第2章一元二次方程（典型30题专练）

一．选择题（共6小题）

1．（南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21

C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21

【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到 x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

x（x﹣1）＝21，

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．

2．（舞阳县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）

A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）² B．10（x+3）+x＝x²

C．10x+（x+3）＝（x+3）² D．10（x+3）+x＝（x+3）²

【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．

【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）²，

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3．（武汉期末）用配方法解x²﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）²＝b的形式，则变形正确的是（　　）

A．（x+4）²＝11 B．（x﹣4）²＝21 C．（x﹣8）²＝11 D．（x﹣4）²＝11

【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．

【解答】解：∵x²﹣8x＝﹣5，

∴x²﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）²＝11，

故选：D．

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．

4．（衡阳期末）一元二次方程x²+3x＝0的根是（　　）

A．x₁＝x₂＝3 B．x₁＝x₂＝﹣3 C．x₁＝3，x₂＝0 D．x₁＝﹣3，x₂＝0

【分析】将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：x²+3x＝0，

x（x+3）＝0，

x+3＝0或x＝0，

解得：x₁＝﹣3，x₂＝0，

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．

5．（怀化期末）若关于x的方程mx²+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0

【分析】由题意可知此方程为一元二次方程，即m≠0，且Δ＞0，即4+4m＞0，解不等式组即可得到m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程mx²+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴m≠0，且Δ＞0，即4+4m＞0，解得m＞﹣1，

∴m的取值范围是：m＞﹣1且m≠0．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

6．（衡阳期末）某模具公司销售员小王一月份销售额为8万元，已知小王第一季度销售额为34.88万元，若设小王平均每月销售额的增长率均为x，可以列出方程为（　　）

A．8（1+x）²＝34.88

B．8（1+3x）＝34.88

C．8[1+（1+x）+（1+x）²]＝34.88

D．34.88（1﹣x）²＝8

【分析】增长率问题一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的销售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程．

【解答】解：小王平均每月销售额的增长率均为x，则有

8[1+（1+x）+（1+x）²]＝34.88．

故选：C．

【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²＝b．

二．填空题（共9小题）

7．（盱眙县期中）若x＝1是方程x²﹣2mx+3＝0的解，则m＝　2　．

【分析】把x＝1代入方程中，得到关于m的方程，解方程即可．

【解答】解：∵x＝1是方程x²﹣2mx+3＝0的解，

∴1﹣2m+3＝0，

∴m＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，把x＝1代入方程中，得到关于m的方程是解题的关键．

8．（宁阳县期末）方程x²﹣2x﹣5＝0配方后可化为　（x﹣1）²＝6　．

【分析】根据配方法即可求出答案．

【解答】解：∵x²﹣2x﹣5＝0，

∴x²﹣2x+1＝6，

∴（x﹣1）²＝6，

故答案为：（x﹣1）²＝6．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

9．（天心区期中）已知方程（m﹣2）x^|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为　﹣2　．

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：∵方程（m﹣2）x^|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，

∴|m|＝2且m﹣2≠0，

解得：m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

10．（石鼓区期末）已知a是方程x²﹣x﹣1＝0的一个根，则a⁴﹣3a﹣2的值为　0　．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：把x＝a代入方程可得，

a²﹣a﹣1＝0，即a²＝a+1，

∴a⁴﹣3a﹣2＝（a²）²﹣3a﹣2

＝（a+1）²﹣3a﹣2

＝a²﹣a﹣1＝0．

【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a²＝a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值．解此题的关键是降次，把a⁴﹣3a﹣2变形为（a²）²﹣3a﹣2，把等量关系a²＝a+1代入求值．

11．（渭南模拟）方程（x+1）²＝3（x+1）的解为　x₁＝﹣1，x₂＝2　．

【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程变形得：（x+1）²﹣3（x+1）＝0，

分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，

可得x+1＝0或x﹣2＝0，

解得：x₁＝﹣1，x₂＝2．

故答案为：x₁＝﹣1，x₂＝2．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（新泰市模拟）关于x的一元二次方程kx²﹣（2k+1）x+k＝0总有两个实数根，则常数k的取值范围是　 且k≠0　．

【分析】因为方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零，由此得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围．

【解答】解：∵Δ＝b²﹣4ac

＝[﹣（2k+1）]²﹣4k×k≥0，

解得k≥﹣ ，

∵二次项系数k≠0，

∴k≥﹣ 且k≠0．

故答案为：k≥﹣ 且k≠0．

【点评】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），则有b²﹣4ac≥0⇔方程有两实根，b²﹣4ac＞0⇔方程有两不等实根，b²﹣4ac＝0⇔方程有两相等实根，b²﹣4ac＜0⇔方程没有实根．

13．（云南模拟）若关于x的一元二次方程x²﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为　 　．

【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）²﹣4×1×（﹣3m）＜0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x²﹣3x﹣3m＝0没有实数根．

