）2x²﹣4x﹣3＝0（公式法）．

【分析】（1）根据因式分解的方法解方程即可；

（2）根据公式法解方程即可．

【解答】（1）x²＝4x，

解：x²﹣4x＝0，

x（x﹣4）＝0，

∴x₁＝0，x₂＝4；

（2）2x²﹣4x﹣3＝0，

解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，

代入求根公式，得： ，

∴ ， ．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

25．（罗湖区校级期末）用适当的方法解下列方程：

（1）x²﹣10x+16＝0；

（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．

【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．

（2）根据因式分解法即可求出答案．

【解答】解：（1）∵x²﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x＝2或x＝8．

（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，

∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，

∴x＝1或x＝ ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

26．（婺城区校级期末）如图，小华要为一个长3分米，宽2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？

【分析】设小华添加的边框的宽度应是x分米，根据边框面积与电子小报内容所占面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设小华添加的边框的宽度应是x分米，

依题意，得：（3+2x）（2+2x）﹣3×2＝3×2，

整理，得：2x²+5x﹣3＝0，

解得：x₁＝ ，x₂＝﹣3（不合题意，舍去）．

答：小华添加的边框的宽度应是 分米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

27．（定海区模拟）小明同学在解一元二次方程3x²﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x²﹣8x（x﹣2）＝0．

解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步

﹣5x﹣2＝0…第二步

﹣5x＝2…第三步

x＝﹣ …第四步

小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程．

【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．

【解答】解：小明的解法从第一步开始出现错误；

3x²﹣8x（x﹣2）＝0，

x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，

x（﹣5x+16）＝0，

解得：x₁＝0， ．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

28．（杭州期中）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．

（1）x的值是多少？

（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？

【分析】（1）一轮转发之后有（x+1）人参与，两轮转发之后有（1+x+x²）人参与，根据经过两轮转发后共有111个人参与了本次活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）分别求出三轮转发及四轮转发之后参与活动的人数，将其与10000比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）依题意，得：1+x+x²＝111，

整理，得：x²+x﹣110＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝﹣11（不合题意，舍去）．

答：x的值为10．

（2）三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000＝1111（人），

四轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000＝11111（人）．

∵11111＞10000，

∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

29．（丽水模拟）解方程：x²+2x+3﹣ ＝0．

【分析】设 ＝y，则原方程即可转化为关于y的方程，解方程求得y的值，然后转化为关于x的方程，从而求解．

【解答】解：设 ＝y，则x²+2x＝y²﹣5，

则原式即：y²﹣y﹣2＝0，

解得：y₁＝2，y₂＝﹣1（舍去），

则x²+2x＝4﹣5，即（x+1）²＝0，

解得x₁＝x₂＝﹣1．

【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．

30．（台州）x³﹣3x²+2x＝0．

【分析】应先提取公因式x，再进行因式分解．

【解答】解：原方程变形得：x（x²﹣3x+2）＝0，

x（x﹣1）（x﹣2）＝0，

∴方程的根为：x₁＝0、x₂＝1、x₃＝2．

【点评】本题用到的知识点为：几个数相乘得0，那么其中的任何一个都可能为0．