∴Δ＜0，即（﹣3）²﹣4×1×（﹣3m）＜0，

解得， ，

故答案为 ．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

14．（成都模拟）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+2k＝0有两个实数根为x₁，x₂，使得x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16成立，则k的值　﹣3　．

【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）²﹣4（k²+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂＝2k+1，x₁x₂＝k²+2k，再把x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16变形为﹣（x₁+x₂）²+3x₁•x₂＝﹣16，所以﹣（2k+1）²+3（k²+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+2k＝0有两个实数根，

∴Δ＝（2k+1）²﹣4（k²+2k）≥0，

解得k≤ ，

由根与系数的关系得x₁+x₂＝2k+1，x₁x₂＝k²+2k，

∵x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16．

∴x₁x₂﹣[（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂]＝﹣16，

即﹣（x₁+x₂）²+3x₁•x₂＝﹣16，

∴﹣（2k+1）²+3（k²+2k）＝﹣16，

整理得k²﹣2k﹣15＝0，

解得k₁＝5（舍去），k₂＝﹣3．

∴k＝﹣3，

故答案为﹣3．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．也考查了根的判别式．

15．（南京）设x₁，x₂是关于x的方程x²﹣3x+k＝0的两个根，且x₁＝2x₂，则k＝　2　．

【分析】根据根与系数的关系求得x₂＝1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．

【解答】解：根据题意，知x₁+x₂＝3x₂＝3，则x₂＝1，

将其代入关于x的方程x²﹣3x+k＝0，得1²﹣3×1+k＝0．

解得k＝2．

故答案是：2．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

三．解答题（共15小题）

16．（宜春期末）在一元二次方程x²﹣2ax+b＝0中，若a²﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．

（1）方程x²﹣8x+3＝0的中点值是　4　．

（2）已知x²﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．

【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算；

（2）利用方程的中点值的定义得到m＝6，再把把x＝2代入x²﹣mx+n＝0计算出n的值，然后计算mn．

【解答】解：（1）∵（﹣ ）²﹣3＝13，

∴方程x²﹣8x+3＝0的中点值为4；

故答案为4；

（2）∵ ＝3，

∴m＝6，

把x＝2代入x²﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8，

∴mn＝6×8＝48．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

17．（罗湖区校级期末）用适当的方法解下列方程：

（1）x²﹣10x+16＝0；

（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．

【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．

（2）根据因式分解法即可求出答案．

【解答】解：（1）∵x²﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x＝2或x＝8．

（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，

∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，

∴x＝1或x＝ ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

18．（宁波期末）解方程：

（1）2x²+3x＝0；

（2）x²﹣8x﹣9＝0．

【分析】两方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：（1）2x²+3x＝0，

分解因式得：x（2x+3）＝0，

可得x＝0或2x+3＝0，

解得：x₁＝0，x₂＝﹣ ；

（2）x²﹣8x﹣9＝0，

分解因式得：（x﹣9）（x+1）＝0，

可得x﹣9＝0或x+1＝0，

解得：x₁＝﹣1，x₂＝9．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19．（萧山区期中）已知：关于x的方程kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0

（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；

（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；

（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；

（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；

（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．

【解答】（1）证明：当k≠0时，

∵方程kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，

∴Δ＝（4k﹣3）²﹣4k（3k﹣3）＝4k²﹣12k+9＝（2k﹣3）²，

∴Δ＝（2k﹣3）²≥0，

当k＝0时，3x﹣3＝0，

解得x＝1．

∴无论k取何值，方程都有实根；

（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，

解得k＝ ．

故k的值 ；

（3）解：kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，

∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，

∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝ ＝ ，

∴此方程的两个根分别为x₁＝1，x₂＝3﹣ ，

∵方程的两个实根均为正整数，

∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．

【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．

20．（衡阳期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x元，每天可售出y件．

（1）写出y与x之间的函数关系式：　y＝50﹣ 　（不要求写出自变量取值范围）；

（2）当x取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？

【分析】（1）利用每天可售出的数量＝50﹣销售单价增加的钱数÷2，即可得出y与x之间的函数关系式；

（2）利用超市每天销售这种玩具获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该种玩具每件利润不得超过60元，即可确定x的值，再将其代入y＝50﹣ 中即可求出此时每天的销售量．

【解答】解：（1）依题意得：y＝50﹣ ．

故答案为：y＝50﹣ ．

（2）依题意得：（40+x）（50﹣ ）＝2250，

整理得：x²﹣60x+500＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝50．

∵每件利润不得超过60元，

∴0≤x≤20，

∴x＝10，此时y＝50﹣ ＝50﹣ ＝45．

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元，此时每天可销售45件．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

21．（永嘉县校级期中）选择适当方法解一元二次方程：

（1）（x﹣5）²﹣36＝0；

（2）2x²+4x﹣5＝0．

【分析】（1）因式分解法求解．

（2）用公式法解方程．

【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）²＝6²．

∴x﹣5＝± ＝±6．

∴x₁＝﹣1或x₂＝11．

（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．

△＝4²﹣4×2×（﹣5）＝56．

由求根公式x＝ 得：

x＝ ．

∴x₁＝ 或x₂＝ ．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．

22．（嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）²的过程如下框：

小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6．

小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；

小霞：提取公因式时出现了错误．

利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：小敏：×；

小霞：×．

正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，

解得x₁＝3，x₂＝6．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．

23．（西城区期末）已知关于x的方程x²+2x+k﹣4＝0．

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若k＝1，求该方程的根．

【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；

（2）将k＝1代入方程x²+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．

【解答】解：（1）Δ＝2²﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0．

∴20﹣4k＞0，

解得k＜5；

∴k的取值范围为k＜5．

（2）当k＝1时，原方程化为x²+2x﹣3＝0，

（x﹣1）（x+3）＝0，

x﹣1＝0或x+3＝0，

解得x₁＝1，x₂＝﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

24．（高青县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x²﹣2x+1＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．

【分析】（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，解不等式即可；

（2）由m的取值范围得到m＝1，代入（m﹣2）x²﹣2x+1＝0，利用公式法求得即可．

【解答】解：（1）根据题意，b²﹣4ac＝（﹣2）²﹣4（m﹣2）≥0，且m﹣2≠0，

∴m≤3，m≠2；

（2）∵m≤3且m≠2，

∴可取m＝1，

当m＝1时，原方程化为﹣x²﹣2x+1＝0，

∴x＝ ，

解得x₁＝﹣1﹣ ，x₂＝﹣1+ ．

【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．（孝义市期末）2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高．10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．

（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；

（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤．为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤．求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？

【分析】（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为x，根据10月份及12月份大葱的批发价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设大葱的销售价格降低y元，则每公斤的销售利润为（2.8﹣y）元，每天的销售量为（500+400y）公斤，根据每天销售大葱的利润＝每公斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的值，再结合要最大限度让利于顾客，即可确定y的值．

【解答】解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为x，

依题意得：5（1+x）²＝7.2，

解得：x₁＝0.2＝20%，x₂＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．

（2）设大葱的销售价格降低y元，则每公斤的销售利润为10﹣y﹣7.2＝（2.8﹣y）元，每天的销售量为500+ ×40＝（500+400y）公斤，

依题意得：（2.8﹣y）（500+400y）＝1640，

整理得：20y²﹣31y+12＝0，

解得：y₁＝0.75，y₂＝0.8，

又∵要最大限度让利于顾客，

∴y＝0.8．

答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

26．（龙口市期末）若关于x的二次方程（m+1）x²+5x+m²﹣3m＝4的常数项为0，求m的值．

【分析】根据方程中常数项为0，求出m的值，检验即可．

【解答】解：∵关于x的二次方程（m+1）x²+5x+m²﹣3m﹣4＝0的常数项为0，

∴m²﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，

解得：m＝4或m＝﹣1，

当m＝﹣1时，方程为5x＝0，不合题意；

则m的值为4．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

27．（梅里斯区期末）用适当的方法解下列方程．

（1）3x（x+3）＝2（x+3）

（2）2x²﹣4x﹣3＝0．

【分析】（1）移项后提取公因式x+3，转化为两个一元一次方程，解之可得；

（2）利用求根公式列式计算可得．

【解答】解：（1）∵3x（x+3）＝2（x+3），

∴（x+3）（3x﹣2）＝0，

∴x+3＝0或3x﹣2＝0，

∴x₁＝﹣3，x₂＝ ；

（2）∵2x²﹣4x﹣3＝0，

∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴b²﹣4ac＝40＞0，

∴x＝ ＝ ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

28．（建湖县二模）已知关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根．

（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．

【分析】（1）证明Δ≥0即可；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．

【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]²﹣4×（2m﹣8）

＝m²﹣4m+4﹣8m+32

＝m²﹣12m+36

＝（m﹣6）²．

∵（m﹣6）²≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：用因式分解法解此方程x²﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，

可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x₁＝2，x₂＝m﹣4，

若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，

故m＜4．

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．

29．（高港区期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣4mx+4m²﹣9＝0．

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为x₁，x₂，若 x₁＝3﹣ x₂，求方程的两个根．

【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0来证明即可；

（2）解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵Δ＝（4m）²﹣4×1×（4m²﹣9）＝16m²﹣16m²+36＝36＞0，

∴已知关于x的一元二次方程x²﹣4mx+4m²﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；

（2）∵x＝ ，

∵ ，

∴x₁+x₂＝6，

∵x₁+x₂＝4m，

∴4m＝6，

∴ ，

∴ ，

∴x₁＝6，x₂＝0．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法．

30．（烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+ ＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．

【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+ ＝（140﹣2x）件，

依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，

整理，得：x²﹣110x+3000＝0，

解得：x₁＝50，x₂＝60（舍去）．

答：售价应定为50元；

（2）该商品需要打a折销售，

由题意，得，62.5× ≤50，

解得：a≤8，

答：该商品至少需打8折销售．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用和由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．